11.2图形在坐标系中的平移讲义2025-2026学年沪科版（2024）数学八年级上册

11.2图形在坐标系中的平移 学习目标 1. 掌握点在坐标平面内平移时横、纵坐标的变化规律，能根据平移方式求平移后的点坐标。 2. 理解并运用中点坐标公式，计算两点连线的中点坐标。 3. 能根据点的原坐标与平移后坐标，判断平移的方向和距离。 4. 会根据坐标系中点的坐标及平移关系，推导原点的位置。 5. 能观察点的坐标变化规律，用含字母的代数式表示第n个点的坐标。 知识点讲解 1. 点的平移与坐标变化规律 在平面直角坐标系中，点 P(x,y) 的平移遵循以下规律： · 左右平移（x 变化，y 不变）： 向右平移 a 个单位长度，坐标变为 ( )； 向左平移4 a 个单位长度，坐标变为 ( )。 · 上下平移（y 变化，x 不变）： 向上平移 b 个单位长度，坐标变为 ( )； 向下平移 b 个单位长度，坐标变为 ( )。 2. 中点坐标公式 若点和点是平面直角坐标系中的两点，则线段 AB 的中点 M 的坐标为： . 确定点的坐标 已知点的原坐标和平移方式，可直接根据平移规律计算新坐标；反之，已知原坐标和新坐标，可通过计算横、纵坐标的变化量确定平移方向和距离（右移：，左移：；上移：，下移：）。 4. 求原点位置 若坐标系发生平移（如原点向右平移 m 个单位、向上平移 n 个单位），则原坐标系中的点 P(x,y) 在新坐标系中的坐标为 ( )；反之，已知点在新坐标系的坐标，可通过方程反推原坐标系原点的位置。 5. 点坐标规律探索 给出一组点的坐标，观察横、纵坐标随序号 n 的变化规律（如等差数列、平方关系等），用含 n 的代数式表示第 n 个点的坐标。 例题解析 例1：求平移后的坐标 已知点 ( A )，将其向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，求平移后点 A' 的坐标。 解析： · 向右平移4个单位长度，横坐标变化： 3 + 4 = 7 ； · 向下平移1个单位长度，纵坐标变化： -2 - 1 = -3 ； · 平移后坐标：A' )。 例2：判断平移方式 点 B ) 经过平移后得到点 B'(2, 3) ，请描述平移的方向和距离。 解析： · 横坐标变化： 2 - (-1) = 3 ，即向右平移3个单位长度； · 纵坐标变化： 3 - 5 = -2 ，即向下平移2个单位长度； · 平移方式：向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度（或先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度）。 例3：中点坐标计算 已知点 C(2, 4) 和点 D( )，求线段 CD 的中点 M 的坐标。 解析： 由中点坐标公式： · 横坐标：； · 纵坐标：； · 中点 M 的坐标：( )。 例4：求原点位置 在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为 (5, 3) 。若将原点向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得到新坐标系，求点 P 在新坐标系中的坐标。 解析： · 原点向右平移2个单位，向下平移1个单位，相当于点 P 向左平移2个单位，向上平移1个单位； · 新横坐标： 5 - 2 = 3 ； · 新纵坐标： 3 + 1 = 4 ； · 点 P 在新坐标系中的坐标： (3, 4) 。 例4：点坐标规律探索 观察下列点的坐标：，，，，…，按此规律，求第 n 个点的坐标。 解析： · 横坐标：1，2，3，4，…，规律为 n ； · 纵坐标：2，4，6，8，…，规律为 2n ； · 第 n 个点坐标：。 巩固练习 （一）选择题（每小题选项用分隔） 1. 点 ( ) 向左平移3个单位长度后的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 点 ( ) 向上平移4个单位长度后，再向右平移1个单位长度，坐标为（ ） A. (1, 1) B. C. | D. 3. 点 E( ) 平移后得到 E' )，平移方式是（ ） A. 向右平移3个单位 B. 向左平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 4. 已知点 ( F ) 和 G(5, 5) ，线段 FG 的中点坐标是（ ） A. (1, 5) B. (4, 5) C. D. (5, 5) 5. 在坐标系中，点 H ) 若原点向左平移3个单位，向上平移2个单位，点 H 在新坐标系中的坐标是（ ） A. ( ) B. ) C. D. (5, 1) （二）填空题 6. 点 (a, b) 向右平移5个单位，向下平移3个单位后坐标为 _________。 7. 点 K( ) 与 K'(x, 2) 关于原点对称：若 K 向上平移 m 个单位得到 (K'(1, 2 )，则 m = _________。 8. 已知点 M(3, 2) 和 N( )，线段 MN 的中点坐标是 _________。 9. 点 P(x, y) 先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后得到 (3, 5) ，则原坐标 (P 为 _________。 10. 观察点列： (1, 3) ， (2, 6) ， (3, 9))， (4, 12) ，…，第 n 个点坐标为 _________。 （三）解答题 11. 点 A( -2, 3) 经过两次平移后得到 A'( )，第一次平移：向右平移5个单位；求第二次平移的方向和距离。 12. 已知点 B(1, 5) ，C(5, 1) ， D(9, 5) ，判断这三个点是否在同一直线上 13. 坐标系中，点 E( )，若将坐标系向右平移4个单位，向下平移3个单位，求原坐标系原点在新坐标系中的坐标。 14. 点列，，，，…，求第 n 个点的坐标。 五、巩固练习答案与解析 （一）选择题 1. 答案：A 解析：向左平移3个单位，横坐标 2 - 3 = -1 ，纵坐标不变，坐标为 ( )。 2. 答案：A 解析：向上平移4个单位： -3 + 4 = 1 ；向右平移1个单位：0 + 1 = 1 ，坐标为 (1, 1) 。 3. 答案：B 解析：横坐标变化 1 - 4 = -3 ，向左平移3个单位，纵坐标不变。 4. 答案：A 解析：中点横坐标，纵坐标，坐标 (1, 5) 。 5. 答案：B 解析：原点向左平移3个单位（相当于点向右平移3个单位），向上平移2个单位（相当于点向下平移2个单位），新坐标 ( 2 + 3 = 5 ，-1 - 2 = -3 )，即 ( )。 （二）填空题 6. 答案： 解析：向右平移5个单位 x = a + 5 ，向下平移3个单位 y = b - 3 。 7. 答案：6 解析：向上平移 m 个单位，纵坐标 -4 + m = 2 ，解得 m = 6 。 8. 答案：( ) 解析：中点横坐标，纵坐标。 9. 答案： (5, 1) 解析：逆向平移：向右平移2个单位 x = 3 + 2 = 5 ，向下平移4个单位 y = 5 - 4 = 1 。 10. 答案： (n, 3n) 11. 解析：横坐标为 n ，纵坐标为 3n 。 （三）解答题 11. 答案：向右平移1个单位，向下平移4个单位 解析：第一次平移后坐标： -2 + 5 = 3 ，即 A'(3, 3) ；第二次平移：横坐标(4 - 3 = 1 （向右1个单位），纵坐标 -1 - 3 = -4 （向下4个单位）。 12. 答案：在同一直线上 解析：横坐标：1, 5, 9（公差4）；纵坐标：5, 1, 5（先减4再加4），三点坐标满足 y = -x + 6 13. 答案：( ) 解析：坐标系向右平移4个单位，向下平移3个单位，原原点在新坐标系中：向左平移4个单位( 0 - 4 = -4 )，向上平移3个单位( 0 + 3 = 3 )，坐标 ( )。 14. 答案： 解析：横坐标：-3 = 1 - 4，-2 = 2 - 4，…，第 n 个为 n - 4 ；纵坐标：1 = 2×1 - 1，3 = 2×2 - 1，…，第 n 个为 2n - 1 ，坐标 ( )。 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2图形在坐标系中的平移 学习目标 1. 掌握点在坐标平面内平移时横、纵坐标的变化规律，能根据平移方式求平移后的点坐标。 2. 理解并运用中点坐标公式，计算两点连线的中点坐标。 3. 能根据点的原坐标与平移后坐标，判断平移的方向和距离。 4. 会根据坐标系中点的坐标及平移关系，推导原点的位置。 5. 能观察点的坐标变化规律，用含字母的代数式表示第n个点的坐标。 知识点讲解 1. 点的平移与坐标变化规律 在平面直角坐标系中，点 P(x,y) 的平移遵循以下规律： · 左右平移（x 变化，y 不变）： 向右平移 a 个单位长度，坐标变为 ( )； 向左平移4 a 个单位长度，坐标变为 ( )。 · 上下平移（y 变化，x 不变）： 向上平移 b 个单位长度，坐标变为 ( )； 向下平移 b 个单位长度，坐标变为 ( )。 2. 中点坐标公式 若点和点是平面直角坐标系中的两点，则线段 AB 的中点 M 的坐标为： . 确定点的坐标 已知点的原坐标和平移方式，可直接根据平移规律计算新坐标；反之，已知原坐标和新坐标，可通过计算横、纵坐标的变化量确定平移方向和距离（右移：，左移：；上移：，下移：）。 4. 求原点位置 若坐标系发生平移（如原点向右平移 m 个单位、向上平移 n 个单位），则原坐标系中的点 P(x,y) 在新坐标系中的坐标为 ( )；反之，已知点在新坐标系的坐标，可通过方程反推原坐标系原点的位置。 5. 点坐标规律探索 给出一组点的坐标，观察横、纵坐标随序号 n 的变化规律（如等差数列、平方关系等），用含 n 的代数式表示第 n 个点的坐标。 例题解析 例1：求平移后的坐标 已知点 ( A )，将其向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，求平移后点 A' 的坐标。 例2：判断平移方式 点 B ) 经过平移后得到点 B'(2, 3) ，请描述平移的方向和距离。 例3：中点坐标计算 已知点 C(2, 4) 和点 D( )，求线段 CD 的中点 M 的坐标。 在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为 (5, 3) 。若将原点向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得到新坐标系，求点 P 在新坐标系中的坐标。 例4：点坐标规律探索 观察下列点的坐标：，，，，…，按此规律，求第 n 个点的坐标。 巩固练习 （一）选择题（每小题选项用分隔） 1. 点 ( ) 向左平移3个单位长度后的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 点 ( ) 向上平移4个单位长度后，再向右平移1个单位长度，坐标为（ ） A. (1, 1) B. C. | D. 3. 点 E( ) 平移后得到 E' )，平移方式是（ ） A. 向右平移3个单位 B. 向左平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 4. 已知点 ( F ) 和 G(5, 5) ，线段 FG 的中点坐标是（ ） A. (1, 5) B. (4, 5) C. D. (5, 5) 5. 在坐标系中，点 H ) 若原点向左平移3个单位，向上平移2个单位，点 H 在新坐标系中的坐标是（ ） A. ( ) B. ) C. D. (5, 1) （二）填空题 6. 点 (a, b) 向右平移5个单位，向下平移3个单位后坐标为 _________。 7. 点 K( ) 与 K'(x, 2) 关于原点对称：若 K 向上平移 m 个单位得到 (K'(1, 2 )，则 m = _________。 8. 已知点 M(3, 2) 和 N( )，线段 MN 的中点坐标是 _________。 9. 点 P(x, y) 先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后得到 (3, 5) ，则原坐标 (P 为 _________。 10. 观察点列： (1, 3) ， (2, 6) ， (3, 9))， (4, 12) ，…，第 n 个点坐标为 _________。 （三）解答题 11. 点 A( -2, 3) 经过两次平移后得到 A'( )，第一次平移：向右平移5个单位；求第二次平移的方向和距离。 12. 已知点 B(1, 5) ，C(5, 1) ， D(9, 5) ，判断这三个点是否在同一直线上 13. 坐标系中，点 E( )，若将坐标系向右平移4个单位，向下平移3个单位，求原坐标系原点在新坐标系中的坐标。 14. 点列，，，，…，求第 n 个点的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $