12.3一次函数与二元一次方程 讲义 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

12.3 一次函数与二元一次方程 学习目标 1. 理解二元一次方程与一次函数的转化关系，能将二元一次方程化为一次函数形式，反之亦然； 2. 掌握二元一次方程的解与对应一次函数图像上点的坐标的对应关系； 3. 理解二元一次方程组的解与两个一次函数图像交点坐标的关系，能通过一次函数解决二元一次方程组相关问题； 4. 能运用一次函数与二元一次方程（组）的关系解决简单实际问题。 知识点讲解 一、二元一次方程与一次函数的关系 1. 方程与函数的转化 对于形如 ax + by = c（a,b,c 为常数，且）的二元一次方程，通过移项、系数化为1，可转化为一次函数形式： 即一次函数 y = kx + b（其中，，注意此处“b”与原方程中“by”的 b 区分）。 2. 解与点的对应关系 · 二元一次方程 ax + by = c 的每一组解 (x,y)，都是对应一次函数图像上的点的坐标； · 反之，一次函数 y = kx + b 图像上任意一点的坐标 (x,y)，都是对应二元一次方程 kx - y = -b（即 y = kx + b 移项所得）的一组解。 二、二元一次方程组与一次函数的关系 对于二元一次方程组（）： · 方程组中的两个方程可分别化为一次函数：和； · 方程组的解，就是这两个一次函数图像交点的坐标。因为交点同时在两个函数图像上，其坐标 (x,y) 满足两个函数表达式，即满足方程组中的两个方程。 例题解析 例1：将二元一次方程化为一次函数形式 将方程 2x - 3y = 6 化为 y = kx + b 的形式。 例2：由一次函数确定二元一次方程 已知一次函数 y = -2x + 5，写出它对应的一个二元一次方程。 例3：利用一次函数关系解二元一次方程组 用一次函数的关系解方程组： 例4：实际应用题 某商店购进甲、乙两种文具，已知购买2支甲文具和3支乙文具共需18元，购买3支甲文具和2支乙文具共需17元，求甲、乙两种文具的单价。 巩固练习 一、选择题 1. 将二元一次方程 5x - 2y = 10 化为一次函数形式，结果为（ ） A.... 2. 一次函数对应的二元一次方程可以是（ ） A. x - 3y = 6 B. x + 3y = 6 C. 3x - y = 2 D. 3x + y = 2 3. 若二元一次方程组的解是（ ） A.... 4. 已知一次函数 y = kx + 3 与 y = 2x - 1 的图像交点坐标为 (2,3)，则 k 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 二、解答题 5. 将二元一次方程 4x + 5y = 20 化为一次函数形式。 6. 已知一次函数 y = -3x + 4，写出它对应的一个二元一次方程，并求出当 x = 2 时方程的一组解。 7. 用一次函数的关系解方程组： 8. 某车间加工A、B两种零件，已知加工1个A零件和2个B零件共需50分钟，加工2个A零件和1个B零件共需40分钟，求加工一个A零件和一个B零件各需多少分钟？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3 一次函数与二元一次方程 学习目标 1. 理解二元一次方程与一次函数的转化关系，能将二元一次方程化为一次函数形式，反之亦然； 2. 掌握二元一次方程的解与对应一次函数图像上点的坐标的对应关系； 3. 理解二元一次方程组的解与两个一次函数图像交点坐标的关系，能通过一次函数解决二元一次方程组相关问题； 4. 能运用一次函数与二元一次方程（组）的关系解决简单实际问题。 知识点讲解 一、二元一次方程与一次函数的关系 1. 方程与函数的转化 对于形如 ax + by = c（a,b,c 为常数，且）的二元一次方程，通过移项、系数化为1，可转化为一次函数形式： 即一次函数 y = kx + b（其中，，注意此处“b”与原方程中“by”的 b 区分）。 2. 解与点的对应关系 · 二元一次方程 ax + by = c 的每一组解 (x,y)，都是对应一次函数图像上的点的坐标； · 反之，一次函数 y = kx + b 图像上任意一点的坐标 (x,y)，都是对应二元一次方程 kx - y = -b（即 y = kx + b 移项所得）的一组解。 二、二元一次方程组与一次函数的关系 对于二元一次方程组（）： · 方程组中的两个方程可分别化为一次函数：和； · 方程组的解，就是这两个一次函数图像交点的坐标。因为交点同时在两个函数图像上，其坐标 (x,y) 满足两个函数表达式，即满足方程组中的两个方程。 例题解析 例1：将二元一次方程化为一次函数形式 将方程 2x - 3y = 6 化为 y = kx + b 的形式。 解析： 2x - 3y = 6 移项，得：-3y = -2x + 6 两边同时除以 -3，得： 即一次函数形式为。 例2：由一次函数确定二元一次方程 已知一次函数 y = -2x + 5，写出它对应的一个二元一次方程。 解析： 一次函数 y = -2x + 5，移项得：2x + y = 5 故对应的二元一次方程可以是 2x + y = 5（答案不唯一，如 4x + 2y = 10 等，只要是原方程的变形即可）。 例3：利用一次函数关系解二元一次方程组 用一次函数的关系解方程组： 解析： 第一步：将两个方程化为一次函数形式。 · 方程 x + y = 4：移项得 y = -x + 4； · 方程 2x - y = 5：移项得。 第二步：求两个函数的交点坐标（即方程组的解）。 联立令 -x + 4 = 2x - 5 移项： 将 x = 3 代入 y = -x + 4：y = -3 + 4 = 1 故方程组的解 例4：实际应用题 某商店购进甲、乙两种文具，已知购买2支甲文具和3支乙文具共需18元，购买3支甲文具和2支乙文具共需17元，求甲、乙两种文具的单价。 解析： 设甲文具单价为 x 元，乙文具单价为 y 元，根据题意得方程组： 第一步：化为一次函数形式。 · 方程 2x + 3y = 18：； · 方程 3x + 2y = 17：。 第二步：求交点坐标（即解）。 联立令 两边同乘6去分母：-4x + 36 = -9x + 51 移项： 将 x = 3 代入： 故甲文具单价为3元，乙文具单价为4元。 巩固练习 一、选择题 1. 将二元一次方程 5x - 2y = 10 化为一次函数形式，结果为（ ） A.... 2. 一次函数对应的二元一次方程可以是（ ） A. x - 3y = 6 B. x + 3y = 6 C. 3x - y = 2 D. 3x + y = 2 3. 若二元一次方程组的解是（ ） A.... 4. 已知一次函数 y = kx + 3 与 y = 2x - 1 的图像交点坐标为 (2,3)，则 k 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 二、解答题 5. 将二元一次方程 4x + 5y = 20 化为一次函数形式。 6. 已知一次函数 y = -3x + 4，写出它对应的一个二元一次方程，并求出当 x = 2 时方程的一组解。 7. 用一次函数的关系解方程组： 8. 某车间加工A、B两种零件，已知加工1个A零件和2个B零件共需50分钟，加工2个A零件和1个B零件共需40分钟，求加工一个A零件和一个B零件各需多少分钟？ 巩固练习答案 一、选择题 1. A 解析：，故选A。 2. A 解析：，故选A。 3. A 解析：化为函数 y = x - 1 和 y = -2x + 5，联立得，y = 1，故选A。 4. A 解析：交点 (2,3) 在 y = kx + 3 上，代入得，故选A。 二、解答题 5. 解： 6. 解：对应的二元一次方程为 ( 3x + y = 4 )（移项 ( 3x + y = 4 )）。当 ( x = 2 ) 时，代入，故一组解为 ( )。 7. 解：化为函数 ( y = 3x - 4 ) 和，联立得，代入，故方程组的解为。 8. 解：设加工一个A零件需 x 分钟，一个B零件需 y 分钟，得方程组。化为函数和 y = -2x + 40，联立得，y = -2×10 + 40 = 20。故加工一个A零件需10分钟，一个B零件需20分钟。 学科网（北京）股份有限公司 $