重难点2.2：有理数及其运算（13大类型+拔优特训）2025-2026学年七年级数学上册北师大版（2024）

重难点2.2：有理数及其运算 导 航 类型01：带“非”有理数的理解………………………………………………01 类型02：有理数在数轴上的表示………………………………………………02 类型03：绝对值的非负性………………………………………………………05 类型04：绝对值的几何意义……………………………………………………07 类型05：加减法中的简便运算…………………………………………………10 类型06：利用加减混合运算解决实际问题……………………………………13 类型07：根据点在数轴上的位置判断式子的正负性…………………………15 类型08：乘方的运算与应用……………………………………………………17 类型09：四则混合运算的应用…………………………………………………22 类型10：科学记数法……………………………………………………………25 类型11：乘除运算中的简便运算………………………………………………28 类型12：程序流程图与计算……………………………………………………31 类型13：有理数的混合计算……………………………………………………34 拔 优 特 训………………………………………………………………………38 类 型 类型1：带“非”有理数的理解 1．下列各数：，，，，0，，，，6， ，其中非负有理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握非负有理数即为大于等于0的数是解题的关键． 根据非负有理数是大于等于0的数，据此逐一判断即可． 【详解】解：非负有理数有， 0，，6，共4个． 故选C． 2．在中，非负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查非负数的定义，非负数是指大于或等于0的数，包括正数和0．根据题目中的数逐一判断即可． 【详解】∵，，，，，， ∴、、、是非负数， ∴非负数有个． 故选：C． 3．下列有理数中：，，，，10，，0，，非正数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，根据非正数的定义找到符合题意的数，即可得出结果． 【详解】解：题中有理数非正数有：，，，0，，共5个数， 故选：C． 4．在数，，中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知非负整数的定义是解题的关键．根据非负整数的定义求解即可． 【详解】解：，，，，， 在数，，中，非负整数有共2个， 故选：A． 类型2：有理数在数轴上的表示 1．在数轴上，数x与3的距离是2，则（   ） A．±2 B．1 C．5 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离． 根据数轴上两点之间的距离的表示方法，可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ∴或， ∴或． 故选：D． 2．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先观察数轴得，故，即可作答． 【详解】解：由数轴得出， 则把a，，b，分别在数轴上表示出来： ∴， 故选：C． 3．已知点、、、在数轴上的位置如图，其中对应的数的相反数最大的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义、利用数轴比较数的大小，根据互为相反数的两个数的绝对值相等，可知互为相反数的两个数到原点的距离相等，把各点表示的数的相反数表示在数轴上，根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数即可得出结果． 【详解】解：如下图所示， 根据相反数的定义，在数轴上分别表示出各数的相反数， 由数轴可知，点表示的数的相反数最大． 故选：A． 4．在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的应用以及两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键；由题可知点表示的数是，由数轴可知，故可得到答案； 【详解】解：数轴的单位长度为1，由数轴可得两点的距离为，且在的右边 点A表示的数是-3，所以点表示的数为1． 故选：D． 5．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 6．若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 7．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上． 点对应的数轴上的数可能为2021， 故选：B． 类型3：绝对值的非负性 1．若，则的取值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的定义． 根据绝对值的非负性得到，进而可知． 【详解】∵， ∴， ∴， 即或， 故选：D． 2．如果是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性，利用绝对值的非负性质即可完成解答． 【详解】解：A．若，则，因此不一定比0大．故本选项不合题意； B．若，则，因此不一定比0大．故本选项不合题意； C．当x为有理数时，，因此不一定比0大．故本选项不合题意； D．由可得，因此一定比0大．故本选项符合题意． 故选：D． 3．若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是正数 D．一定是负数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是它本身”是解题的关键. 【详解】解：当时，，既不是正数，也不是负数，选项A错误，不符合题意； 题目说的是有理数并没有规定正负，有理数包括正数、负数和，可能是正数、负数、，选项B错误，不符合题意； 当时，，；此时一定为负数，选项C错误，不符合题意； 根据绝对值的非负性可知：，则一定为负数，选项D正确，符合题意； 故选：D ． 4．，则（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 5．，则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 类型4：绝对值的几何意义 1．已知，下列推理正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 根据绝对值的意义分情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴若，，则，A选项错误，不符合题意； 若，，则或或，B选项错误，不符合题意； 若，，则，正确，C选项符合题意； 若，，则或或，D选项错误，不符合题意． 故选 C． 2．如图，数轴上的，，三点所表示的数分别是，，，其中是的中点．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（　　） A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间（靠近点）或点的右边 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，熟悉掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义是点到原点的距离，分析即可． 【详解】解：∵， ∴点C到原点的距离最近， ∴原点的位置应该在点与点之间（靠近点）或点的右边， 故选：D． 3．式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 【详解】解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 故选：D． 4．的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．利用绝对值的定义解答． 【详解】解：根据绝对值的意义可知，只有当时，有最小值， 最小值为． 故选：B． 5．如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和绝对值的意义，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解题的关键． 数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，然后求出最小的即可． 【详解】解：∵数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值， ∴由数轴可得四个数中，点离原点最近， ∴这四个数中，绝对值最小的数是， 故选：． 6．若，且，比较有理数的大小； ．(用“”连接) 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，且利用数轴表示有理数的大小，绝对值的意义，先结合，且，在数轴上把表示出来，再根据越在数轴的右边的数越大，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴把在数轴上表示出来， ∴， 故答案为：． 7．已知，，均为有理数，且满足，，那么的最大值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义，作出图形是解决问题的关键． 先由绝对值的几何意义得到表示数轴上点到点之间的距离是3；表示数轴上点到点之间的距离是5，从而数形结合，在数轴上表示出取最大值时的情况，从而得到答案． 【详解】解： ，，均为有理数，且满足，， 由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到点之间的距离是3；表示数轴上点到点之间的距离是5， 则当表示的点和表示的点在表示的点的两侧时，取得最大值，如图所示： 的最大值为， 答案：8． 类型5：加减法中的简便运算 1．学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，根据有理数的减法运算法则判断出②错误，然后进行计算即可得解，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解决此题的关键． 【详解】 ① ② ③ ④ ∴错在②的第二个括号内的运算， 故选：B． 2．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握运算律简便运算是解答的关键．先将减法化为加法，再利用有理数加法交换律和结合律对甲、乙两人的算式求解判断即可． 【详解】解： ，故甲计算错误； ，故乙计算正确， 故选：D． 3．计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法运算，利用结合律恒等变形，逐个求解即可得到简便运算方法，熟练掌握有理数加法运算法则及运算律是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 4．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算， 先将分数化成小数，再根据有理数的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式 . 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加减中的简便运算，掌握有理数的加减运算法则是解题关键． （1）利用有理数加法的交换律计算即可得； （2）先去括号、将分数化成小数，再利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）用提供提供的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 类型6：利用加减混合运算解决实际问题 1．某地气温不稳定，开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降，这时气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的意义，有理数的加减法．气温上升用加，下降用减，列出算式求解即可． 【详解】解：根据题意，列式： ． 故选：A． 2．一只青蛙从某点出发在下面的直线上来回跳跃，假定向右跳的格数记为正数，向左跳的格数记为负数．跳过的格数依次为 ，最终落在“3”上，那么青蛙最初在直线上（    ）的位置． A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，根据题意，逆推，列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 3．为了加强对青少年的消防安全教育，某校邀请消防大队到校开展消防安全演练活动，消防员为全体同学展示云梯消防车高层救援，云梯从初始位置先上升40米，再下降32米，再上升16米，此时云梯距离初始位置的高度是 米． 【答案】24 【分析】本题考查了有理数的加减的应用，根据题意列出算式，计算即可得解，理解题意，正确列出算式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：云梯距离初始位置的高度是（米）， 故答案为：． 4．某水利勘察队沿着某河流进行野外作业，第一天从出发点向上游走了，第二天又向上游走了，第三天向下游走了，第四天又向下游走了，这时勘察队位于哪里？与出发点相距多少千米？ 【答案】勘察队在出发点上游，距出发点 【分析】本题考查有理数的正负，有理数的加法的应用；规定向上游走为正，将数据相加后，根据结果正负即可判断． 【详解】解：规定向上游走为正，根据题意可得， ∴勘察队在出发点的上游，距出发点． 5．中秋节期间，子涵和妈妈一块去商场购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计枚．回家后子涵很仔细地看了看标签和有关说明，把8枚月饼的质量称重后统计列表如表（单位：克）： 序号 质量（克） (1)子涵为了简化运算，选取了一个恰当的基准质量，这个基准质量是_______克． (2)依据这个基准质量，子涵把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）： 序号 质量（克） 　  　  　  　  　  请补全表格，并计算这枚月饼的平均质量． 【答案】(1) (2)表格见解析；这枚月饼的平均质量为克 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数的混合运算的实际应用，根据题意列式计算是解题关键． （1）根据（2）中的第、个计数即可求解； （2）根据（1）中的基准质量为克即可补全表格，再根据（2）中正负计数即可求解平均质量． 【详解】（1）解：根据（2）中第个重量记作，第个重量记作， 这个基准质量是（克）． 故答案为：． （2）解：根据（1）中的基准质量为克， 第个重量，记作， 第个重量，记作， 第个重量，记作， 第个重量，记作， 第个重量，记作， 补全表格如下： 序号 质量（克）         这枚月饼的平均质量为：（克）． 类型7：根据点在数轴上的位置判断式子的正负性 1．数轴上表示，，的点如图所示，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减，数轴的应用，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．从数轴得出，，进而逐一判定即可． 【详解】解：从数轴可知：，， ∴A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项正确，符合题意； C、，本选项错误，不符合题意； D、，本选项错误，不符合题意； 故选：． 2．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①；②，③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和求法，有理数的加减以及数轴的特征和应用，根据图示，可得，，据此逐项判断即可，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围． 【详解】解：根据图示，可得，， ①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③错误； ④，故④正确； ⑤，故⑤正确． ∴正确的是①②④⑤． 故选：B． 3．若，，三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的有 个． ①；②；③；④ 【答案】3 【分析】本题考查利用数轴上的点的位置判断式了的符号，根据数轴上点表示的数，右边点表示的数总是大于左边点表示的数，正确判断a，b，c的符号，以及绝对值大小是解题的关键． 根据数轴上点表示的数，右边点表示的数总是大于左边点表示的数，即可判断a，b，c的符号，到原点的距离即可判断绝对值的大小，再根据有理数的加长减法法则即可作出判断． 【详解】解：根据数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③错误； ，故④正确； 故正确的有①②④，共3个， 故答案为：3． 4．已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置比较代数式大小，以及有理数的减法、加法法则，熟练掌握利用数轴比较数的大小是解决问题的关键．由在数轴上的位置可直接判断①②；根据有理数的加法和减法运算法则可判断③④⑤． 【详解】解：由 在数轴上的位置可知，，故①错误，②正确； ，故③错误，④⑤正确； 综上所述，正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 类型8：乘方的运算与应用 1．下列各对数中，相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，化简多重符号，绝对值，先化简各数，再进行判断即可． 【详解】解：A、，两数不相等，不符合题意； B、，两数不相等，不符合题意； C、，两数不相等，不符合题意； D、，两数相等，符合题意； 故选D． 2．在，，，中，最大的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值，乘方运算，以及有理数大小比较．先将各项化简计算出结果，再进行比较大小，即得答案． 【详解】解：，，，， ∵， ∴最大的数为 故选：B 3．若※是新规定的某种运算符号，设，则中x的值（） A．4 B．8 C． D．-2 【答案】C 【分析】根据※的运算方法和有理数的乘方进行计算即可得解. 【详解】解： 由题意得：, ∴， ∴． 故选C． 4．若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（    ） A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方运算求出x、y即可解答． 【详解】解：∵x、y、z是三个连续的正整数， ∴y=x+1， ∵x2＝44944=2122， ∴x=212， ∴y=213， ∴y2=2132=45 369， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解答的关键． 5．若，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方； 根据偶次方的非负性求出，，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 6．计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是含乘方运算的混合运算，先计算乘方，再计算乘法运算即可． 【详解】解：， 故答案为： 7．《庄子·杂篇·天下》中讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么5天之后，这个“一尺之棰”被截掉了 尺． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是读懂题意，掌握有理数的乘方运算法则. 每天截去木棍的一半，也就是剩下的部分是前一天的，我们可以先求出5天后剩下的长度，然后用总长度1尺减去剩下的长度，就可以得到被截掉的长度. 【详解】解：第一天后剩下尺 第二天后剩下 （尺） 第三天后剩下 （尺） 第四天后剩下 （尺） 第五天后剩下 （尺） 所以被截掉的长度为： （尺） 故答案为：. 8．我们平常用的数都是十进制的，如：．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数，等于十进制数5；二进制数，等于十进制数22，那么二进制数10101等于十进制数 ． 【答案】21 【分析】本题考查了乘方的应用，理解题意，找出二进制数转化为十进制数的规律是解题的关键．根据题意，列出二进制数10101转化为十进制数的算式，再利用乘方的运算即可求解． 【详解】解：由题意得，二进制数， 二进制数10101等于十进制数21． 故答案为：21． 9．阅读计算： 阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ， ； (2)通过上述验证，归纳得出： ； (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2) (3) 【分析】（1）分别计算和即可验证； （2）根据上面的验证计算即可； （3）根据上面的公式计算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：1，1； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了乘方运算，理解题意是解题的关键． 10．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： ； 将下式减去上式得： ，即，即； 请你仿照此法计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，从而可得的值，再计算，由此即可得； （2）设，从而可得的值，再计算，由此即可得． 【详解】解：（1）设， 将等式两边同乘以得：， 将上式减去下式得：，即， 则， 即； （2）设， 将等式两边同乘以3得：， 将下式减去上式得：，即， 则， 即． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，掌握理解阅读材料中的求解方法是解题关键． 类型9：四则混合运算与应用 1．小杰同学在本学期学习了有关“低碳生活”的内容后，查阅资料得到数据：一个普通快递包装约排放出 二氧化碳，一盆绿萝每天约吸收 二氧化碳．若要将一个快递包装排放出来的二氧化碳在一天内全部被吸收，至少需要绿萝（ ） A．1332盆 B．1333盆 C．1334盆 D．1335盆 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将总排放量除以每盆吸收量，求得绿萝盆数盆，根据实际问题可得剩余, 因此需增加1盆，即可求解． 【详解】解：一个快递包装排放二氧化碳，每盆绿萝每天吸收． 将总排放量除以每盆吸收量，即， 由于绿萝盆数必须为整数，且盆仅能吸收， 剩余未被吸收， 因此需增加1盆，即至少需要1334盆， 1334盆可吸收满足全部吸收要求． 故选：C． 2．在《说文解字·序》中提及“神农氏结绳为治，而统其事”，有一位神农氏时代的村民，用结绳来记录猎物的数量．他的方法是“从右往左、满五进一”（如图），第三幅图表示（   ）只猎物． A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据图形得出规律，是解题的关键．先根据图中第一幅图和第二幅图中数量，得出规律，然后再列式计算即可． 【详解】解：根据“满五进一”可知：图示为五进制数，第一幅图中左边代表1个五，右边代表1个一，所以第一幅图表示（只）； 第二幅图中左边代表2个五，右边代表1个一，所以第二幅图表示：（只）； 同理可以推出第三幅图中左边代表3个五，右边代表2个一，所以第三幅图表示：（只）； 故选：B． 3．小明准备骑行去“天德湖”公园游玩，在手机上打开地图查询骑行的路线，从地图中小明发现推荐方案：从家到“天德湖”公园的路程是7.8公里，地图中表示1公里的线段的实际长度是1厘米，若小明用手指滑动手机屏幕将地图放大，此时地图中表示1公里的线段的实际长度为1.5厘米，则此时地图中表示家到“天德湖”公园的推荐线路长，比原来多了 厘米 【答案】3.9 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键．用路程乘以地图中1公里的线段差求解即可． 【详解】解：厘米， 即比原来多了厘米， 故答案为：． 4．出租车司机小李某天下午从A地出发，营运全是在东西的人民大道进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天营运的车次和里程如表（单位：千米）： 车次 里程 (1)在哪次记录中距A地最远？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，小李距出发地的距离是多少？ (3)若每千米耗油，问小李这天下午共耗油多少升． 【答案】(1)第③次 (2)12千米 (3) 【分析】本题考查了有理数的加减运算在实际生活中的应用，以及正负数的意义，体现了数学知识与实际生活的结合，熟练掌握正负数的意义并正确运算是解决本题的关键． （1）分别计算出第①次到第⑦次距离A地的距离，由此可得； （2）根据第⑦次距离A地的距离可解； （3）求解出第①次到第⑦次的总路程，由总路程乘以油耗即可求解． 【详解】（1）解：第①次距离A地的距离：， 第②次距离A地的距离：， 第③次距离A地的距离：， 第④次距离A地的距离：， 第⑤次距离A地的距离：， 第⑥次距离A地的距离：， 第⑦次距离A地的距离：， 答：第③次距离A地最远； （2）解：第⑦次距离A地的距离：， 答：将最后一名乘客送到目的地时，小李距出发地的距离是12千米； （3）解：∵千米， ∴， 答：小李这天下午共耗油． 5．一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【答案】(1)B地在A地东边距离A地10千米处 (2)右边，97千米 (3) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）将行驶路程记录的数据相加，根据结果进行判断即可； （2）求出每次与出发地的距离，然后进行判断即可； （3）先求出需要的燃油，然后求出需要补充的燃油即可． 【详解】（1）解：∵（千米）， ∴B地在A地东边距离A地10千米处． （2）解：； ； ； ； ； ； ； ； ∴检修车离出发地A最远时在A地的右边，距离A地97千米． （3）解： ， ， 答：检修车在检修过程中至少还需补充燃油． 类型10：科学记数法 1．据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 2．年前三季度安徽省地区生产总值亿元，其中数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：． 3．推进美丽中国建设，绿色低碳生产生活方式加快形成．中国超额完成到2020年碳排放强度下降40%至45%的目标，累计减排二氧化碳吨，建成全球规模最大碳市场和清洁发电体系．将用科学记数法表示应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 4．若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（    ） A．527000000 B．5270000 C．527000 D．52700000 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向右移几位． 【详解】解：， 用科学记数法表示为，则这个数是． 故选：B． 5．小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ）A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法表示原数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 则原数中数字“3”后“0”的个数为5， 故选：C 6．减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 7．用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 类型11：乘除运算中的简便运算 1．简便计算 (1) (2) 【答案】(1)34 (2) 【分析】本题主要考查了除法的性质、有理数混合运算、有理数乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则和性质是解题的关键． （1）根据除法的性质“一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积”进行简便运算即可； （2）先对原式进行变形，然后再运用有理数的乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．下列各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查运用运算律进行简便运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）运用乘法分配律的逆应用将原式化为，进行简便计算即可； （2）运用乘法结合律将原式化为，进行简便计算即可； （3）运用运算律将原式化为，进行简便计算即可； （4）可以先求，再取倒数即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ∴． 3．怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先计算括号里的乘法和减法，再计算括号外的除法； （2）能凑整的先运算，然后再进行加减计算即可； （3）用乘法分配律的逆运算简便计算； （4）先将除法转化为乘法，再用乘法分配律进行简便计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型12：程序流程图与计算 1．下图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（    ） A．7 B．11 C．13 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了程序图与代数式求值，掌握知识点是解题的关键．根据图表列出代数式，再按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的，即可解答． 【详解】解：依题意，当时，所求代数式为 ． 故选A． 2．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．先根据题意把代入求出代数式的值，再判断出结果的符号，进而可得出结论． 【详解】解：当时， ， 当时， ， ． 故选：C． 3．小勤设计了一个计算程序（如图），如果输入的数是4，那么输出的结果是（　　） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了有理数运算，根据程序，当计算的结果小于或等于0时，要将结果再输入，直到结果大于0才可以输出结果． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 输出结果为 故选：D． 4．按如图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查程序流程图与有理数计算；根据程序流程图的操作方法再结合有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：输入，， ∵，重复， 输入2，， ∵， ∴输出5． 故答案为：5． 5．定义如下运算程序，则输入，时，输出的结果为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了代数式的求值与有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由程序框图将，代入计算可得答案． 【详解】解：，，， 输出结果为． 故答案为：． 6．如图是一个数值转换机的示意图，若输入的值为，的值为，则输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含有理数的乘方混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把与的值代入数值转换机中计算即可确定出输出结果． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 类型13：有理数的混合运算 1．（   ） A．0 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算．先计算乘方并把除法变为乘法，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握知识是解题的关键． 根据有理数的乘方，乘除，加减运算，逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：A．，该选项正确，符合题意； B． ，该选项错误，不符合题意； C． ，该选项错误，不符合题意； D． ，该选项错误，不符合题意． 故选：A． 3．定义新运算 “”：，则的值为(    ) A．6 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算的理解及有理数的混合运算，解题的关键是遵循运算顺序，先计算括号内的新运算，再进行外层运算，准确代入新运算公式． 根据新运算“”的定义，先计算括号内的，得到结果后，再用该结果计算与它的新运算，最后将结果与选项匹配． 【详解】解：由新运算，先算； 再算．该结果与选项A一致， 故选：A． 4．规定*是一种运算符号，且，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义可知，进而计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，乘法运算律，根据有理数的加减乘除混合运算，乘法运算律进行求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． ． 6．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， （1）先算乘除，再算加减； （2）先算乘方，再算括号内的，然后算乘除，最后算加减. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 . 7．计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用有理数加减混合运算法则计算； （2）利用有理数加减混合运算法则计算； （3）先将除法化为乘法，再进行乘法计算； （4）先计算乘方，再计算括号内减法，然后计算乘法，最后计算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．小红与小亮两位同学计算的过程如下： 小红： ① ② ③ ④ 小亮： ① ② ．③ (1)请指出小红与小亮开始出错的步骤； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)小红开始出错的步骤在第②步，小亮开始出错的步骤在第①步 (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），对于乘除法按照顺序计算解答，再根据乘方的定义解答； 对于（2），先算乘方，再按照顺序计算有理数的乘除法即可. 【详解】（1）解：小红出现错误在第②步，小亮出现错误在第①步； （2）解：原式 . 拔优特训 1．若，，且，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，有理数的加法运算，首先依据绝对值的定义求出、，然后结合条件，进行分类计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴，或，， ∴ ，，则； ，，则； ∴的值为或； 故选：． 2．若，且的绝对值与其相反数相等，则的值为（ ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查绝对值与相反数，由的绝对值与其相反数相等可得，然后可得的值，然后可得答案． 【详解】解：因为的绝对值与其相反数相等， 所以， 因为， 所以或， 所以或， 故选：B． 3．且，则的值为（   ） A．9或3 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的加法运算，解题的关键是根据绝对值求出、的所有可能值，再结合的条件筛选出有效组合，进而计算． 先由得或，由得或；再根据排除不符合的组合（时，且，均不满足，故只能为）；最后分和计算的值． 【详解】解：由得或， 由得或． ∵， ∴时（且）不符合，故． 当、时，； 当、时，．     故选：B． 4．都是一位小数，在直线上的位置如下图．下面四个算式，计算结果与点最接近的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴和有理数的四则运算的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 通过假设数轴上点所表示的数值，分别计算各选项的结果，再与目标值比较，找到最接近的选项即可． 【详解】解：根据图形，可假设：是，是，是， A. ； B. ； C. ； D. ； ∴的计算结果与最接近， 故选：A． 5．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（   ） A．156 B．6 C．231 D．21 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解如图的程序． 根据程序进行三次输入计算即可得结果． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∴输出的结果为：， 故选：C． 6．下列说法中，正确的有（    ） ①对于任意有理数m，都有；②对于任意有理数m，都有；③对于任意有理数m，n（），都有；④对于任意有理数m，都有． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方，逐一分析，即可解答． 本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方公式． 【详解】解：①对于任意有理数，都有，故该选项错误，不符合题意； ②对于任意有理数，都有，故该选项正确，符合题意； ③对于任意有理数（），都有，故该选项正确，符合题意； ④当时，，此时，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 7．规定是一种新的运算法则，满足，例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． 按照新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ； 故答案为：． 8．满足不等式的x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．根据绝对值的意义解答即可． 【详解】解：∵， ∴x表示的点到原点的距离在1和3之间， ∴或． 故答案为：或 9．正方形在数轴上的位置如图所示，点和点对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点对应的数是1；翻转2次后，点对应的数是3……；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2025所对应的点是 ． 【答案】点B 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2025所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余1， 所以数轴上数2025所对应的点是点B， 故答案为：点B． 10．同学们，你们一定喜欢计算机！而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数，我们常使用的是十进制的数．这两者可以互换，如将二进制数1101换成十进制数应为，按此方法，则将十进制数37换成二进制数应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了十进制与二进制之间的转化，掌握转化方法是解题的关键． 分析出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴十进制数37换成二进制数应为：， 故答案为：． 11．某数学爱好者制作了一个魔术盒，当把有理数对放入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把有理数对放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到有理数，再将有理数对放入其中后，得到的有理数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算和新定义问题，解题的关键是理解新定义． 先根据新定义求出，得到有理数对的值，再根据新定义解即可． 【详解】解：将有理数对放入其中，得到有理数，则根据题意可得， 再将即放入其中后，得到的有理数是， 故答案为：． 12．生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示，孩子已经出生的天数为 ． 【答案】92天 【分析】本题考查有理数的混合运算，六进制与十进制转换的关系，结合已知条件中“满十进一”的算式可列出“满六进一”的算式. 【详解】解：∵“满十进一”的数， ∴图片中“满六进一”的数表示的为， ∴孩子已经出生的天数为92天 故答案为：92天 13．一个点从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第二次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动个单位；则第次移动后这个点在数轴上表示的数是 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上的规律探究，掌握知识点的应用是解题的关键．根据第一次移动后这个点在数轴上表示的数是；第二次移动后这个点在数轴上表示的数是；第三次移动后这个点在数轴上表示的数是；第四次移动后这个点在数轴上表示的数是；；从而得出第次移动后这个点在数轴上表示的数． 【详解】解：第一次移动后这个点在数轴上表示的数是； 第二次移动后这个点在数轴上表示的数是； 第三次移动后这个点在数轴上表示的数是； 第四次移动后这个点在数轴上表示的数是； ； 第次移动后这个点在数轴上表示的数是； 故答案为：． 14．已知数轴上两点A，B对应的数分别为，b． （1）若P为数轴上一点，且原点O是的中点，则点P对应的数为 ； （2）若b是的最小值，则点B对应的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离． （1）由题意可知，根据点A对应的数即可求出点P对应的数； （2）根据绝对值的几何意义可知表示的是数轴上表示x的数到表示和表示的数的距离之和，进而可得答案． 【详解】解：（1）∵若P为数轴上一点，且原点O是的中点， ∴， ∵点A对应的数为， ∴点P对应的数为， 故答案为：； （2）∵表示的是数轴上表示x的数到表示和表示的数的距离之和， ∴当时有最小值，最小值为， ∴， 即点B对应的数为， 故答案为：． 15．简便计算：必须用简便方法进行计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据有理数的加减运算进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：              ； （2）解： ． 16．计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数乘法的简便运算． （1）先分别计算和，再计算乘法即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先将化为，再根据乘法分配律计算即可； （4）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）解： ； （4）解： ． 17．计算：用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，涉及减法转化为加法、加法运算律的应用以及绝对值的性质等知识点．熟练掌握有理数的运算法则、运算律以及绝对值的性质是解题的关键． （1）先将减法转化为加法，再按照从左到右的顺序依次计算； （2）将小数化为分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； （3）利用加法交换律和结合律，把分母相同的分数结合在一起进行计算； （4）先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再将减法转化为加法进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．出租车司机王师傅上午8：00～10：00在一条南北方向的大道上营运，共连续运载8批乘客，若规定向北为正，向南为负，王师傅营运这8批乘客里程如下（单位：千米，中途停车时间忽略不计）： ． (1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅在第一批乘客出发地的北面还是南面？相距多少千米？ (2)上午8：00～10：00．王师傅开车的平均速度是多少？ 【答案】(1)王师傅在距离第一批乘客出发地的北面，相距2千米 (2)王师傅开车的平均速度是30千米/小时 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，有理数的混合运算的实际应用，明确正负数的含义及题中的数量关系，是解题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在北面，结果为负则在南面； （2）先求出路程和，由速度=路程÷时间可求解． 【详解】（1）解：（千米）， 答：王师傅在距离第一批乘客出发地的北面，相距2千米； （2） （千米/小时）， 答：王师傅开车的平均速度是30千米/小时． 19．某服装厂共有54名工人．现计划一周生产某款服装3500件，平均每天生产500件．但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有所出入．下表是这一周的生产情况（超产记为正，减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)根据记录的数据，可知该厂星期五生产服装 件，这一周产量最多的一天比产量最少的那一天多生产了 件； (2)求该厂这一周实际生产服装的件数； (3)该厂实行每天计件工资制：每生产一件服装可得15元，若当天超额完成任务，则超过部分每件另奖励6元；若当天没完成任务，则少生产一件扣4元．若该厂所有工人本周每天都参与这款服装的生产，求这一周该厂工人的平均收入． 【答案】(1)496，28 (2)该厂这一周实际生产服装的件数为件 (3)这一周该厂工人的平均收入是元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解，用星期四的产量减去星期一的产量即可； （2）用一周生产服装3500件，加上表格中的各个数据即可得解； （3）根据这一周该厂工人的平均收入等以实际应得工资加上奖励工资减去扣除工资，再除以人数，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：根据记录的数据可知该厂星期五生产的服装为（件）； 产量最多的一天比产量最少的一天多生产（件）； 故答案为：，； （2）解：（件）， 答：该厂这一周实际生产服装的件数为件； （3）解：由（2）得实际产量为件， （元） 答：这一周该厂工人的平均收入是元． 20．【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上）．为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶到达A村，继续向西行驶到达B村，最后向东行驶到达C村． 【问题发现】 （1）A、B、C三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点A、B、C，请在数轴上表示出点A、B、C的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是m，学校在数轴上表示的数是n，且n位于点B向西处的位置，m到点C的距离为，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）到达C村全程共耗油升；（3）的值为或 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及有理数的加减法以及有理数乘法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：向东记为“”，则向西记为“”． （1）以货物集散中心O为原点，以向西的方向为负方向，表示出A村， B村的位置，向东为正表示出C村位置即可． （2）用货车每千米的耗油量乘这辆货车一共行驶的路程，求出这趟路货车共耗油多少升即可； （3）根据n位于点B向西处的位置，m到点C的距离为，求出m，n的值再求解即可． 【详解】解：（1）货车从货物集散中心出发，向西走了4千米到达A村， A表示的数为：， 货车继续向西走1千米到达B村， B表示的数为：， 然后向东走了9千米到达C村， C表示的数为：， A、B、C的位置如下图， （2）货车所走的路程为：， 则到达C村全程共耗油（升）， 答：到达C村全程共耗油升； （3）n位于点B向西处的位置，m到点C的距离为， 点位于的位置，点位于1或7的位置， 当时，， 当时，， 的值为或． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点2.2：有理数及其运算 类型01：带“非”有理数的理解………………………………………………01 类型02：有理数在数轴上的表示………………………………………………02 类型03：绝对值的非负性………………………………………………………03 类型04：绝对值的几何意义……………………………………………………03 类型05：加减法中的简便运算…………………………………………………04 类型06：利用加减混合运算解决实际问题……………………………………05 类型07：根据点在数轴上的位置判断式子的正负性…………………………06 类型08：乘方的运算与应用……………………………………………………06 类型09：四则混合运算的应用…………………………………………………08 类型10：科学记数法……………………………………………………………09 类型11：乘除运算中的简便运算………………………………………………10 类型12：程序流程图与计算……………………………………………………10 类型13：有理数的混合计算……………………………………………………11 拔 优 特 训………………………………………………………………………12 类型1：带“非”有理数的理解 1．下列各数：，，，，0，，，，6， ，其中非负有理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在中，非负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列有理数中：，，，，10，，0，，非正数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．在数，，中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 类型2：有理数在数轴上的表示 1．在数轴上，数x与3的距离是2，则（   ） A．±2 B．1 C．5 D．1或5 2．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 3．已知点、、、在数轴上的位置如图，其中对应的数的相反数最大的点是（   ） A． B． C． D． 4．在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 5．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 6．若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 7．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 类型3：绝对值的非负性 1．若，则的取值是（     ） A． B． C．或 D．或 2．如果是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（   ） A． B． C． D． 3．若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是正数 D．一定是负数 4．，则（　　） A．3 B． C． D．2 5．，则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 类型4：绝对值的几何意义 1．已知，下列推理正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．如图，数轴上的，，三点所表示的数分别是，，，其中是的中点．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（　　） A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间（靠近点）或点的右边 3．式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 4．的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 6．若，且，比较有理数的大小； ．(用“”连接) 7．已知，，均为有理数，且满足，，那么的最大值为 ． 类型5：加减法中的简便运算 1．学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 2．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 3．计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 4．计算的结果是 ． 5．计算： (1)； (2)． 6．阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 类型6：利用加减混合运算解决实际问题 1．某地气温不稳定，开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降，这时气温是（    ） A． B． C． D． 2．一只青蛙从某点出发在下面的直线上来回跳跃，假定向右跳的格数记为正数，向左跳的格数记为负数．跳过的格数依次为 ，最终落在“3”上，那么青蛙最初在直线上（    ）的位置． A． B．0 C．1 D．2 3．为了加强对青少年的消防安全教育，某校邀请消防大队到校开展消防安全演练活动，消防员为全体同学展示云梯消防车高层救援，云梯从初始位置先上升40米，再下降32米，再上升16米，此时云梯距离初始位置的高度是 米． 4．某水利勘察队沿着某河流进行野外作业，第一天从出发点向上游走了，第二天又向上游走了，第三天向下游走了，第四天又向下游走了，这时勘察队位于哪里？与出发点相距多少千米？ 5．中秋节期间，子涵和妈妈一块去商场购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计枚．回家后子涵很仔细地看了看标签和有关说明，把8枚月饼的质量称重后统计列表如表（单位：克）： 序号 质量（克） (1)子涵为了简化运算，选取了一个恰当的基准质量，这个基准质量是_______克． (2)依据这个基准质量，子涵把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）： 序号 质量（克） 　  　  　  　  　  请补全表格，并计算这枚月饼的平均质量． 序号 质量（克）         类型7：根据点在数轴上的位置判断式子的正负性 1．数轴上表示，，的点如图所示，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①；②，③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 3．若，，三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的有 个． ①；②；③；④ 4．已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．（填序号） 类型8：乘方的运算与应用 1．下列各对数中，相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．在，，，中，最大的数为（   ） A． B． C． D． 3．若※是新规定的某种运算符号，设，则中x的值（） A．4 B．8 C． D．-2 4．若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（    ） A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489 5．若，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 6．计算的结果是 ． 7．《庄子·杂篇·天下》中讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么5天之后，这个“一尺之棰”被截掉了 尺． 8．我们平常用的数都是十进制的，如：．表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数，等于十进制数5；二进制数，等于十进制数22，那么二进制数10101等于十进制数 ． 9．阅读计算： 阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ， ； (2)通过上述验证，归纳得出： ； (3)请应用上述性质计算：． 10．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： ； 将下式减去上式得： ，即，即； 请你仿照此法计算： （1）． （2）． 类型9：四则混合运算与应用 1．小杰同学在本学期学习了有关“低碳生活”的内容后，查阅资料得到数据：一个普通快递包装约排放出 二氧化碳，一盆绿萝每天约吸收 二氧化碳．若要将一个快递包装排放出来的二氧化碳在一天内全部被吸收，至少需要绿萝（ ） A．1332盆 B．1333盆 C．1334盆 D．1335盆 2．在《说文解字·序》中提及“神农氏结绳为治，而统其事”，有一位神农氏时代的村民，用结绳来记录猎物的数量．他的方法是“从右往左、满五进一”（如图），第三幅图表示（   ）只猎物． A．16 B．17 C．18 D．19 3．小明准备骑行去“天德湖”公园游玩，在手机上打开地图查询骑行的路线，从地图中小明发现推荐方案：从家到“天德湖”公园的路程是7.8公里，地图中表示1公里的线段的实际长度是1厘米，若小明用手指滑动手机屏幕将地图放大，此时地图中表示1公里的线段的实际长度为1.5厘米，则此时地图中表示家到“天德湖”公园的推荐线路长，比原来多了 厘米 4．出租车司机小李某天下午从A地出发，营运全是在东西的人民大道进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天营运的车次和里程如表（单位：千米）： 车次 里程 (1)在哪次记录中距A地最远？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，小李距出发地的距离是多少？ (3)若每千米耗油，问小李这天下午共耗油多少升． 5．一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 类型10：科学记数法 1．据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．年前三季度安徽省地区生产总值亿元，其中数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．推进美丽中国建设，绿色低碳生产生活方式加快形成．中国超额完成到2020年碳排放强度下降40%至45%的目标，累计减排二氧化碳吨，建成全球规模最大碳市场和清洁发电体系．将用科学记数法表示应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（    ） A．527000000 B．5270000 C．527000 D．52700000 5．小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ）A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 7．用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 类型11：乘除运算中的简便运算 1．简便计算 (1) (2) 2．下列各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 3．怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) (4) 类型12：程序流程图与计算 1．下图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（    ） A．7 B．11 C．13 D．9 2．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为( ) A． B． C． D． 3．小勤设计了一个计算程序（如图），如果输入的数是4，那么输出的结果是（　　） A． B．6 C． D．9 4．按如图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 5．定义如下运算程序，则输入，时，输出的结果为 ． 6．如图是一个数值转换机的示意图，若输入的值为，的值为，则输出的结果为 ． 类型13：有理数的混合运算 1．（   ） A．0 B． C．4 D．2 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．定义新运算 “”：，则的值为(    ) A．6 B．10 C．12 D．14 4．规定*是一种运算符号，且，计算 ． 5．计算：． 6．计算 (1)； (2)． 7．计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 8．小红与小亮两位同学计算的过程如下： 小红： ① ② ③ ④ 小亮： ① ② ．③ (1)请指出小红与小亮开始出错的步骤； (2)写出你的解答过程． 拔优特训 1．若，，且，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．若，且的绝对值与其相反数相等，则的值为（ ） A． B．或 C．或 D．或 3．且，则的值为（   ） A．9或3 B．或 C． D． 4．都是一位小数，在直线上的位置如下图．下面四个算式，计算结果与点最接近的选项是（    ） A． B． C． D． 5．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（   ） A．156 B．6 C．231 D．21 6．下列说法中，正确的有（    ） ①对于任意有理数m，都有；②对于任意有理数m，都有；③对于任意有理数m，n（），都有；④对于任意有理数m，都有． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 7．规定是一种新的运算法则，满足，例如：，则 ． 8．满足不等式的x的取值范围是 ． 9．正方形在数轴上的位置如图所示，点和点对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点对应的数是1；翻转2次后，点对应的数是3……；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2025所对应的点是 ． 10．同学们，你们一定喜欢计算机！而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数，我们常使用的是十进制的数．这两者可以互换，如将二进制数1101换成十进制数应为，按此方法，则将十进制数37换成二进制数应为 ． 11．某数学爱好者制作了一个魔术盒，当把有理数对放入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把有理数对放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到有理数，再将有理数对放入其中后，得到的有理数是 ． 12．生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示，孩子已经出生的天数为 ． 13．一个点从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第二次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动个单位；则第次移动后这个点在数轴上表示的数是 14．已知数轴上两点A，B对应的数分别为，b． （1）若P为数轴上一点，且原点O是的中点，则点P对应的数为 ； （2）若b是的最小值，则点B对应的数为 ． 15．简便计算：必须用简便方法进行计算． (1) (2) 16．计算： (1) (2) (3) (4)． 17．计算：用适当的方法计算： (1) (2) (3) (4) 18．出租车司机王师傅上午8：00～10：00在一条南北方向的大道上营运，共连续运载8批乘客，若规定向北为正，向南为负，王师傅营运这8批乘客里程如下（单位：千米，中途停车时间忽略不计）： ． (1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅在第一批乘客出发地的北面还是南面？相距多少千米？ (2)上午8：00～10：00．王师傅开车的平均速度是多少？ 19．某服装厂共有54名工人．现计划一周生产某款服装3500件，平均每天生产500件．但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有所出入．下表是这一周的生产情况（超产记为正，减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)根据记录的数据，可知该厂星期五生产服装 件，这一周产量最多的一天比产量最少的那一天多生产了 件； (2)求该厂这一周实际生产服装的件数； (3)该厂实行每天计件工资制：每生产一件服装可得15元，若当天超额完成任务，则超过部分每件另奖励6元；若当天没完成任务，则少生产一件扣4元．若该厂所有工人本周每天都参与这款服装的生产，求这一周该厂工人的平均收入． 20．【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上）．为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶到达A村，继续向西行驶到达B村，最后向东行驶到达C村． 【问题发现】 （1）A、B、C三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点A、B、C，请在数轴上表示出点A、B、C的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是m，学校在数轴上表示的数是n，且n位于点B向西处的位置，m到点C的距离为，求的值． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $