精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市克东县第一中学2025-2026学年高三上学期九月质量检测数学试卷

九月质量检测 高三数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语、不等式；函数的概念和性质；一元函数的导数及其应用；三角函数与解三角形；平面向量与复数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求. 【详解】由题设，， ∴. 故选：C 2. 已知函数是奇函数，则（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇函数定义列式计算求解求参. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 则， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，且，则（ ） A. 或 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为向量，且， 所以，即，解得或． 故选：A． 4. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数利用导函数正负得出函数单调性，再代入得出端点函数值即可求出值域. 【详解】， 当时，单调递减，时单调递增， 所以为单调减函数，为单调增函数， 所以，且 所以值域为， 故选：B． 5. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先妙用“1”拼凑基本不等式，计算的最小值，再得到的最小值即可. 【详解】因为，所以 ，当且仅当时，即，时取等号. 所以（当且仅当，时取等号），即的最小值为6. 故选：C. 【点睛】思路点睛： 利用基本不等式求最值时，通常有以下思路，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用，求和的最小值； （2）和定，利用，求积的最大值； （3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值. 6. 若，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】由可得， 由二倍角公式可得，得， 由于，则，故 ， 故选：C 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意计算可得，可得结论. 【详解】由， 故有． 故选：D. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得周期，利用周期性和对称性，结合可得，然后妙用“1”求最值，根据最值取得条件即可得a，然后可得答案. 【详解】根据可得的图象关于对称， 因为，所以， 的周期为4， ，，， ，， ，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， ． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 为关于的方程的另一个根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数乘法、除法运算法则及模长公式，可确定AC选项，再利用复数范围内的求根公式可知复数是方程的根，则也是方程的根可确定D选项，再利用韦达定理确定B选项. 【详解】对A，，，故A正确； 对C，，故C错误； 对D，又为关于的方程，所以也是方程的根，故D正确； 对B，，故B正确； 故选：ABD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于原点对称 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域结合正切函数值域计算判断A，根据周期定义计算判断B，根据对称中心定义计算判断C，化简得出，再结合二倍角公式计算判断D. 【详解】由题意知，解得，所以函数的定义域为，故A正确； ，所以是的周期，故B错误； 由的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于原点对称，故C正确； 若，所以，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则是钝角三角形 D. 若不是直角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理及余弦定理判断A,B,C项，由两角和的正切公式判断D项． 【详解】因为，由正弦定理得 ，即，所以或， 即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误； 由正弦定理得，故B正确； 因为，由正弦定理得， 所以，所以，所以是钝角三角形，故C正确； 由不是直角三角形且，得，所以，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则与向量共线的单位向量的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出，再应用及得出单位向量即可． 【详解】因为，所以， 所以与向量共线的单位向量的坐标为 或． 故答案为：或． 13. 已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据解析求出定点，再将点的坐标代入到幂函数中去可求得结果. 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点， 设幂函数，则，解得， 所以． 故答案为：. 14. 已知直线与函数交于两点，过点的切线与过点的切线分别交轴于，两点，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据对数运算得出，再根据切线方程计算求解即可. 【详解】依题意，， 因为，所以； 在处的切线方程为，令，解得， 在处的切线方程为，令，解得， 所以． 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并给予证明； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） 由题意知， 解得，即函数的定义域为， 又，所以函数是奇函数； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性定义判断即可； （2）根据函数单调性列不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，即， 又函数在上单调递增， 所以，又， 解得，即不等式的解集为． 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，且“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）或； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）先应用分式不等式计算得出集合B，再应用交集定义求解； （2）分是否是空集分别列式计算求参； （3）根据充分不必要条件定义得出是的真子集，结合（2）即可求解. 【小问1详解】 由题意知或， 若，则， 所以或； 【小问2详解】 当，即时，，此时，符合题意； 当，即时， 因为，所以， 解得， 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 ，又“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 因为，由（2）知，所以， 解得，所以的取值范围是． 17. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求B； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理得到，再由正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，即可求解；（2）由余弦定理求得，再由不等式求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由余弦定理，可得，则， 又由正弦定理，可得， 所以，即，即， 又由，可得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由及余弦定理，可得， 又由不等式，可得，当且仅当时取等号， 由的面积， 故的面积的最大值为． 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求函数和的解析式； （2）求函数的单调递增区间和对称中心； （3）求函数在区间上的值域． 【答案】（1）， （2）（），对称中心为（）. （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据图象的最值确定，然后根据图象求出最小正周期，进而可求出，然后根据图象经过的点的坐标求出，从而得到函数的解析式；根据图象的变化和平移求出的解析式. （2）根据正弦函数的单调性和对称中心公式求出结果. （3）根据的范围和正弦函数的性质求出函数的值域. 【小问1详解】 由图象可知，设函数的最小正周期为， 所以，解得， 所以，所以， 又的图象过点，所以， 所以，解得， 又，所以，所以． 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到. 【小问2详解】 令，，解得，， 即函数的单调递增区间为（）， 令，，解得，， 所以函数的对称中心为（）. 【小问3详解】 当时，，所以， 所以，即函数在区间上的值域为． 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）若函数有两个零点． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1）极小值，没有极大值； （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据极值概念求解即可； （2）（i）求导，分类讨论求出函数的单调性，从而可求出答案；（ii）要证，只需证，构造，求导，判断函数单调性后即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， ，令， 所以在上单调递增，且， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 则当时，取得极小值，没有极大值； 【小问2详解】 （i），由（1）知， 当时，，单调递减， 当时，单调递增． 若，则恒成立，没有零点，不符合题意； 若恒成立，且仅当时，，不符合题意， 若，则， 此时，， 令， ， ，故， 因此，存在，使得， 同时，， 因此，存在，使得， 综上所述，的取值范围是； （ii）要证，只需证， 由于，且当时，单调递增， 故而只需证明， 由于，故而只需证明． 构造， ， 当时，， 则，故在区间单调递减， 因为，所以当时，． 因为，所以，即， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九月质量检测 高三数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语、不等式；函数的概念和性质；一元函数的导数及其应用；三角函数与解三角形；平面向量与复数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是奇函数，则（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知向量，且，则（ ） A. 或 B. 3 C. D. 4. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 若，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 为关于的方程的另一个根 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于原点对称 D. 若，则 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则是钝角三角形 D. 若不是直角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则与向量共线的单位向量的坐标为_____． 13. 已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______． 14. 已知直线与函数交于两点，过点的切线与过点的切线分别交轴于，两点，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并给予证明； （2）求不等式的解集． 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，且“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 17. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求B； （2）若，求的面积的最大值． 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求函数和的解析式； （2）求函数的单调递增区间和对称中心； （3）求函数在区间上的值域． 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）若函数有两个零点． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $