精品解析：贵州省贵阳市第一中学2025-2026学年高二上学期9月检测数学试题

贵阳市第一中学2025-2026学年高二上学期9月检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 若抛物线的焦点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 2. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 已知圆与圆，则圆与圆位置关系（　　） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 4. 若，为椭圆的两个焦点，若，，是正三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）． A. 2 B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 若圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设点是曲线（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 到的距离的最大值为 10. 数列的前项为，已知，下列说法中正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 可能为等比数列 C. 为等差数列或等比数列 D. 可能既不是等差数列也不是等比数列 11. 如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，点P在线段上，下列说法正确的是（ ） A. 与平面ABCD所成角为 B. 平面ABD与平面的夹角的余弦值为 C. 当点P是线段的中点时，平面 D. 当点P与点C重合时，点P到平面的距离最小 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 13. 已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为__________． 14. 在数列中，，，，则______． 四、解答题（本大题共5小题） 15. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1. 16. 如图，空间几何体，△、△、△均是边长为2的等边三角形，平面平面，且平面平面，为中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知和分别是椭圆上两点. （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）若过点B的直线l交C于另一点P，且的面积为6，求直线l的方程. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市第一中学2025-2026学年高二上学期9月检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 若抛物线的焦点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程与焦点坐标的关系，求的值. 【详解】若抛物线的焦点坐标为，则，. 故选：D 2. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解. 【详解】设公差为， 则有整理得， 又由可得， 所以解得， 故选:B. 3. 已知圆与圆，则圆与圆位置关系（　　） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】求出两个圆的圆心距，再根据圆心距与两圆的半径之间的关系判断两圆的位置关系. 【详解】圆C1：x2+y2=4的圆心坐标为C1（0，0），半径r1=2，圆C2：（x–3）2+（y+4）2=9的圆心坐标为圆C2（3，–4），半径r2=3．∵|C1C2|=5=r1+r2，∴圆C1与圆C2的位置关系是为外切． 故选B． 【点睛】本题考查了判断两圆的位置关系，当圆心距等于两圆的半径之和时，两圆外切. 4. 若，为椭圆的两个焦点，若，，是正三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三角形的性质可得，即，再根据计算可得； 【详解】解：因为，，是正三角形的三个顶点，所以，即， 所以，又，所以，即，所以，则 故选：B 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造，则、、，利用导数研究其单调性，即可判断a，b，c的大小. 【详解】，，， 令且定义域为，则， 所以在上，即递减，故，即. 故选：A 6. 已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】作出几何图形，结合抛物线定义列式计算即得. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，， 由，得，则， 因此，所以. 故选：B 7. 若圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先将圆配成标准式，由题意则圆心到直线的距离不超过，利用点到线的距离公式得到不等式，解得. 【详解】解：圆的标准方程为：，圆心，半径为，要满足题意，由圆的几何性质得圆心到直线的距离不超过，则，解得，即或． 故选：C． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题. 8. 设点是曲线（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，所以切线斜率，倾斜角的范围 考点：导数的几何意义 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 到的距离的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意求出双曲线的渐近线方程即可判断A；根据双曲线的定义即可判断B；设，则，根据平面向量数量积的坐标表示可得，即可判断C；利用点到直线的距离公式计算即可判断D. 【详解】A：由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线交于点，需，故A正确； B：由双曲线的定义知， 又点关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 有，所以，故B错误； C：设，则（或），得， 又，所以， 则， 即的最小值为-3，故C正确. D：，易知当时，，则到直线的距离为0； 当时，到直线即的距离为， 又且，所以，则， 即到直线的距离小于，故D错误. 故选：AC 10. 数列的前项为，已知，下列说法中正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 可能为等比数列 C. 为等差数列或等比数列 D. 可能既不是等差数列也不是等比数列 【答案】BD 【解析】 【分析】利用来对进行判断，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 当时，， 当时，，， 两式相减得， ， ， 当时，，则数列是首项为，公比为的等比数列. 当时，，则数列是首项为，公差为的等差数列， 当，交替成立时，既不是等差数列也不是等比数列. 故选：BD 11. 如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，点P在线段上，下列说法正确的是（ ） A. 与平面ABCD所成角为 B. 平面ABD与平面的夹角的余弦值为 C. 当点P是线段的中点时，平面 D. 当点P与点C重合时，点P到平面的距离最小 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面角的概念即可求解判断A，建立空间直角坐标系，利用向量法求两平面的夹角及证明线面垂直，求解点到平面的最小距离，即可判断BCD. 【详解】对于A，因为平面，所以为与平面ABCD所成的角， 因为，所以与平面ABCD所成角为，错误； 对于B，设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则， 设平面的法向量为，所以， 令，则，易知平面的一个法向量为， 设平面ABD与平面的夹角为，则， 所以平面ABD与平面的夹角的余弦值为，正确； 对于C，当点P是线段的中点时，，则， 因为，所以， 又，所以， 平面，平面，所以平面，正确； 对于D，设，则， 所以点P到平面的距离为， 故当时，，所以当点P与点C重合时，点P到平面的距离最小，正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解. 13. 已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】当为短轴端点时，最大，进而求出的范围，由正弦定理得外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到的面积，由三角形内切圆的半径公式可得的内切圆半径，化简可得，利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由于，所以，，故，设，当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形，所以， 设外接圆半径为，则，即， 由余弦定理得：，整理可得， 所以的面积，故的内切圆半径， 所以，因为， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为． 【点睛】结论点睛：本题主要考查椭圆焦点三角形的面积以及内切圆和外接圆的半径问题，常用以下结论： (1)椭圆焦点三角形的周长； (2)椭圆焦点三角形的面积； (3)三角形外接圆的半径公式：； (4)三角形内切圆的半径公式：(其中为三角形面积，为周长) 14. 在数列中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，利用迭代法，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可. 【详解】由得，， 又由得，，，，， 由此可得数列为周期数列，周期为， 又因为， 所以， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）先根据等比数列通项公式得Sn，再根据和项与通项关系求数列{an}的通项公式（2）由于奇数项从第三项起成等比数列，所以利用等比数列求和公式求和 试题解析：解：(1)∵S1＝a1＝1， 且数列{Sn}是以2为公比的等比数列， ∴Sn＝2n－1， 又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2. 当n＝1时，a1＝1，不适合上式． ∴an＝ (2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝. ∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝. 16. 如图，空间几何体，△、△、△均是边长为2的等边三角形，平面平面，且平面平面，为中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）分别取，中点，，连接，，，， 由面面且交于，平面，有面 由面面且交于，平面，有面 所以,，所以， 由有， ，所以， ,所以面面，所以 （2） 【解析】 【分析】（1）分别取，中点，，连接，，，，，通过面面平行的判定定理，证得面面，从而证得平面. （2）方法一（向量法）：以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值.方法二（几何法）：过点作垂线，垂足为，连接.由此作出二面角的平面角并证明，解直角三角形求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法1：以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系 由面，所以面的法向量可取 点,点,点， ,， 设面的法向量，所以，取 设二面角的平面角为，据判断其为锐角. 法2：过点作垂线，垂足为，连接. 由（1）问可知又因为，所以平面，则有. 所以为二面角的平面角. 由题可知，所以,则 所以， 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，包括向量法和几何法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查运算求解能力，属于中档题. 17. 已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，根据题意，列出方程求得公比，即可求得等比数列的通项公式； （2）由（1）得，结合裂项相消法，即可求解. 【小问1详解】 解：设的公比为，由的各项均为正数，可得， 因为成等差数列，所以， 又因为，可得，化简得， 解得或（舍去）， 故的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知， 设的前项和为， 则. 18. 已知和分别是椭圆上两点. （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）若过点B的直线l交C于另一点P，且的面积为6，求直线l的方程. 【答案】（1）椭圆的方程为；椭圆C的离心率为 （2）直线l的方程为或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上两点列方程可求出，即可得出离心率； （2）求得到的距离，设的坐标为，进而可得或，利用点在椭圆上，进而求得点的坐标，可求直线的方程. 【小问1详解】 因为和是椭圆上两点， 所以，解得，所以椭圆的方程为； 所以，所以，所以椭圆C的离心率为； 【小问2详解】 因为和，所以， 设到边上的高为，又的面积为6， 所以，解得， 又所在直线方程为，整理得， 设的坐标为，所以，解得或， 当，又点在椭圆上，所以，解得或， 当时，又点在椭圆上，所以， 代入得，整理得， 即，因为，所以方程无解， 所以点的坐标为或， 当点的坐标为，可得， 所以直线l的方程为，即； 当点的坐标为，可得， 所以直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程为或. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2） 若，在上单调递增，在上单调递减； 若，在上单调递减，在上单调递增； 若，在上单调递增，在上单调递减； 若，在上单调递增； 若时，在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合，的值，即可求得结果； （2）求得，对参数分类讨论，利用导数研究的根的大小，结合与函数单调性的关系，即可求得函数单调性. 【小问1详解】 当时，，，，， 故在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 由题意可知：的定义域为，且 ， （ⅰ）若，则在上恒成立， 当，则；当，则； 可知在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）若，令，则或， ①当，即，则在上恒成立， 当，则；当，则； 可知在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时， 当或，则；当，则； 可知在上单调递增，在上单调递减； ③当，即时，则在上恒成立， 可知在上单调递增； ④当，即时， 当或，则；当，则； 可知在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：若，在上单调递增，在上单调递减； 若，在上单调递减，在上单调递增； 若，在上单调递增，在上单调递减； 若，在上单调递增； 若时，在上单调递增，在上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $