第4单元 小手艺展示——分数乘法(知识清单）数学青岛版（五四制）五年级上册

第4单元 小手艺展示——分数乘法 单元知识清单讲义 一、分数乘法的意义 1. 分数乘整数的意义 表示几个相同分数的和的简便运算。 2. 分数乘分数的意义 表示求一个数的几分之几是多少。 二、分数乘法的计算法则 1. 分数乘整数的计算方法 分子与整数相乘，分母不变。 2. 分数乘分数的计算方法 分子相乘作分子，分母相乘作分母。 计算前可先约分，简化运算。 3. 带分数乘法 将带分数化为假分数后计算。 三、分数乘法的应用 1. 求一个数的几分之几是多少 关键：找准单位“1”的量，用乘法计算。 2. 分数连乘问题 连续求一个数的几分之几，依次计算。 3. 实际问题中的分数乘法 价格调整：商品先涨价​，再降价，现价与原价的关系。 剩余问题：一桶油 10 千克，用去，剩余 10×(1−​)=2 千克。 四、倒数 1. 倒数的定义 乘积为 1 的两个数互为倒数。 2. 求倒数的方法 真分数、假分数：交换分子分母。 带分数：先化为假分数，再求倒数。 小数：化为分数后求倒数。 五、积与因数的关系 1. 积与因数的大小比较 一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于原数。 一个数（0 除外）乘小于 1 的数，积小于原数。 题型1：分数乘整数 【例1】                                                                                     【练1】下面对的理解错误的是（    ）。 A．5个相加 B．的5倍 C．5个相乘 D．5的 题型2：分数乘分数 【例2】计算下面各题。（写出计算过程）                   【练2】如果小鲁同学借用如图两图的涂色部分表示了一个乘法算式的实际意义，那么它表示的算式是（    ） A． B． C． D． 题型3：分数乘小数 【例3】2.5kg的是( )kg，的1.6倍是( )kg。 【练3】看线段图列方程式。（只列方程式，不计算） 题型4：求一个数的几分之几 【例4】五年级一班同学正在众筹给山区儿童捐助学习用品，丽丽和乐乐都捐了自己零花钱的，谁捐的钱多？（    ） A．丽丽 B．乐乐 C．一样多 D．无法确定 【练4】生活在我国云南的懒猴爱吃蜂蜜，所以也叫蜂猴。大懒猴的体长大约是，而小懒猴（中文学名倭蜂猴）的体长大约只有它的。小懒猴的体长大约是多少厘米？ 题型5：分数的连乘问题 【例5】某县2024年第一实验小学一年级新生有480人，第二实验小学一年级新生是第一实小学的，第三小学一年级新生是第二实验小学的，第三实验小学一年级新生有多少人？（先画线段图分析，再解答） 【练5】计算下列各题。（能简算的要简算）                                              题型6：连需求一个数的几分之几 【例6】看图列式，不计算。 。 【练6】人体共有206块骨头，其中手骨的块数占全身骨头的，手指骨的块数又占手骨的，人体的手指骨共有多少块？ 题型7：倒数的认识 【例7】的倒数是( )，( )是4的倒数；( )没有倒数，( )的倒数是它本身。 【练7】一个分数小于它的倒数，那么这个分数一定是（    ）。 A．假分数 B．真分数 C．带分数 1．甲、乙、丙是三个大于0的数，乙数是甲数的，丙数是乙数的。甲、乙、丙三个数的大小关系是（    ）。 A．甲＞乙＞丙 B．丙＞乙＞甲 C．乙＞丙＞甲 D．乙＞甲＞丙 2．两根同样长的铁丝，第一根截去它的，第二根截去。剩下的铁丝相比，（    ）。 A．第一根更长 B．第二根更长 C．一样长 D．无法比较 3．《电动自行车安全技术规范》规定，电动自行车最高速度每分钟不得超过张老师早上骑电动自行车从家去学校，距离上班时间还有分钟。已知张老师家与学校相距，她会迟到吗？ 4．已知m和n互为倒数，则×等于（    ）。 A．10 B． C．1 D．无法确定 5．下列四个图中，阴影部分不能表示吨的是（    ）。 A． B． C． D． 6．同学们在计算时，出现了下面4种不同的计算方法，其中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 7．按要求填一填，画一画。 拖拉机每小时耕地公顷，小时耕地多少公顷？ (1)列式计算： (2)请在下图中表示所列算式。 (3)解决这个问题使用了数学中（    ）的思想方法。 A．转化 B．类比 C．数形结合 8．观察下面三幅图，填一填，画一画。 （1） 画表示出第一个因数   画表示出第二个因数  画虚线一样看出积 请用算式表示上边图的意思：（    ）。 （2）照样子画出的图示。 画表示出第一个因数   画表示出第二个因数  画虚线一样看出积 9．一根绳10米，用去米，还剩( )米；一根绳10米，用去，还剩( )米。 10．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰三角形直角三角形、一块正方形板和一块平行四边形组成的。下图是一个七巧板拼成的大正方形，则图中2号和4号部分的面积和占七巧板总面积的( )。如果大正方形的边长是8cm，那么2号和4号部分的面积和是( )cm2。 11．中国第二长河黄河全长约5464公里，它始源于巴颜喀拉山北麓的约古宗列曲，在山东省注入渤海。从内蒙古自治区托克托县的河口镇到河南郑州的桃花峪是黄河的中游，全长约1200公里，桃花峪以下是黄河的下游，长度比中游长，黄河下游的长度约是多少公里？ 12．一根200米长的铁丝，第一天用去全长的，第二天用去余下的，第二天用去多少米？ 13．在爱心一日捐活动中，某市第一实验小学全体教师一共捐款24000元，而第二实验小学比第一实验小学的少200元，第二实验小学教师一共捐款多少元？ 14．看图列式计算。 15．据科学资料介绍，儿童负重最好不要超过体重的，否则将不利于孩子的身体发育。小齐的书包重5千克，小齐的体重为40千克。他的书包超重了吗？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4单元 小手艺展示——分数乘法 单元知识清单讲义 一、分数乘法的意义 1. 分数乘整数的意义 表示几个相同分数的和的简便运算。 2. 分数乘分数的意义 表示求一个数的几分之几是多少。 二、分数乘法的计算法则 1. 分数乘整数的计算方法 分子与整数相乘，分母不变。 2. 分数乘分数的计算方法 分子相乘作分子，分母相乘作分母。 计算前可先约分，简化运算。 3. 带分数乘法 将带分数化为假分数后计算。 三、分数乘法的应用 1. 求一个数的几分之几是多少 关键：找准单位“1”的量，用乘法计算。 2. 分数连乘问题 连续求一个数的几分之几，依次计算。 3. 实际问题中的分数乘法 价格调整：商品先涨价​，再降价，现价与原价的关系。 剩余问题：一桶油 10 千克，用去，剩余 10×(1−​)=2 千克。 四、倒数 1. 倒数的定义 乘积为 1 的两个数互为倒数。 2. 求倒数的方法 真分数、假分数：交换分子分母。 带分数：先化为假分数，再求倒数。 小数：化为分数后求倒数。 五、积与因数的关系 1. 积与因数的大小比较 一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于原数。 一个数（0 除外）乘小于 1 的数，积小于原数。 题型1：分数乘整数 【例1】                                                                                     【答案】；；1；； 3；；2；18； 6；4；；； 14；3；； 【详解】略 【练1】下面对的理解错误的是（    ）。 A．5个相加 B．的5倍 C．5个相乘 D．5的 【答案】C 【分析】根据分数乘整数的意义：①求几个相同加数的和的运算；②求这个分数的几倍是多少；③求这个整数的几分之几是多少，据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．×5，可以理解为5个相加；理解正确； B．×5，可以理解为的5倍，理解正确； C．×5，不可以理解为5个相乘，理解错误； D．×5，可以理解为5的；理解正确。 对的理解错误的是5个相乘。 故答案为：C 题型2：分数乘分数 【例2】计算下面各题。（写出计算过程）                   【答案】；； ；； 【详解】     【练2】如果小鲁同学借用如图两图的涂色部分表示了一个乘法算式的实际意义，那么它表示的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图意，先把整个长方形看作单位“1”，平均分成3份，浅色阴影部分占2份，用分数表示为；再把浅色阴影部分看作单位“1”，平均分成5份，深色阴影部分占2份，用分数表示为；那么深色阴影部分占整个长方形的的，根据分数乘法的意义列式为。 【详解】 A．表示为：，不符合题意； B．表示为：，符合题意； C．表示为：，不符合题意； D．表示为：，不符合题意。 故答案为：B 题型3：分数乘小数 【例3】2.5kg的是( )kg，的1.6倍是( )kg。 【答案】 1.5 4 【分析】2.5kg的是求一个数 的几分之几是多少，直接用乘法计算即可；kg的1.6倍是求一个数的多少倍，直接相乘即可。 【详解】（1）（kg） （2）（kg） 【练3】看线段图列方程式。（只列方程式，不计算） 【答案】 【分析】等量关系式：25.2千克×＋未知部分＝25.2千克，据此解答。 【详解】 解： 题型4：求一个数的几分之几 【例4】五年级一班同学正在众筹给山区儿童捐助学习用品，丽丽和乐乐都捐了自己零花钱的，谁捐的钱多？（    ） A．丽丽 B．乐乐 C．一样多 D．无法确定 【答案】D 【分析】丽丽和乐乐都捐了自己零花钱的，但题目未说明两人原来的零花钱是否相等。若两人原来的零花钱不同，则对应的具体金额也不同，无法直接比较大小；若两人原来的零花钱相等，则捐的钱一样多。由于题目未提供具体数值，无法确定谁捐的钱多。 【详解】由于是相对于各自的零花钱总量而言的，若两人原来的零花钱总量不同，则对应的金额也不同。例如： 若丽丽有70元，捐出，即70×＝20（元）； 若乐乐有35元，捐出，即35×＝10（元）。此时丽丽捐得多。 若丽丽有35元，乐乐有70元，则乐乐捐出70×＝20（元）， 丽丽捐出35×＝10（元）， 此时乐乐捐得多。 题目未说明两人原来的零花钱是否相等，因此无法确定谁捐的钱多。 故答案为：D 【练4】生活在我国云南的懒猴爱吃蜂蜜，所以也叫蜂猴。大懒猴的体长大约是，而小懒猴（中文学名倭蜂猴）的体长大约只有它的。小懒猴的体长大约是多少厘米？ 【答案】 【分析】将大懒猴的体长看作单位 “1”，已知小懒猴体长是大懒猴体长的。根据“求一个数的几分之几是多少，用这个数乘对应的分率”。用大懒猴的体长乘，求出小懒猴的体长。 【详解】（厘米） 答：小懒猴的体长大约是23厘米。 题型5：分数的连乘问题 【例5】某县2024年第一实验小学一年级新生有480人，第二实验小学一年级新生是第一实小学的，第三小学一年级新生是第二实验小学的，第三实验小学一年级新生有多少人？（先画线段图分析，再解答） 【答案】图见详解；600人 【分析】“第二实验小学一年级新生是第一实小学的”，第一实验小学的一年级新生人数是单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义，用第一实验小学一年级新生人数乘计算出第二实验小学一年级新生人数； “第三小学一年级新生是第二实验小学的”，第二实验小学的一年级新生人数是单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义，用第二实验小学一年级新生人数乘计算出第三实验小学一年级新生人数；据此作图并解答即可。 【详解】线段分析图如下： ＝ ＝600（人） 答：第三实验小学一年级新生有600人。 【练5】计算下列各题。（能简算的要简算）                                              【答案】2； ； 【分析】（1）根据乘法交换律，将原式变为简算； （2）根据乘法交换律，将原式变为简算； （3）按照从左到右的顺序计算； （4）根据乘法结合律，将原式变为简算。 【详解】 ＝ ＝ ＝2 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 题型6：连需求一个数的几分之几 【例6】看图列式，不计算。 。 【答案】1200×× 【分析】根据图形可知，把汽车的速度看作单位“1”，平均分成6份，摩托车的速度是汽车的，用汽车的速度×，求出摩托车的速度，再把摩托车的速度看作单位“1”，平均分成4份，自行车的速度是摩托车的，再用摩托车的速度×，即可求出自行车的速度。 【详解】1200×× ＝1000× ＝250（米/分） 自行车的速度是250米/分。 【练6】人体共有206块骨头，其中手骨的块数占全身骨头的，手指骨的块数又占手骨的，人体的手指骨共有多少块？ 【答案】28块 【分析】已知人体共有206块骨头，其中手骨的块数占全身骨头的，把全身骨头的块数看作单位“1”，单位“1”已知，用全身骨头的块数×，求出手骨的块数； 又已知手指骨的块数又占手骨的，把手骨的块数看作单位“1”，单位“1”已知，用手骨的块数×，求出手指骨的块数。 【详解】206×× ＝54× ＝28（块） 答：人体的手指骨共有28块。 题型7：倒数的认识 【例7】的倒数是( )，( )是4的倒数；( )没有倒数，( )的倒数是它本身。 【答案】 0 1 【分析】倒数的定义：若两个非零自然数的乘积为1 ，则这两个数互为倒数。0没有倒数，1的倒数是它本身，分数的倒数直接交换分子分母即可。 【详解】的倒数是，是4的倒数，0没有倒数，1的倒数是他本身。 【练7】一个分数小于它的倒数，那么这个分数一定是（    ）。 A．假分数 B．真分数 C．带分数 【答案】B 【分析】一个分数小于它的倒数，这样的分数一定小于1，1的倒数是1；据此结合假分数、真分数、带分数与1的大小关系，结合具体的例子进行解答。 【详解】A. 假分数大于或等于1，所以假分数大于或等于它的倒数，例如的倒数是，＞，的倒数是1，＝1； B．真分数小于1，所以真分数小于它的倒数，例如：的倒数是2，＜2； C．带分数大于1，所以带分数大于它的倒数，例如：1的倒数是，1＞。 所以真分数一定小于它的倒数。 故答案为：B 1．甲、乙、丙是三个大于0的数，乙数是甲数的，丙数是乙数的。甲、乙、丙三个数的大小关系是（    ）。 A．甲＞乙＞丙 B．丙＞乙＞甲 C．乙＞丙＞甲 D．乙＞甲＞丙 【答案】A 【分析】已知甲、乙、丙三个数的关系，要比较三个数的大小。我们可以通过假设法，快速求解，把其中一个数先假设出具体数值，然后求出另外两个数，再进行比较。 【详解】假设甲数是20（方便计算，能被4、5整除） 则乙数：，丙数： 因为201512，所以甲乙丙 2．两根同样长的铁丝，第一根截去它的，第二根截去。剩下的铁丝相比，（    ）。 A．第一根更长 B．第二根更长 C．一样长 D．无法比较 【答案】D 【分析】第一根截去的是铁丝长度的（分率），第二根截去的是米（具体的长度）。因为铁丝原来的长度不确定，和米不能直接比较，所以要分情况讨论。 【详解】情况1：假设铁丝原来长是1米。 第一根剩余长度：（米） 第二根剩余长度：（米） 米=米，所以两根铁丝剩余部分一样长。 情况2：假设铁丝原来长度大于1米，比如是2米。 第一根剩余长度：（米） 第二根剩余长度：（米） 米米，所以第二根铁丝剩余部分长。 情况3：假设铁丝原来长度小于1米，比如是米。 第一根剩余长度：（米） 第二根剩余长度：（米） 米米，所以第一根铁丝剩余部分长。 综上所述，由于铁丝原来长度不确定，会出现不同的结果，所以剩下的铁丝长度无法比较。 【点睛】表示第一根铁丝截去部分的长度占铁丝总长度的分率；米表示第二根铁丝截去的具体长度，两者不能直接比较大小。 3．《电动自行车安全技术规范》规定，电动自行车最高速度每分钟不得超过张老师早上骑电动自行车从家去学校，距离上班时间还有分钟。已知张老师家与学校相距，她会迟到吗？ 【答案】不会迟到 【分析】张老师在剩下的分钟，按最高速度每分钟不得超过km，计算骑行的距离，再和家到学校的距离进行比较。如果能骑行的距离大于等于家到学校的距离，就不会迟到；反之则会迟到。 【详解】（千米）       答：她不会迟到。 4．已知m和n互为倒数，则×等于（    ）。 A．10 B． C．1 D．无法确定 【答案】A 【分析】分数除法的计算法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。 分数乘分数的计算方法：分子与分子相乘的积作为分子，分母与分母相乘的积作为分母。 已知m和n互为倒数，那么m与n的积等于1；根据分数乘法的计算法则计算×，并把mn＝1代入式子中，即可求解。 【详解】已知m和n互为倒数，则mn＝1； ×＝＝＝10 所以，×等于10。 故答案为：A 5．下列四个图中，阴影部分不能表示吨的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从题意可知：将长方形看作单位“1”，将单位“1”都平均分成了5份，每份占，分别求出阴影部分占单位“1”的几分之几，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法。分别用单位“1”的量×阴影部分的分率，即可求阴影部分表示的数量。再判断即可。 【详解】A．阴影部分占长方形的，（吨），所以阴影部分不能表示吨。 B．阴影部分占长方形的，（吨），所以阴影部分能表示吨。 C．阴影部分占长方形的，（吨），所以阴影部分能表示吨。 D．阴影部分占长方形的的一半，（吨），所以阴影部分能表示吨。 故答案为：A 6．同学们在计算时，出现了下面4种不同的计算方法，其中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在计算时，可以根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】 所以，计算时，正确的是。 故答案为：C 7．按要求填一填，画一画。 拖拉机每小时耕地公顷，小时耕地多少公顷？ (1)列式计算： (2)请在下图中表示所列算式。 (3)解决这个问题使用了数学中（    ）的思想方法。 A．转化 B．类比 C．数形结合 【答案】(1)公顷 (2)见详解 (3)C 【分析】（1）根据工作总量＝工作效率×工作时间，每小时耕地公顷是工作效率，小时是工作时间，代入计算即可； （2）把长方形看作单位“1”，平均分成3份，取其中的2份，表示公顷；再把公顷看作单位“1”，平均分成4份，取其中的1份，表示。 （3）这时把抽象的计算与图形结合起来，运用了数形结合的思想方法。 【详解】（1）（公顷） 答：小时耕地公顷。 （2） （3）解决这个问题使用了数学中数形结合的思想方法。 故答案为：C 8．观察下面三幅图，填一填，画一画。 （1） 画表示出第一个因数   画表示出第二个因数  画虚线一样看出积 请用算式表示上边图的意思：（    ）。 （2）照样子画出的图示。 画表示出第一个因数   画表示出第二个因数  画虚线一样看出积 【答案】（1）×＝ （2）见详解 【分析】（1）把整个图形看作单位“1”，平均分成2份，根据分数的意义，阴影部分表示； 第二个因数是把看作单位“1”，平均分成3份，部分表示的；画虚线后可以看出，部分是整个图形的。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此列式计算：×＝。 （2）表示的。是把整个图形看作单位“1”，平均分成3份，其中的2份画； 第二个因数是把看作单位“1”，平均分成3份，其中的1份画；把空白部分画虚线后可以看出，部分是整个图形的。据此解答。 【详解】通过分析可得： （1）用算式表示图的意思：×＝。 （2） 9．一根绳10米，用去米，还剩( )米；一根绳10米，用去，还剩( )米。 【答案】 4 【分析】（1）根据题意，求剩下的长度，用全长减用去的长度，即可得解。 （2）把一根绳子的长度看作单位“1”，还剩的部分是全长的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】（米） （米） 一根绳10米，用去米，还剩米；一根绳10米，用去，还剩4米。 10．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰三角形直角三角形、一块正方形板和一块平行四边形组成的。下图是一个七巧板拼成的大正方形，则图中2号和4号部分的面积和占七巧板总面积的( )。如果大正方形的边长是8cm，那么2号和4号部分的面积和是( )cm2。 【答案】 24 【分析】把七巧板拼成的大正方形平均分成16个小三角形，2号图形占2个小三角形，4号图形占4个小三角形，2号和4号图形一共占（2＋4）个小三角形；用2号和4号图形的个数之和除以小三角形的总个数，即是2号和4号部分的面积和占七巧板总面积的几分之几； 如果大正方形的边长是8cm，根据正方形的面积＝边长×边长，求出大正方形的面积； 根据求一个数的几分之几是多少，用大正方形的面积乘2号和4号部分的面积和占大正方形面积的分率，即可求出2号和4号部分的面积和。 【详解】如图： （2＋4）÷16 ＝6÷16 ＝ 8×8＝64（cm2） 64×＝24（cm2） 图中2号和4号部分的面积和占七巧板总面积的。如果大正方形的边长是8cm，那么2号和4号部分的面积和是24cm2。 11．中国第二长河黄河全长约5464公里，它始源于巴颜喀拉山北麓的约古宗列曲，在山东省注入渤海。从内蒙古自治区托克托县的河口镇到河南郑州的桃花峪是黄河的中游，全长约1200公里，桃花峪以下是黄河的下游，长度比中游长，黄河下游的长度约是多少公里？ 【答案】1720公里 【分析】已知黄河中游长1200公里，黄河下游比中游长，把黄河中游的长度看作单位“1”，单位“1”已知，用中游的长度乘，求出黄河下游比中游长的长度，再加上中游的长度，即是黄河下游的长度。 【详解】1200×＝520（公里） 1200＋520＝1720（公里） 答：黄河下游的长度约是1720公里。 12．一根200米长的铁丝，第一天用去全长的，第二天用去余下的，第二天用去多少米？ 【答案】40米 【详解】把这根据铁丝的长度看作单位“1”，第一天用去了全长的，还剩下全长的（1－），再把余下的长度看作单位“1”，第二天用去了余下的，也就是全长的（1－）×。根据分数乘法的意义，用这根铁丝的长度乘第二天用的长度所占的分率就是用去的米数。 【解答】200×[（1－）×] ＝200×[×] ＝200× ＝40（米） 答：第二天用用了40米。 13．在爱心一日捐活动中，某市第一实验小学全体教师一共捐款24000元，而第二实验小学比第一实验小学的少200元，第二实验小学教师一共捐款多少元？ 【答案】19000元 【分析】第一实验小学全体教师一共捐款24000元，第二实验小学比第一实验小学的少200元，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用24000×求出第一实验小学全体教师一共捐款的是多少元，再减去200元即可解答。 【详解】24000×－200 ＝19200－200 ＝19000（元） 答：第二实验小学教师一共捐款19000元。 14．看图列式计算。 【答案】30棵 【分析】由图可知：杨树的棵数是60棵，柳树棵数是杨树棵数的，单位“1”是杨树的棵数，单位“1”已知，用乘法，即60×求出柳树的棵数，松树棵数是柳树棵数的，此时单位“1”是柳树的棵数，单位“1”已知，用柳树的棵数×，即可解答。 【详解】60×× ＝40× ＝30（棵） 所以，松树的棵数是30棵。 15．据科学资料介绍，儿童负重最好不要超过体重的，否则将不利于孩子的身体发育。小齐的书包重5千克，小齐的体重为40千克。他的书包超重了吗？ 【答案】没有超重 【分析】儿童负重最好不要超过体重的，因此，先用小齐的体重乘求出小齐的负重，再与小齐书包的重量比较即可。 【详解】40×＝6（千克） 5千克＜6千克 答：他的书包没有超重。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $