精品解析：浙江省强基联盟2026-2027学年高二上学期9月题库数学试题

2026年高二9月题库 数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，且，则下列式子恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 不存在 5. 若为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则存在实数，使得 B. 若存在实数，使得，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设函数为偶函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递减 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 将的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象 11. 在棱长为1的正方体中，点M，N分别是，的中点，点P，Q分别是边，上的点（不包括端点），且．则下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 与是异面直线 C. D. 三棱锥体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______． 13. 已知圆锥的高是其底面半径的倍，若一个球内切于该圆锥（球与圆锥的底面及侧面均相切），则圆锥的体积是球的体积的________倍． 14. 已知向量，，，向量、在向量上的投影向量分别为、，且，则实数________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知，为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 某大学的强基计划考试分为初试和复试，初试成绩达到前，才能进入复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如下图所示． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）请估计进入复试的分数线； （3）用频率估计概率，在进入复试的学生中任选2名，求至少有一名初试成绩90分及以上的概率． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若点是边的中点，且，求的取值范围． 18. 如图，在梯形中，，，，且，将沿直线翻折至的位置（点不在平面内）． （1）若平面，证明：平面； （2）当二面角的平面角为锐角时，记直线与平面所成的角为，求的最小值． 19. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若存在两个不同的实数，，满足，求证：； （3）若存在两个不同的实数，，满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二9月题库 数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，，所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】全称量词改为存在量词，否定结论， 所以命题“，”的否定是“”. 3. 已知，且，则下列式子恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】选项A, ,所以选项A正确; 选项B, ,因为不确定,所以等式不恒成立, 选项B错误; 选项C, 当且仅当或,恒成立,根据题干条件无法得到或,所以选项C错误; 选项D,若,则,根据题干条件无法得到恒成立,所以选项D错误. 4. 函数的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 5. 若为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据诱导公式， 又因为为第二象限角,,所以, 所以. 6. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据各项中线面、面面的位置关系，结合线面、面面垂直，线面、面面平行的性质和判定及空间想象判断各项的正误. 【详解】A：由，则平行、异面、相交均可能，错， B：由，则或，错， C：由，结合线面垂直、面面平行的性质有，对， D：由，要使，根据面面平行的判定定理，条件还需相交，错. 故选：C 7. 已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过“至少一个不发生”的概率求出，再用概率加法公式求得，最后利用对立事件算出都不发生的概率. 【详解】， ， ， . 8. 已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】二次函数的图象抛物线开口向上，对称轴方程为， 由，有，又，若，成立， 则有，解得， 所以实数m的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，下列结论中正确的是（ ） A. 若，则存在实数，使得 B. 若存在实数，使得，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【详解】A选项： 且时，满足，此时不存在实数，使得，A选项错误； B选项： 存在实数，使得，若则，满足； 若，由向量数乘的定义可知，与共线，即，B选项正确； C选项： 若，两边同时平方化简得，若或，满足； 时，由，得，即与同向，满足，C选项正确； D选项： 时，若与方向相反，则不成立，D选项错误. 10. 设函数为偶函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递减 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 将的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据正弦型函数为偶函数的性质求出初相，确定函数解析式，再利用三角函数周期公式、换元法分析复合函数单调性，结合图像平移规则以及对称轴处函数取最值的特征，逐项对各个选项进行推理验证，判断正误即可. 【详解】因为 是偶函数， 所以，正弦为偶函数，则相位需满足：， 因为，取 ，得 ， 所以； 选项A： 最小正周期 ，A正确； 选项B：， ，则， 在 单调递减， 所以 在 单调递减，B正确； 选项C：， 把 代入：， 所以函数取到最小值 ，故 是该函数的对称轴，C正确； 选项D： 向右平移 个单位： ， 由题知，两者不相等，D错误. 11. 在棱长为1的正方体中，点M，N分别是，的中点，点P，Q分别是边，上的点（不包括端点），且．则下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 与是异面直线 C. D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项：利用线面平行性质得出平面; B选项：当时直线与相交; C选项：利用三角形全等证出； D选项：利用等体积法求三棱锥体积，再利用二次函数求体积的最大值. 【详解】因为点M，N分别是，的中点，所以， ，平面， 所以平面，即平面， 又，平面，故平面， A正确； 当时直线与相交， 理由如下： 取中点，连接， 因为均为中点，故，共面，又与不平行，故与相交，所以B错误； 过作，过作，连接，则, 因为平面，平面平面，所以， 故为平行四边形，，且，即， 所以，即，C正确； 因为， 设，则， ， 当且仅当时三棱锥体积最大，此时，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用除法运算化简复数，再求解模即可. 【详解】， 所以. 13. 已知圆锥的高是其底面半径的倍，若一个球内切于该圆锥（球与圆锥的底面及侧面均相切），则圆锥的体积是球的体积的________倍． 【答案】 【解析】 【分析】借助轴截面转化为平面等腰三角形的内切圆问题.根据高与底面半径的关系表示相关边长，求出内切球半径，再代入体积公式计算两者体积之比. 【详解】设圆锥底面半径为，由题意得圆锥的高. 因为圆锥轴截面是等腰三角形，底边长，高，所以母线长为 . 设内切球半径为.轴截面中，内切球对应的轴截面是等腰三角形的内切圆. 等腰三角形的面积为. 三角形周长的一半为，由内切圆半径和周长知此等腰三角形面积. 所以，即.此时球的体积为. 因为圆锥的体积为. 所以圆锥的体积与球的体积之比为. 14. 已知向量，，，向量、在向量上的投影向量分别为、，且，则实数________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先写出投影向量，再根据投影向量的关系，列式求解. 【详解】由投影向量的定义可知， 同理可得， 因为，所以，解得：. 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知，为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式求解； （2）将角拆成，利用两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 因为为锐角，， 所以， 因为，所以， 又，所以， 所以 ． 16. 某大学的强基计划考试分为初试和复试，初试成绩达到前，才能进入复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如下图所示． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）请估计进入复试的分数线； （3）用频率估计概率，在进入复试的学生中任选2名，求至少有一名初试成绩90分及以上的概率． 【答案】（1） （2）62分 （3） 【解析】 【小问1详解】 由，得． 【小问2详解】 由图可知，初试成绩在55分以下的考生的频率为，在65分以下的考生的频率为，因此分位数位于内， 由，可以估计进入复试的分数线为62分． 【小问3详解】 由图可知，初试成绩在90分及以上的考生的频率为， 在进入复试的考生中，初试成绩在90分及以上的考生的频率为． 任选两名都不超过90分的概率为， 所以至少有一名初试成绩90分以上的概率为． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若点是边的中点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理对条件等式进行边角互换求解； （2）利用向量计算和余弦定理，可以将表示为关于的代数式，进而通过的取值范围求的取值范围. 【小问1详解】 由题可知， 由正弦定理得，，故， 所以． 【小问2详解】 由为边中点，故， 平方可得， 故，① 由①知，故，又，故， 由余弦定理， 又由①式可得，所以，a的取值范围为． 18. 如图，在梯形中，，，，且，将沿直线翻折至的位置（点不在平面内）． （1）若平面，证明：平面； （2）当二面角的平面角为锐角时，记直线与平面所成的角为，求的最小值． 【答案】（1）如图，在梯形中， 因为，， 所以，． 因为，所以四边形是平行四边形， 故，所以，故， 所以． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面图形的性质证得，即得到，再利用线面垂直的性质得到，进而根据线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）作交于点F，得是二面角的平面角．通过证平面，得设，计算得，，由等体积法得到点C到面的距离，进而得，通过换元结合基本不等式即可求得的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，作交于点F， 因为，，所以是二面角的平面角． 因为，，，，面， 所以面，故． 因为，，，平面， 所以平面，故． 设，则，， 又， 故． ． 设点C到面的距离为h，则． 又， 由等体积法可知，故． 因为， 所以， 令，则． 当，即时，取得最小值． 所以取得最小值． 19. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若存在两个不同的实数，，满足，求证：； （3）若存在两个不同的实数，，满足，求的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间是；递增区间是，． （2）由题可知当时，单调递增且；当时，， 故，均小于0， 且由单调性不妨设，故， 故， 要证，只要证， 只要证：，① 注意到， 当时，，， 故①成立，结论获证． （3） 【解析】 【分析】（1）通过简单函数的性质判断单调性即可. （2）通过初步判断自变量范围后代入，利用等量关系求解. （3）对范围分类讨论，通过函数单调性的特点求解范围. 【小问1详解】 对于，因为对称轴为，所以时函数单调递减. 对于，易知，单调递增， 所以综上所述，单调递减区间是；递增区间是，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设， ①当时，， 此时，故不成立. ②当时，此时，若， 可知，且有， 注意到，故即， 故. 当且仅当时，取等号 即 ③当时，此时，，又当时，单调递增， 故，即，且， 故，又， 故，当且仅当时取等号， 故， 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $