精品解析：河南部分学校2026-2027学年高二上学期质量检测(一)数学B卷

高二数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0° B. 45° C. 90° D. 135° 【答案】C 【解析】 【详解】直线等价于,该直线的斜率不存在，所以倾斜角为90°. 2. 已知圆，则该圆的半径为（ ） A. B. 6 C. 9 D. 13 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，则半径为． 3. 函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移而得到（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【详解】 因为， 根据图象平移规则，函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 4. 已知点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得， 所以在上的投影向量为． 5. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 6. 若一个正四面体的体积为，则其表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将正四面体补形为正方体，利用割补法表示出正四面体的体积，从而求出正四面体的棱长，进而求出表面积. 【详解】如图所示，设正四面体为，并将其补形成正方体， 设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以， 解得，故正四面体的棱长为， 因此该正四面体的表面积为. 7. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角恒等式得到，再利用余弦定理结合锐角得到，再根据余弦定理表示出，即可求出答案. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 故，故，由正弦定理得. 由题知三个内角均为锐角且，由余弦定理得， 代入，得， 又，所以， 因此，令，则， 于是的取值范围为. 8. 在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，曲线C表示原点； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 同理，可在平面直角坐标系内作出曲线C的完整图形（如图），又曲线C上的点到原点距离的最大值为， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. 一定是实数 D. 可能是方程的根 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查复数､共轭复数的概念和运算.利用复数的四则运算以及共轭复数的定义检验四个选项即可. 【详解】对于A，设，由得，于是，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，结合A项可知是实数，故C正确； 对于D，对于方程，由求根公式得该方程的根为，计算根的模为，不满足，因此不可能是该方程的根，故D错误. 10. 已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（ ） A. 点A的坐标为 B. 当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C. 直线的方程可以是 D. 直线的方程可以是 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查过定点的直线方程、点到直线的距离公式．对于A选项利用直线过定点的定点求法求解即可；对于B，利用直线l在y轴上的截距为1，结合直线的方程求解即可；对于C，考虑斜率不存在的情况求解即可；对于D，利用点到直线距离公式建立方程即可. 【详解】对于A，由已知得，令解得所以定点，故A正确； 对于B，当直线l在y轴上的截距为1时，直线l过点，代入得，解得，此时直线l的方程为，故B正确； 对于C，易知直线过定点，当直线的斜率不存在，即时，可得，此时点到直线的距离为2，符合题意，故C正确； 对于D，当直线的斜率存在，即时，由题可得，解得，即直线，故D错误． 11. 过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 可以是等边三角形 B. 直线过定点 C. 四边形面积的最小值是 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合圆的切点弦、切线性质、向量的数量积逐个分析选项：A选项利用特殊角进行反推验证；B选项根据切点弦方程判断定点；C选项四边形面积转化成切线长进行求解；D选项利用二倍角公式结合范围求解. 【详解】由题知圆O的圆心为，半径． 不妨取点，则，故，从而， 所以可以是等边三角形，故A正确； 设点，则，以为直径的圆的方程为， 又圆，两式作差可得直线的方程为， 又，代入可得 ，令解得故直线过定点，故B正确； 四边形的面积为，故当最小时，四边形的面积最小， 又的最小值为圆心到直线的距离，且， 因此四边形面积的最小值为，故C错误； ， 在四边形中，，所以， 又，所以， 则，故的取值范围为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】时，两直线不垂直，不合题意，所以直线的斜率为， 又直线的斜率为3，且两条直线互相垂直，所以，解得． 由，解得，即这两条直线的交点坐标为． 13. 圆与圆的公共弦长为_________． 【答案】 【解析】 【详解】圆，圆的圆心为，半径， 圆，圆的圆心，半径， 因为，所以圆与圆相交， 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为， 则圆心到公共弦所在直线的距离为， 故所求弦长为． 14. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换进行化简. 【详解】由题可得， 得， 若，则，这与矛盾，故． 则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点分别为． （1）设的中点为，求中线所在直线的方程； （2）若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）先求中点坐标，再用点斜式求中线方程； （2）根据截距关系分类讨论，用截距式求方程. 【小问1详解】 由点得线段的中点为，故， 所以中线所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 若直线过坐标原点，则其斜率为， 此时直线的方程为，即，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得， 即直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 16. 已知直线，圆． （1）若直线l恰好为圆C的切线，求圆C的半径； （2）设直线与轴的交点为，以为圆心，2为半径作圆，若过圆上一点能作圆的两条切线，切点分别为，且恰存在两个点满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程转化为标准方程从而得到圆心及半径，根据直线与圆相切列方程即可求出答案； （2）根据题意可得到以为圆心，为半径的圆与圆相交，根据两圆的位置关系列不等式即可求出答案. 【小问1详解】 由圆，得圆， 所以圆心为，半径． 若直线恰好为圆C的切线， 则，解得，即圆C的半径为2． 【小问2详解】 是正方形， 故满足条件的点在以为圆心，为半径的圆上， 即点既在圆上又在圆上，“恰存在两个点”圆与圆相交． 由直线的方程，得，圆的半径，圆的半径，圆心距，相交的条件为．① 由不等式①右端，解得． 由，得． 由不等式①左端得或，结合得． 综上，a的取值范围为 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线的方程； （3）求的平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）设，根据中点在，点在上列方程组即可求解； （2）设，根据点在和直线与直线垂直，列方程组即可求出点，求出，利用直线的点斜式方程即可求解； （3）求出，即得到的平分线所在直线的斜率为，利用直线的点斜式方程即可求解. 【小问1详解】 设， 因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得， 即点的坐标为． 【小问2详解】 设， 因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点C的坐标为． 易知， 故边所在直线的方程为，即． 【小问3详解】 由（1）（2）及已知可知， 易得， 故， 从而可知的平分线所在直线的一个方向向量是， 即角平分线所在直线的斜率为1， 故角平分线所在直线的方程为，即． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面， ，M为BC的中点． （1）求证：平面PBC； （2）求点M到平面PAB的距离； （3）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值． 【答案】（1）因为平面平面PBC， 平面平面平面PBC， 所以平面， 又因为平面PAC，所以． 因为，所以，所以， 又，且平面， 所以平面PBC． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质，由平面平面PBC得到线面垂直平面，再得到线线垂直，结合，再利用线面垂直判定定理得到平面即可. （2）利用等体积法得到点M到平面PAB的距离即可；（3）根据线面角的定义，结合M到平面PAB的距离计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及已知可得． 设点到平面的距离为d，则点到平面的距离为． 因为平面，所以． 在中，，所以， 因为平面，所以． 由，解得． 【小问3详解】 由，可得， 设直线与平面所成的角为θ，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 19. 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足（且）． （1）证明动点P的轨迹为圆，并指出圆心坐标及半径． （2）设时，动点P的轨迹为圆C，过点作直线，其中与圆C交于点D，F，与圆C交于点E，G． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若，求四边形DEFG的面积S的最小值． 【答案】（1）设，则， 由，得， 整理得，又且， 则，即， 所以动点P的轨迹为圆，其圆心坐标为，半径为. （2）（i）（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用两点间距离公式列式，结合圆的定义推理得证. （2）（i）把代入，求出圆心到直线的最大距离，结合三角形面积公式求出直线方程；（ii）按直线的斜率是否存在且不为0分类，利用圆的弦长公式及不等式性质求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知，当时，圆C的方程为，圆心，半径， 直线过点，则，点在圆内，且圆心到直线的最大距离为1， 由的面积为，得，则， 若，则圆心C到直线DF的距离为，不符合题意； 若，则圆心C到直线DF的距离为，符合题意， 因此圆心到直线DF的距离为，此时，即轴， 所以的方程为． （ii）当中有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0， 由（i）知； 当直线的斜率都存在时，设直线的方程为（），则直线的方程为， 点到直线的距离为，则， 同理得，因此 ，于是， 所以四边形DEFG面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0° B. 45° C. 90° D. 135° 2. 已知圆，则该圆的半径为（ ） A. B. 6 C. 9 D. 13 3. 函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移而得到（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 4. 已知点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 若一个正四面体的体积为，则其表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. 一定是实数 D. 可能是方程的根 10. 已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（ ） A. 点A的坐标为 B. 当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C. 直线的方程可以是 D. 直线的方程可以是 11. 过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 可以是等边三角形 B. 直线过定点 C. 四边形面积的最小值是 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为_________． 13. 圆与圆的公共弦长为_________． 14. 已知，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点分别为． （1）设的中点为，求中线所在直线的方程； （2）若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 16. 已知直线，圆． （1）若直线l恰好为圆C的切线，求圆C的半径； （2）设直线与轴的交点为，以为圆心，2为半径作圆，若过圆上一点能作圆的两条切线，切点分别为，且恰存在两个点满足，求的取值范围． 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线的方程； （3）求的平分线所在直线的方程． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面， ，M为BC的中点． （1）求证：平面PBC； （2）求点M到平面PAB的距离； （3）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值． 19. 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足（且）． （1）证明动点P的轨迹为圆，并指出圆心坐标及半径． （2）设时，动点P的轨迹为圆C，过点作直线，其中与圆C交于点D，F，与圆C交于点E，G． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若，求四边形DEFG的面积S的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $