精品解析：宁夏银川市第二中学2025-2026学年高二上学期月考一数学试卷

银川二中2025-2026学年第一学期高二年级月考一 数学试题 命题：温祺 审核：刘志旺 注意事项： 1．本试卷共19小题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．答案写在答题卡上的指定位置．考试结束后，交回答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列命题中，说法错误的是（ ） A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B. 两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C. 只有零向量的模等于0 D. 共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义依次判断即可. 【详解】对A，因为空间向量是既有大小又有方向的量，所以不能比较大小，故A正确； 对B，因为相等的向量大小相等，方向相同，所以若起点相同，则终点也相同，故B正确. 对C，因为规定模为0的向量为零向量，所以只有零向量的模等于0，故C正确； 对D，因为共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D错误. 所以错误的选项为D. 故选：D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，由， 得到，所以直线的倾斜角为. 故选：D. 3. 在三棱柱中，是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 4. 若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析 因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 5. 设为不共线的三点，在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论. 【详解】空间向量共面定理：， 若不共线，且共面，其充要条件是. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点共面； 对C，由可得， 因为，所以四点不共面； 对D，由，可得， 即，因为，所以四点不共面. 故选：B 6. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式计算. 【详解】由题意可得圆心坐标为，圆心到直线的距离为． 故选：D． 7. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】 设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 8. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解. 【详解】入射光线所在的直线方程为，即， 联立方程组解得即入射点的坐标为． 设P关于直线对称的点为， 则解得即． 因为反射光线所在直线经过入射点和点， 所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在的直线方程为， 即． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 直线与直线之间的距离为 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线与直线垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】令可判断A；利用平行线之间的距离公式可判断B；求出直线的斜率可判断C；由方程判断两直线的位置关系可判断D． 【详解】对于A，令得，直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，直线与直线平行，直线与直线之间的距离为，故B正确； 对于C，直线的斜率为，以为方向向量的直线的斜率为3，故C错误； 对于D，由，得，故D正确． 故选：BD. 10. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A，若，则，解得，故选项A错误； 对于选项B，若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C，若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D，在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：ABC. 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ， ∴， ∴∥， ∵面，面， ∴∥面， ∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，， 设面的法向量为， 即，解得， 当时，， 若面，则，， ∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合， ∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为， 所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分．共15分 12. 已知向量，，则_________. 【答案】0 【解析】 【分析】先求与的坐标，再进行数量积运算即可. 【详解】由， 则， 则， 故答案为：0. 13. 如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求直线和的方向向量，由条件结合向量夹角公式列方程求. 【详解】以为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，正方体的棱长为，则， ， . ， 解得（舍去）. 故答案为：. 14. 已知在平面内，点到直线（，）的距离.此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法.现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，），则点到平面的距离.如图，底面边长与高都为2的正四棱锥中，点到侧面的距离等于______. （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由待定系数法求得面的方程，由定义求得点到面的距离. 【详解】如图，以底面的中心为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面PAB的一般方程为（，）， 因为不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面， 所以将坐标代入，得 解得，，， 由题知不全为0，所以， 所以，即， 所以点到侧面PAB的距离. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设. （1）用表示，并求； （2）求． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【小问1详解】 解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . 【小问2详解】 解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以. 16. 在中，，，. （1）求点到直线的距离： （2）求线段垂直平分线所在的直线方程； （3）求过点且在轴和轴截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）求出直线的方程，再由点到直线距离公式计算可得结果； （2）由两直线垂直的斜率关系以及中点坐标，由点斜式方程可得结果； （3）分类讨论截距是否为0，即可得出对应直线方程. 【小问1详解】 由题可知直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； 由点到直线距离公式可得， 即点到直线的距离为； 【小问2详解】 易知线段的斜率,所以其垂直平分线斜率为； 且过的中点， 可得该直线方程为，即； 【小问3详解】 当在轴和轴截距都为0时，此时直线过， 此时直线方程为； 当在轴和轴截距不为0时，设直线方程为，可得； 代入点坐标可得，解得， 此时直线方程为，即； 综上可知，过点且在轴和轴截距相等的直线方程为或. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，D，E分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面ABC与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点M，利用三棱柱的特征结合中位线的性质判定四边形为平行四边形，再根据线线平行证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 取的中点M，连接， 因为D是的中点， 所以，且， 在三棱柱中， 因为E是的中点，所以，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 则即， 令，则， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 则 即平面与平面所成角的正弦值为． 18. 已知直线． （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）求点到直线距离的最大值并求此时直线的方程； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】（1） （2）的方程为 （3）4，此时直线l的方程为 【解析】 【分析】（1）由直线过定点可得斜率k的范围； （2）由于直线恒过定点，所以与直线垂直时，点到直线距离最大，最大距离为； （3）求出两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值． 【小问1详解】 直线的方程为：，它过定点 ，在第二象限， 因此直线不过第四象限，则， ∴的取值范围是． 【小问2详解】 由直线点斜式方程可知直线恒过定点且斜率为， 结合图象： 可知当与直线垂直时，点到直线距离最大，且， 此时的方程为． 【小问3详解】 由题意可知，再由l的方程，得． 依题意得解得． ， “＝”成立的条件是且，即， ，此时直线l的方程为． 19. 如图，点是以为直径的圆上异于的点，平面平面.，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）求证：直线直线； （3）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的两角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为点是以为直径的圆上异于的点，所以 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面； （2） ，分别是，的中点， 所以，又平面，不包含于面， 所以平面，又面，平面平面， 所以， （3）当时，直线分别与平面、直线所成的两角互余， 【解析】 【分析】（1）先证明，由条件根据面面垂直性质定理证明直线平面； (2)根据线面平行判定定理证明平面，再由线面平行性质定理证明直线直线； （3）建立直角坐标系，求出面的法向量，继而求出，利用 ，求出点的坐标即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，，，，，， ∴，， 设,,，平面的法向量为，则， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 且， ，， 设直线与平面所成的角为、直线与直线所成的角为， 则，， 因为直线分别与平面、直线所成的两角互余，所以， 所以， 所以，所以． 所以当时，直线分别与平面、直线所成的角互余． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川二中2025-2026学年第一学期高二年级月考一 数学试题 命题：温祺 审核：刘志旺 注意事项： 1．本试卷共19小题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．答案写在答题卡上的指定位置．考试结束后，交回答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列命题中，说法错误的是（ ） A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B. 两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C. 只有零向量的模等于0 D. 共线的单位向量都相等 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 在三棱柱中，是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设为不共线的三点，在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A. B. C. D. 6. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 7. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A. B. C. D. 8. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 直线与直线之间的距离为 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线与直线垂直 10. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分．共15分 12. 已知向量，，则_________. 13. 如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为_______. 14. 已知在平面内，点到直线（，）的距离.此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法.现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，），则点到平面的距离.如图，底面边长与高都为2的正四棱锥中，点到侧面的距离等于______. （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设. （1）用表示，并求； （2）求． 16. 在中，，，. （1）求点到直线的距离： （2）求线段垂直平分线所在的直线方程； （3）求过点且在轴和轴截距相等的直线方程. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，D，E分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面ABC与平面所成角的正弦值． 18. 已知直线． （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）求点到直线距离的最大值并求此时直线的方程； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 19. 如图，点是以为直径的圆上异于的点，平面平面.，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）求证：直线直线； （3）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的两角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $