精品解析：广东省肇庆市端州区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期期末联合质量监测八年级数学科试题 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），总分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1. 为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此得到，即可求解． 【详解】解：在中，∵，， ∴． 故选：B． 2. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：B． 3. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．利用分式有意义，分式的分母不为零即可求出． 【详解】解：根据题意得， 解得 故选：C． 4. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，根据这些法则一一判断即可． 【详解】解：，根据同底幂相乘法则可知选项A正确，不符合题意； ，根据幂的乘方法则可知选项B正确，不符合题意； ，故选项C错误，符合题意； ，根据积的乘方法则可知选项D正确，不符合题意； 故选：C． 5. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义即可进行解答． 【详解】解：根据题意得： A为轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 6. 如图，将空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用，掌握三角形具有稳定性的特征是解题关键．根据三角形具有稳定性可得答案． 【详解】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：D． 7. 李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 美丽中国 B. 我爱中国 C. 我爱美 D. 我爱美丽 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用． 先提取公因式，再提根据完全平方公式分解因式，再根据对应的汉字判断即可． 【详解】解： ， ∵对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， ∴组合结果只有B“我爱中国”符合， 故选：B． 8. 如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故B符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：B． 9. 照相机成像时，照相机镜头的焦距，物体到镜头的距离，胶片（像）到镜头的距离，满足．已知，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式加减运算，求解关键能够根据题意，进行分式通分合并得到． 【详解】解：由题意可知，， 移项通分可得：， 已知， 等式两端取倒数得：． 故选：． 10. 如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若AEP与BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ） A. 2或 B. 6或 C. 2或6 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】设Q运动的速度为x cm/s，则根据△AEP与△BQP得出AP=BP、AE=BQ或AP=BQ，AE=BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案． 【详解】解：∵长方形ABCD， ∴∠A=∠B=90°， ∵点E为AD的中点，AD=8cm， ∴AE=4cm， 设点Q的运动速度为x cm/s， ①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ， ， 解得：， 即点Q的运动速度cm/s时，能使两三角形全等． ②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP， ， 解得：， 即点Q的运动速度6cm/s时，能使两三角形全等． 综上所述，点Q的运动速度或6cm/s时能使两三角形全等． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，涉及了动点的问题使本题的难度加大了，解答此类题目时，要注意将动点的运用时间t和速度的乘积当作线段的长度来看待，这样就能利用几何知识解答代数问题了． 二、填空题（每题3分，共5小题，共15分） 11. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】利用三角形的外角的性质可求出，再利用邻补角的定义即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 12 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 13. 已知多项式恰好是一个完全平方式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的结构特征，在已知首尾的两项的情况下，对中间项积的2倍要分正负两种情况．根据完全平方公式解答，即可求解． 【详解】解：∵多项式恰好是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为： 14. 如图，，以点A为顶点，为腰在第三象限作等腰直角．则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作轴，垂直为D，证明，得到，进而得到，根据点在第三象限即可求解． 【详解】解：如图，作轴，垂直为D，则， ∵点A、B坐标分别为，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系等知识，熟知相关知识，添加辅助线，证明是解题关键． 15. 如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和等腰直角三角形，， ∴，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∴当时，取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 二、解答题（第16—18题，每题8分；第19—21题，每题9分；第：22-23题，每题12分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，通过因式分解确定最简公分母是解题关键． 先把分子、分母能分解因式的分解因式，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； 【小问3详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 18. 如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， （1）下列结论：①，②，③ ，④与互余，其中错误的是______（只填序号）． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）①；（2）． 【解析】 【分析】（1）依据AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ， ，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出∠BAC，然后分别求出∠BAE和∠BAD，再利用角的和差计算即可． 【详解】解：（1）∵，，分别是的高线，角平分线，中线， ∴ ， ，， 而不一定成立，故①不正确，②正确； ∴， ∴，即与 互余，④正确； ∴， , ∴，③正确； 综上所述，错误的是：①； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． 19. 恒等式的探究及应用. （1）已知图1、图2的阴影部分面积相等，由此可以得到恒等式____________．（用式子表达） （2）运用（1）中的结论，计算下列各题： ①； ②． 【答案】（1） （2）①91；② 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式等知识． （1）分别表示图1、图2的阴影部分面积，根据面积相等即可求解； （2）①将转化为，运用（1）结论即可求解； ②将转化为，再利用（1）结论进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：图1阴影部分的面积表示为，图2阴影部分的面积表示为， ∵图1、图2的阴影部分面积相等， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①； ② ． 20. 某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： （1），两种书包每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】（1）每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元 （2）该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 【解析】 【分析】本题考查分式方程应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个种书包进价是元，则每个种书包的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每个种书包的进价，再将其代入中，可得出每个种书包的进价； （2）设该商场购进个种书包，则购进个种书包，根据“购进种书包不少于个，且购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【小问1详解】 解：设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元； 【小问2详解】 解：设该商场购进个种书包，则购进个种书包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值为、、， 当时，， 当时，， 当时，， 该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 21. 如图，在等边中，，是中线，与交于点M．猜想与的数量关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，进而可得，再结合含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：，理由如下： ∵在等边中，，是中线， ∴，，，， ∴，， ∴． 22. 综合实践． 活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系 活动资源 提供长度不同的两种木棒各4根（如图） 入项任务 运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完．选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图）进行研究． 问题探究过程 发现问题 请观察以上所有图形，并研究不同（2种或2种以上）摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？ 例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍． 小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积． 聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？ 你的发现是 ；（请用简洁的语言描述） 提出问题 请用代数式表示你的发现（设两种木棒的长度分别为a，b（其中），四种图形面积分别为，，，． 例如：小明的结论是． 小张的结论是， 你的结论是： ； 分析问题 请用所学的数学知识证明你的结论． 例如：小明的证明方法如下． 证：∵，， ∴， 你的证明： ； 拓展创新 把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系． 你的示意图： ； 你的关系式： ． 迁移应用 根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值． 你的解答： ． 【答案】[发现问题]丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和；[提出问题]；[分析问题]证明见解析；[拓展创新]图见解析，；[迁移应用] 【解析】 【分析】本题主要考查以几何图形为背景的完全平方公式应用， [发现问题]根据正方形和长方形面积即可得到； [提出问题]结合上一问即可得到； [分析问题]利用面积公式和完全平方公式即可证明； [拓展创新]利用面积和完全平方公式求解即可； [迁移应用]x和y的大小关系结合拓展创新得结论即可求得答案． 【详解】解：[发现问题]如图，连接各点． 由图可知，丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和． 故答案为：丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和． [提出问题] 由发现问题得． 故答案为：． [分析问题] ∵，． ∴． 又∵， ∴． 故答案为：； [拓展创新] 示意图如图． 图中每个矩形的面积为， 小正方形的面积为． 大正方形的面积为． ∵， ∴． 故答案为： ，． [迁移应用] 若，令，． 根据，得，即， 解得． 若，令，． 同理，得，解得． ∴． 故答案为：． 23. 如图，在中，，的平分线交于点，点为上一动点，过点作直线于点，分别交直线、、于点、、． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在的延长线上时，、、之间具有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】连接，根据平分，，可得，从而得到，进而得到，可得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可； （2）过点C作交于点F，交于点G，连接，根据平分，，可得，同理，从而得到，进而得到，，可得到，再由，可得，从而得到，即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点C作交于点F，交于点G，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用类比思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末联合质量监测八年级数学科试题 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），总分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1. 为估计池塘两岸A、B间距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么的距离可能是（ ） A. B. C. D. 2. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形的稳定性 7. 李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 美丽中国 B. 我爱中国 C. 我爱美 D. 我爱美丽 8. 如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 照相机成像时，照相机镜头的焦距，物体到镜头的距离，胶片（像）到镜头的距离，满足．已知，，则（　　） A B. C. D. 10. 如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若AEP与BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ） A. 2或 B. 6或 C. 2或6 D. 1或 二、填空题（每题3分，共5小题，共15分） 11. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的度数为______． 12. 分解因式：2x2﹣8=_______ 13. 已知多项式恰好是一个完全平方式，则________． 14. 如图，，以点A为顶点，为腰在第三象限作等腰直角．则点的坐标为___________． 15. 如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为______． 二、解答题（第16—18题，每题8分；第19—21题，每题9分；第：22-23题，每题12分） 16 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 18. 如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， （1）下列结论：①，②，③ ，④与互余，其中错误的是______（只填序号）． （2）若，，求的度数． 19. 恒等式的探究及应用. （1）已知图1、图2的阴影部分面积相等，由此可以得到恒等式____________．（用式子表达） （2）运用（1）中的结论，计算下列各题： ①； ②． 20. 某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： （1），两种书包每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 21. 如图，在等边中，，是中线，与交于点M．猜想与数量关系，并证明． 22. 综合实践． 活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系 活动资源 提供长度不同的两种木棒各4根（如图） 入项任务 运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完．选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图）进行研究． 问题探究过程 发现问题 请观察以上所有图形，并研究不同（2种或2种以上）摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？ 例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍． 小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积． 聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？ 你的发现是 ；（请用简洁的语言描述） 提出问题 请用代数式表示你的发现（设两种木棒的长度分别为a，b（其中），四种图形面积分别为，，，． 例如：小明的结论是． 小张的结论是， 你的结论是： ； 分析问题 请用所学的数学知识证明你的结论． 例如：小明的证明方法如下． 证：∵，， ∴， 你的证明： ； 拓展创新 把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系． 你的示意图： ； 你的关系式： ． 迁移应用 根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值． 你的解答： ． 23. 如图，在中，，的平分线交于点，点为上一动点，过点作直线于点，分别交直线、、于点、、． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在的延长线上时，、、之间具有怎样的数量关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $