精品解析：浙江省平湖市当湖高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

当湖高级中学高二年级第一次阶段性测试 数学学科试题卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，即可得答案. 【详解】设直线的的倾斜角为，且， 直线的斜率，所以， 故选：C 2. 已知向量，，若，，则的值是（ ） A. 或1 B. 3或1 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据及向量模的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且，， 所以，解得或， 所以或. 故选：A 3. 过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ） A. 4条 B. 2条 C. 3条 D. 1条 【答案】C 【解析】 【分析】考虑截距为0，截距相等且不为0，截距互为相反数且不为0，求出相应的方程，得到答案. 【详解】当截距为0时，设直线方程为，将代入，求得， 故方程为； 当截距不为0时， ①截距相等时，设方程为， 将代入，即，解得：，故方程为； ②截距互为相反数时，设直线方程为， 将代入，即，解得：，故方程为； 一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条. 故选：C 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】结合两圆的圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解． 【详解】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 则， 由于，即， 故圆与圆的位置关系为相交． 故选：D． 5. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 6. 在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以 . 所以. 故选：B 7. 若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【详解】由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点，  当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 8. 已知在边长为的正方体中，分别为上的动点，且.当的体积取最大值时，平面与平面的夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合条件，利用基本不等式，可得为的中点，再取中点，连接，利用线面垂直的性质和判定，可得为二面角的平面角，即可求解. 【详解】设，因为，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 又，且，所以当时，的体积取最大值， 即为的中点时，的体积取最大值， 取中点，连接，因为，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 则，所以平面与平面的夹角的正切值为， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 已知直线：与：，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则，间的距离为 D. 原点到的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的平行和垂直以及距离公式依次判断4个选项即可. 【详解】对于A， ，两直线重合，错误； 对于B， ，正确； 对于C，若 ，则，解得或.当时，，重合， 当时， ，∴的方程为，的方程为，，间的距离为，正确； 对于D，由，可得恒过点，所以原点到的距离的最大值为，正确； 故选：BCD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与圆相交列不等式，进而得到点与圆位置关系，判断A；根据直线与圆的相交，确定最长弦长为直径，判断B；根据点到直线的距离公式，结合圆的半径，判断C；根据圆的特征以及切线的定义，判断D. 【详解】对于A项，由题意可得，所以，从而点在圆的外部，故A项正确； 对于B项，直线恒过定点，， 点在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错； 对于C项，圆心到直线的距离为，如图，直线与圆相交， ，与平行，且与直线的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误； 对于D项，过点作圆：的切线只有一条，则点在圆上， 又，故切线的斜率为， 所以切线方程为，即，故D项正确. 故选：AD. 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直判定A，应用空间向量法计算角及外接球球心结合表面积公式计算判断B，D，应用展开图及勾股定理计算判断B. 【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确； ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确； 设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 点到直线：的距离为_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】点到直线：的距离为， 故答案为：. 13. 过点与圆相切的直线方程为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则与平面所成角的正弦值是 ________ 【答案】 【解析】 【分析】过B、D分别作，，垂足分别为F、E，进而可得各个长度，因为，两边同时平方，根据数量积公式，可得二面角B-AC-D的大小为，过D作平面ABC，垂足为G，连接EG、BG，在中，求得DG长，在中，根据三角函数的定义，即可得答案. 【详解】过B、D分别作，，垂足分别为F、E，如图所示， 因为，， 所以， 因为， 所以， 则， 所以， 因为， 所以 根据矩形的对称性可得，与互补， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即二面角B-AC-D的大小为. 过D作平面ABC，垂足为G，连接EG、BG，如图所示， 在中，， 所以， 在中，， 所以， 所以与平面所成角的正弦值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知两点，直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）易知直线的斜率为2，再根据结合直线经过点求解； （2）方法一：求得的中垂线方程，再由圆心C在直线l上，由求得圆心即可；方法二：根据圆C的圆心在直线l上，可设圆心C的坐标为，半径为r，再由P，Q两点在圆C上，代入圆的方程求解. 【小问1详解】 解：直线的斜率为2， 设直线的斜率为k，由，得，解得， 又直线经过点， 所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 方法一：，所以的中垂线的斜率为， 又的中点为，所以的中垂线的方程为，即． 因为两点在圆C上，所以圆心C在的中垂线上， 又圆心C在直线l上，由得即圆心C的坐标为， 又圆C的半径， 所以圆C的方程为． 方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为，半径为r， 所以圆C的方程为， 又P，Q两点在圆C上， 所以，解得 所以圆C的方程为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明:因为四棱锥中， 底面，底面，且底面是正方形， 所以两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系， AI    则由题意可得，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取可得平面的一个法向量， 因为，又平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可； （2）由点到面距离的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 17. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：取中点，连结，，， 由题意，在中，，， 所以为等边三角形，所以， 因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 所以，为二面角的平面角， 在中，，，， 所以， 可得，所以， 所以，平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，连结，，，根据平面与平面垂直的定义证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量求线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 由于为棱中点，故， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以， 所以，直线与平面所成角的余弦值为． 【点睛】 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再应用向量法求二面角余弦值； （3）令，,根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数，即可得答案. 【小问1详解】 因为，即, 又,平面， 所以平面，平面，所以. 又,平面，所以平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以, 设平面的法向量，由，得， 因为平面，所以平面的法向量，所以. 因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在线段上存在一点，使得平面平面, 设，，则. 所以，设平面的法向量， 由，令，得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 19. 已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点． （1）求点E的轨迹方程； （2）过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在；点N为 【解析】 【分析】（1）根据相关点法求出点E的轨迹方程即可； （2）斜率不存在时显然成立；斜率存在时，设直线的方程为，，，，将若x轴平分，转化为，再通过联立方程结合韦达定理将转化为含与的等式即可求解. 【小问1详解】 设，因为P是圆C上动点，所以， 因为Q为圆C与x轴负半轴交点，所以， 设，因为E是中点，所以，即， 所以，即， 所以点E的轨迹方程为. 【小问2详解】 当直线轴时，x轴平分. 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，． 若x轴平分，则， ∴，∴， ∴， ∴， 所以当点N为时，能使得x轴平分总成立 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 当湖高级中学高二年级第一次阶段性测试 数学学科试题卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，，则的值是（ ） A. 或1 B. 3或1 C. D. 1 3. 过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ） A. 4条 B. 2条 C. 3条 D. 1条 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 5. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在边长为的正方体中，分别为上的动点，且.当的体积取最大值时，平面与平面的夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 已知直线：与：，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则，间的距离为 D. 原点到的距离的最大值为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 点到直线：的距离为_________. 13. 过点与圆相切的直线方程为____________． 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则与平面所成角的正弦值是 ________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知两点，直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 17. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值． 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 19. 已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点． （1）求点E的轨迹方程； （2）过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $