精品解析：河南省三门峡市渑池县第二高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

渑池二高2025－2026学年上学期高三开学考试高三数学 注意事项： 考试时间120分钟，满分150分．答案写在答题卡，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知和分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 7. 已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为米每秒，1阿秒等于秒．现有一条50厘米的线段，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，需要截（ ）次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离．（参考数据：） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 设函数f（x）＝若f（x）－b＝0有三个不等实数根，则b可取的值有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知函数的定义域为，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. 不等式的解集为 D. 三、填空题（每题5分共15分） 12. 在上的极小值点为______． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则__________. 四、解答题 15. 已知，，． （1）求的值； （2）解不等式：． 16. 已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. （1）求的值； （2）求. 17. （1）已知角α的终边上一点，（），求． （2）若，且，求的最小值； （3）若，的最大值． 18. 已知函数 （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）若，函数与轴有两个交点，求的取值范围. 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渑池二高2025－2026学年上学期高三开学考试高三数学 注意事项： 考试时间120分钟，满分150分．答案写在答题卡，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】联立和，求得，即可求得其子集个数. 【详解】由已知集合， 联立和，可得或或， 则， 故集合的子集个数为个， 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定为全称命题即可判断. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：C 3. 已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可得，或.根据已知列出不等式组，即可得出答案. 【详解】解，可得，或. 由题意，，解得，检验符合题意. 故选：D． 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导得，从而可求解. 【详解】由题意得，所以.故A正确. 故选：A. 5. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值1比较的大小关系，再结合幂函数单调性比较的大小关系. 【详解】因为在定义域内单调递减，则，即； 又因为在定义域内单调递增，则，即； ，且在内单调递增， 则，即； 综上所述：. 故选：C. 6. 已知和分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用函数的奇偶性转化为关于和的方程，再令，两个方程联立求可得的值. 【详解】令，可得， 因为和分别是定义在R上的奇函数和偶函数， 故，即， 令，可得， 所以，解得， 故选：. 7. 已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据区间单调性得对任意恒成立，即，利用导数研究右侧单调性，进而求参数a的范围. 【详解】因为函数在上是单调递增函数， 所以对任意恒成立，所以， 令，则， 所以在内为减函数， 所以，则． 故选：C 8. 宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为米每秒，1阿秒等于秒．现有一条50厘米的线段，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，需要截（ ）次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离．（参考数据：） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得出截次后，剩余的长度米.然后列出不等式，两边同时取对数，结合换底公式以及已知数据，求解即可得出答案. 【详解】根据已知可得，光在1阿秒内走的距离为米. 截次后，剩余的长度米. 由可得，， 结合函数的单调性，两边同时取对数可得， ， 所以，. 所以，应当截31次. 故选：B. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，若，由不等式的性质可得，，则，B对； 对于C选项，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，C对； 对于D选项，若且，则，所以，，D对. 故选：BCD. 10. 设函数f（x）＝若f（x）－b＝0有三个不等实数根，则b可取的值有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】f（x）－b＝0有三个不等实数根,即函数y＝f（x）的图象与y＝b有3个不同交点，作出函数f（x）的图象，数形结合可得答案. 【详解】作出函数f（x）＝的图象如图： f（x）－b＝0有三个不等实数根， 即函数y＝f（x）的图象与y＝b有3个不同交点， 由图可知，b的取值范围是(1，3]，根据选项，故b可取2，3． 故选：BC 【点睛】本题考查根据方程实根个数求参数问题，考查分段函数，指数、对数的图象，属于中档题. 11. 已知函数的定义域为，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. 不等式的解集为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别令和，得到，可判定A正确；由为奇函数，根据，可判定B正确；设，证得，得到在上单调递增，结合，可判定C正确；由为奇函数，和，进而可判定以D错误． 【详解】对于A中，令，可得，所以， 令，得到，即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B中，因为为奇函数，且，可得，故B正确； 对于C中，设，可得， 所以， 又因为，所以，所以，即， 所以在上单调递增， 因为，所以， 由，可得， 所以，所以，得到， 所以的解集为，所以C正确； 对于D中，因为为奇函数，所以， 所以， 又因为，可得，所以D错误． 故选：ABC． 三、填空题（每题5分共15分） 12. 在上的极小值点为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的极值，进一步得出极值点即可． 【详解】因为， 所以，令，得或， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以时，取极小值，即极小值点为， 故答案为：． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 14. 若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】将函数解析式化为，构造奇函数，由函数的性质可得，进而得函数的最值. 【详解】因为，令，，则， 又因为，所以函数为奇函数， 因为奇函数的图象关于原点对称，所以函数区间上的最大值和最小值之和为0， 即，所以. 故答案为：4. 四、解答题 15. 已知，，． （1）求的值； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的概念列方程组求解即可； （2）利用换元法令，解一元二次不等式，结合指数函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由可得， 代入得， 又因为， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得，所以不等式即为， 令得，解得， 即，解得， 所以不等式的解集为. 16. 已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义先计算出的值，然后利用齐次式的运算化简原式，代入的值即可求解； （2）利用诱导公式直接化简原式，然后代入的值即可求解. 【小问1详解】 ∵角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点， ∴，∴. 【小问2详解】 . 17. （1）已知角α的终边上一点，（），求． （2）若，且，求的最小值； （3）若，的最大值． 【答案】（1）答案见解析；（2）18；（3） 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论的思想结合余弦函数的定义进行求解即可； （2）等式两边同时除以，得到，再利用基本不等式求解最值； （3）对式子，利用分离常数法进行整理，将看作一个整体，再利用基本不等式求解． 【详解】（1）当时， 当时． （2）由，得， ，当且仅当时取等号 故当，取最小值18． （3）若，则 当且仅当时取等号， ． 即若，的最大值为． 18. 已知函数 （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）若，函数与轴有两个交点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义是切点处切线斜率，求得参数a. （2）将函数根的问题转化为函数图像交点问题，研究新函数的单调性，数形结合，求得参数取值范围. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为，， 因为曲线在处的切线方程为， 所以切线斜率为， 即时，， 解得 （2）因为函数与轴有两个交点， 所以方程在上有两个不等实根， 即在上有两个不等实根， 又方程可化为， 令，， 则只需直线与函数的图像有两个不同的交点， 又，所以， 由得，解得； 由得，解得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 因此 当时，；当时，， 画出函数的大致图像如下： 由函数图像可得，当，即时，直线与函数的图像有两个不同的交点，即函数与轴有两个交点. 因此的取值范围为 【点睛】方法点睛：将函数零点问题转化为图像交点问题，根据导数求得单调区间，作出图像，数形结合解决参数取值范围. 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上递减，当时，在上递减，在上递增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； （2）通过分类讨论结合零点存在性定理即得结论； （3）由题意得在上恒成立，令，通过两次求导结合分类讨论分析的单调性可得结论. 【小问1详解】 ∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． 【小问2详解】 由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． 【小问3详解】 由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $