专题2 数列——错位相减法 专项训练-2026届高三数学一轮复习

专题2数列—错位相减法 一、例题讲解： 1.已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,且a2,a4,as成等比数列. (I)求{an}的通项公式： (2)若bn=2·an,求数列{bn}的前n项和Tn 2.已知{an}是等差数列，{b}是等比数列，且a1=b=3,a2+a4=2b2,a,4=b. (1)求{an}和bn}的通项公式： (2)求数列 b 的前n项和. 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是公比为3的等比数列，且 S,=n2(nEN"),b=a. (I)求数列an},{bn}的通项公式： (2)令cn=(an+1)bn,求数列cn}的前n项和n. 试卷第1页，共3页 4.己知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,3an=2Sn+1. (1)证明数列an}为等比数列，并求它的通项公式； (2)设bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Tn: 5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a,=1,2Sn=3an+m. (1)求实数m的值和数列an}的通项公式： (2)若bn=alog3a+1,求数列bn}的前n项和Tn 6。已知单调递增数列a,的前项和为S,且s.-a,+ 4 (I)求数列{an}的通项公式； (2)若数列bn}满足b,= ，求数列b,}的前项和工。 试卷第1页，共3页 二、强化训练： 7.已知{an}为等比数列，a1=1,242是4a,a3的等差中项. (1)求{an}的通项公式： (2)求数列{nan}的前n项和， 8.已知数列an}是等差数列，首项4=1，公差为d且a,a2,a成等比数列. (I)求{an}的通项公式： (2)若d≠0，数列{b}满足b。=a。·2-,求数列{b}的前n项和Tn 9.已知SmTn分别是等差数列{an}和等比数列{bn}的前n项和，S,=15, bb4=64,a2=b,S3=T3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式 (2)若{bn}为递增数列，Cn=abn,求数列{cn}的前n项和A. 试卷第1页，共3页 10.己知各项都为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S,=45,且a,a:-1,a+1构 成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式： (2)设6，=1 一，求数列b}的前项和； an·an (3)若c,=an×4,求数列{cn}的前n项和. 11.已知各项均为正数的等比数列{an}满足aa,=a4,3a,+2a4=a; (1)求{an}的通项公式； (2)令bn=log;am,Cn=b,·an,求数列{cn}的前n项和Sn 12.己知数列(an},41=1,a+1=S.+1(n1,n∈Z) (1)求a: ②令，=g,a山，I,为数列b}的前n项和，求7. a. 试卷第1页，共3页 《专题2数列——错位相减法》参考答案 1.(1)an=n; (2)Tn=(n-1)·21+2 【详解】(1)设数列{an}的公差为d,则d≠0. =a,4得 a+3d=(a+d(a+7d,化简得 d2=ad 由〈 S2=3 2a,+d=3 2a+d=3' 因为d≠0，所以d=a1=1, 所以an=1+(n-1)×1=n, （2)由(1)知bn=n·2", 则T,=1×2+2×22+3×23+…+n2”, 2T,=1×22+2×23+3×24+…+n…2m1, 两式相减得-7，=2+2+2+…+2”-2_2-29 -n·21=1-n)21-2, 1-2 所以Tn=(n-1)2+2. 2.【详解】(1)设公差为d,公比为qq≠0)， a2+a4=2b2,故2a1+4d=2b,9,6+4d=6g, a,a=b,故33+2d)=3g2, [6+4d=6q 3 d=- 联立33+2d=3g2解得 d=3 或 9=3 2（舍去)， q=0 故0n=3+3n-1=3n,bn=3.3m-=3”; (2)只-3n” 633，设数列 的前n项和为Sn, 则方 n 十…十 3，① 1,2.3,4， 答案第1页，共2页 肉式m2++”儿 3 所以5-+)品 3.(1)因为Sn=n2(n∈N),所以a,=S,=1, 当n22时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 又a,=1满足上式，所以an=2n-1. 因为b=a=1,所以数列{b}是首项为1，公比为3的等比数列，即b,=3”- (2)由(1)知，cn=(a,+1b=2n3-, 所以Tn=2×1×3°+2×3+3×32+…+n3-）,① 37n=2×[1x3+2x32+3×3+…+(n-1小3m-+n-3],② ①-②得-2T=2×(3°+3+32+33+…+3-1-n-3）, 所以7.=n3”-(30+3+32+3+…+3=n3-1-3” 1-3 =m-3”_3”-1_(2m--3”+1 2 2 4.(1)由题设3a1=2Sm+1+1,则3(a1-an)=2an+1,整理得an1=3an, 又a1=1≠0， 所以{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则a,=3 (2)由bn=n3,则T,=1×3°+2×3+3×32++n3, 所以3Tn=1×3+2×32+3×33+…+(n-1)-3m-1+n3”, 所以-27，=3°+3+32+3+…+34-n3”=1-3” 1-3n3, 所以7=日+2空 4 5.(1)当n=1时，2S,=3a,+m,又S,=a,则2a1=3a1+m,所以m=-a1=-1; 当n≥2时，2an=2Sn-2Sn-1=3an-1-(3an-1-l),整理得an=3a, 答案第1页，共2页 因此数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列{an}的通项公式为a,=3 (2)由(1)知，b。=an·log;a1=3-1log33”=n3m-, 则T,=1×3°+2×3+3×32+…+(n-1)3-2+n3-, 于是3T=1×3+2×32+3×33+…+(n-1)3m-1+n3”, 两式相减得-2Tn=3°+3+32+…+3-2+3-1-n3” 1×(1-3” -n-3”=-1+0-2m)-30 1-3 22 所以7，=1+2n--3” 4 4 6.1)8-a+,即45.=2+2a,+1, 4 当n=1时，4S,=4a1=a2+2a,+1,解得a=1, 当n≥2时，4Sn-4Sn-1=4an=a斤+2an+1-a+2am1+l=a-a1+2an-2a-1, 即a7-a-1-2(an+am-=(an+an-t(an-an-1-2）=0, 又数列{an}单调递增，所以an+a1≠0，即an-a-1-2=0, 则an-a-1=2,an=2n-1,n=1时也符合， 所以an=2n-1. (2)6,=3-0=3-(2m-1-2-n 2n+1 2+ -2” 10-1. 2-n 7.=6+6+6+…+62+2+2+…+ 2 1.0.-1.2-n 241, 1 111112-n14 2-n 6T7222222 、2 2+1 解得工，=2 答案第1页，共2页 7.(1)设{an}的公比为q,因为2a2为4a,4的等差中项， 所以4a2=4a1+a3,a1≠0，即4a9=4a1+a1g2, 则q2-4q+4=0,解得9=2， 所以an=2- (2)设{nan}的前n项和为Sn,又a1=1,an=2-, Sn=1×1+2×2+3×22+…+nx2m-1,① 2S。=1×2+2×22+3×23+…(n-1)2-+n×2",② 0-②得-3=1+2+2++2-2”昌-ax2=0-m2-1. 所以Sn=（n-1)2"+1 8.(1)因为a1,a2,a成等比数列，又a,=1, 所以a=a,a,即(1+d)2=1x(1+4d),解得d=2或d=0, 当d=2时数列{an}的通项公式an=2n-1; 当d=0时数列an}的通项公式an=1; 所以an=2n-1或an=1 (2)因为d≠0，所以an=2n-1, 所以bn=an·2-=(2n-12-, 所以T,=1×2°+3×2+5×22+…+(2n-1×2-, 则2T,=1×2+3×22+5×2+…+(2n-1)×2”, 所以-T,=1×2°+2×2+2×22+…+2×2m-1-(2n-1×2 142×20-2-（2m-×2=-3+3-2m×2°， =1+ 1-2 所以Tn=3+2n-3×2 9.1)因数列a,}为等差数列，则5，=a+a,)x5=50,=15,解符4，=3， 2 答案第1页，共2页 同理可得S=3a2, 因S3=T2,则3a2=b+b2,又a2=b,得b=2b, 因数列bn}为等比数列，则bb,=b=64,解得b=±8， 若b=8,则b=2,b2=4,a2=2,公比为2，公差为1： 若b=-8,则b=-2,b2=-4,a2=-2,公比为2，公差为5， 则an=n,bn=2"或an=5n-12,bn=-2". (2)因{bn}为递增数列，则an=n,b,=2”,则cn=n·2”, 则An=1×2+2×22+3×23+…+n2”,2An=1×22+2×23+3×24+…+n2m1, 两式相减得，4=n2-2-2-2--2”=n-21_2-2 1-2 =n…2+1+2-2m1=n-1·2+1+2. 10.(1)设等差数列{an}的公差为d,则d>0 由S,-9a+a,-9×2a=9a,=45,解得a,=5, 2 2 因a,a-1,a+1构成等比数列， 则有(a4-1)2=a,(a+1),即(a-d-12=(a-4d)(a+3d+1), 整理得13d+14)(d-1)=0 解符4=片 (因d>0,故舍去)，或d=l, 故数列an}的通项公式为an=n; (2)因6，=。1=111 ana+ln(n+lnn+1’ 设数列{b}的前n项和为T, 则T=1-+1-支+-11=”. nn+l n+1n+1 (3)由(1)可知an=n,cm=an×4.=n×4”, 设数列cn}的前n项和为A, 答案第1页，共2页 则An=1×4+2×42+…+(n-1×4-+n×4”,① 4An=1×42+2×43+…+(n-1×4”+n×41,② 由①-②：-3An=4+42+…+4”-n×4m+ 1-4 11.(1)设等比数列{an}的公比为9， 由题意得 aza3 a as as 3a,+2a9=ag2’ 因为等比数列{an}中a≠0，a4≠0，a1=1 3+2g=q2,又q>0,解得q=3, 所以a。=1×3-=3-; (2)由(1)知b,=10g33m-=3n-1, Sn=G+C2+C3+…+Cn S,=2×3°+5×3+8×32+…+3n-1×3-①. 3S。=2×3+5×32+…+(3n-4×3"-+(3n-1×3”② ①-②得-2S,=2+3×3+3×32+…+3×3"-1-3n-1×3m -2Sn=2+ 91-3) -3n-1×3m 1-3 所以5+贺-引 4 12.(①)a=2 【分析】(1)利用an1=Sn+1得到an=Sn-1+1,再用两式相减可得a1=2an,由于此时 n≥2，所以需要对第一项和第二项进行检验，a2=S,+1=a,+1=2a1,最后可判断{an}是等 答案第1页，共2页