精品解析：重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

重庆市巴蜀中学2026届高三9月月考 数学试卷 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. “ ” 是 “ ”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断. 【详解】因为，所以， 反之满足，但是不满足， 所以“ ” 是 “ ”的充分不必要条件. 故选：B. 2. 已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抽象函数定义域可得的定义域，结合分母不为零可得答案. 【详解】因为的定义域为 ，所以的定义域为， 因为，所以的定义域为. 故选：C 3. 已知角 的终边经过点 ，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义及诱导公式即可求解. 【详解】由题意可知，所以. 故选：C 4. 已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共渐近线方程可设双曲线的方程为，代入点坐标，解出即可. 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 5. 某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（ ） A. 300 种 B. 90 种 C. 240 种 D. 150 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用先分组后分配原则来进行求解即可. 【详解】先将5名学生分成三组的分法有：（种） 再将这三组学生分配到三个地段共有：（种） 所以利用分步乘法原理，可知每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（种） 故选：D. 6. 已知函数为偶函数，且若方程有六个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出分段函数的图像，利用数形结合的方法，可求a的取值范围. 【详解】当时，；当时，, 则当时，， 令，则，方程有6个不同实根， 即直线与函数的图象有6个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得当且仅当时直线与函数的图象有6个交点， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 7. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数单调性可得、是关于的方程的两不同根，再利用根的判别式与韦达定理计算即可得. 【详解】由，则有，故， 且有在定义域内单调递增， 则，， 即、， 令、，则，， 则、， 故是关于的方程的两不同非负根， 则有，解得. 故选：A. 8. 当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】时，不等式显然成立，当时，对原不等式分离参数得到，结合导数分析出不等式右边最小值. 【详解】时，不等式显然成立； 当时，， 设，， 设，， 即在上单调递增，则，则在恒成立， 对于可知， ，，单调递减， ，，单调递增， 故，于是. 故选：A 二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分) 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间 上的最大值为3 C. 是图象的一个对称中心 D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析函数的性质，逐项判断即可. 【详解】对A：因为，所以函数的最小正周期为，故A错误； 对B：由，，当时，，此时取得最大值3，故B正确； 对C：因为，故是图象的一个对称中心，故C正确； 对D：将的图象向左平移个单位长度后，得函数，为偶函数，图象关于轴对称，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为 4 C. D. 在区间上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式求出函数的周期，再根据已知等式求出函数的一条对称轴，然后逐一判断即可. 【详解】A：因为函数 为定义在 上的奇函数， 所以，在中，令，则有，因此本选项说法正确； B：因为函数 为定义在 上的奇函数， 所以有，而，所以有， 即有，则有， 所以函数的周期为，因此本选项说法正确； C：因为奇函数的周期为， 所以， 因此本选项说法正确； D：当时，，， 由，所以该函数的一条对称轴为， 又因为 在区间上单调递增， 所以 在区间上单调递减， 在区间上单调递减，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 11. 已知实数 且 ，下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 12 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A利用乘“1”法即可求解最值，对B，构造关于的不等式，解出即可；对C，利用减少变量法转化为关于的式子，然后利用基本不等式即可；对D，利用柯西不等式即可求解最值. 【详解】对于A，， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，因为，所以， 当且仅当时，取＂＂，故B正确； 对于C，由题得且，所以.， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以， 首先证明柯西不等式：设为任意实数，则． 欲证. 即证，即证，而这是显然成立的，故原不等式得证． 则， 所以，当且仅当时等号成立，故D正确； 故选ABD． 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数基本关系化简求解. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 13. 设是一个随机试验中的两个事件，若 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】运用条件概率和并事件的概率公式即可解决. 【详解】，将代入可以求得， ，将，，求得， 故答案为：. 14. 已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，设，则，利用即可求解. 【详解】当直线斜率为正时，如图所示， 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为， 设，则， 由抛物线定义可知，，， 所以，， ， 在中，， 则直线 的斜率. 由对称性可知，当直线斜率为负时，. 故答案为： 四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知函数. （1）求函数的对称轴； （2）求的单调区间. 【答案】（1）， （2）增区间，减区间. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为， 令，解得， 所以函数的对称轴为. 【小问2详解】 令，解得， 令，解得， 所以的单调增区间为，单调减区间为. 16. 已知数列 为等差数列，的前 项和为 . （1）求数列的通项公式； （2）证明 . 【答案】（1） （2）证明： 因为， 所以 ， 因为，所以，则, 即成立. 【解析】 【分析】（1）根据所给等式列出方程组求解、，写出数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由题意知，，， 解得，， 所以. 【小问2详解】 略. 17. 已知一个口袋里装有 4 个相同的红球，2 个相同的白球，红白球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从口袋中无放回地随机摸取一个球，直到摸取完 2 个白球后停止，记随机变量 表示摸取球的次数. （1）求甲同学第二次摸取到白球的概率； （2）求随机变量 的数学期望 . 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式计算即可； （2）首先写出的取值为2,3,4,5,6，再分别计算出其分布列，最后计算期望即可. 【小问1详解】 记＂甲同学第二次摸球取到白球＂为事件， 所以． 【小问2详解】 由题意知的取值为2,3,4,5,6， , , 列表如下： 2 3 4 5 6 所以． 18. 已知函数. （1）请回答在 上的零点个数，并说明理由； （2）求证: 的所有零点之和大于. 【答案】（1）2个零点，理由如下： 要确定函数在上的零点个数，就是确定方程在上解的个数. 设，则在上单调递减，在上单调递增，且，. 设在上单调递增，且，，. 作函数草图如下： 可得方程在和上各有1个解. 所以函数在上有2个零点. （2）证明： 设，为函数在上的两个零点，且. 则，， 因为，，则. 因为在上单调递增， 所以， 又在上单调递增， 所以. 【解析】 【分析】（1）转化为方程在上解的个数，分析函数单调性，数形结合，可确定函数零点个数. （2）利用函数的单调性，即可证明的所有零点之和大于. 【小问1详解】 2个零点，理由略； 【小问2详解】 略. 19. 已知椭圆 过点 和 . （1）求椭圆的方程； （2）过点 作圆的两条切线 ，两切线与椭圆的另外一个交点分别为 ，在半径 变化的过程中，直线 是否过定点? 若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由; （3）在题（2）中，当 时，直线 是否与圆 相切？请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，定点为； （3）相切，理由如下： 由（2）知，所以， 当时，， 则， 所以直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 【解析】 【分析】（1）将已知点代入椭圆方程即可求解； （2）设出切线方程，联立椭圆方程，借助韦达定理表示出点的坐标和斜率，进而得直线方程，令，利用韦达定理化简即可得定点； （3）利用（2）中结论求出斜率，得到直线的方程，根据圆心到直线距离即可判断相切. 【小问1详解】 由题知，，解得， 所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 设切线方程为，即， 则，整理得， 因为，所以直线斜率存在，且不为0，记为， 由韦达定理可知，， 联立得， 设， 则，即， 所以. 同理，，. 则， 所以，直线的方程为， 令，则 又，所以， 所以直线 过定点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴蜀中学2026届高三9月月考 数学试卷 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. “ ” 是 “ ”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角 的终边经过点 ，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（ ） A. 300 种 B. 90 种 C. 240 种 D. 150 种 6. 已知函数为偶函数，且若方程有六个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分) 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间 上的最大值为3 C. 是图象的一个对称中心 D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 10. 已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为 4 C. D. 在区间上单调递增 11. 已知实数 且 ，下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 12 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知 ，则 _____. 13. 设是一个随机试验中的两个事件，若 ，则 _____. 14. 已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为_____. 四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知函数. （1）求函数的对称轴； （2）求的单调区间. 16. 已知数列 为等差数列，的前 项和为 . （1）求数列的通项公式； （2）证明 . 17. 已知一个口袋里装有 4 个相同的红球，2 个相同的白球，红白球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从口袋中无放回地随机摸取一个球，直到摸取完 2 个白球后停止，记随机变量 表示摸取球的次数. （1）求甲同学第二次摸取到白球的概率； （2）求随机变量 的数学期望 . 18. 已知函数. （1）请回答在 上的零点个数，并说明理由； （2）求证: 的所有零点之和大于. 19. 已知椭圆 过点 和 . （1）求椭圆的方程； （2）过点 作圆的两条切线 ，两切线与椭圆的另外一个交点分别为 ，在半径 变化的过程中，直线 是否过定点? 若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由; （3）在题（2）中，当 时，直线 是否与圆 相切？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $