培优点3　解三角形中的范围与最值问题 （8大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

培优点3　解三角形中的范围与最值问题 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 4 题型一：利用正弦定理及三角函数有界性求解 4 题型二：利用余弦定理及基本不等式求解 5 题型三：换元法求解范围 6 题型四：坐标法 7 题型五：三角形中的平方问题 8 题型六：等面积法 9 题型七：常见数学史问题 10 题型八：四心问题 12 04 课时精练 14 解三角形范围与最值是高考中档难点，多在解答题中后段或选填压轴，分值 5-12 分。常以边长、面积、角的三角函数值为目标，依托正余弦定理转化为函数或不等式问题。常用方法有：三角函数有界性、基本不等式、二次函数最值。近年常与几何约束（如固定边、角）结合，侧重转化思想与代数求最值能力。 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 题型一：利用正弦定理及三角函数有界性求解 【例题1】在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 【例题2】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 【变式1】（2025·高三·浙江丽水·期末）已知锐角内角的对边分别为.若. (1)求； (2)若，求的范围. 【变式2】（2025·江西南昌·三模）在锐角中，，， (1)求角A； (2)求的周长l的范围. 题型二：利用余弦定理及基本不等式求解 【例题3】（2025·高三·河北石家庄·期中）在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 【例题4】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，. (1)求B； (2)若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长； (3)若为锐角三角形，求面积的范围. 【变式3】在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的范围 【变式4】（2025·高三·河北邢台·开学考试）已知在中，角所对的边分别是，且满足. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值. 【变式5】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，当的面积取得最大值时，求内切圆的半径． 题型三：换元法求解范围 【例题5】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)若，求证：； (2)若，求的最大值． 【例题6】在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【变式6】在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围． 【变式7】在锐角三角形中，分别为角所对的边，. (1)证明：. (2)求的范围. 题型四：坐标法 【例题7】（2024·山东·二模）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且. (1)若，求tan∠GAC的值； (2)求cos∠ACB的取值范围. 【例题8】在中，，，点在内部，，则的最小值为______． 【变式8】（2025·江西·模拟预测）设的面积为，内角的对边分别为为中点，已知． (1)求； (2)若，求的范围． 题型五：三角形中的平方问题 【例题9】（2024·高三·江苏常州·期末）已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为 ． 【例题10】（2024·辽宁辽阳·一模）在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为 . 【变式9】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是___________. 题型六：等面积法 【例题11】在中，，且． (1)求角； (2)求面积的最大值； (3)若是边上的一点，且证明，并求的最小值.提示：函数在区间上单调递减． 【例题12】在中，角的对边分别为，且，. (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围. 【变式10】（2025·高三·山东·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求； (2)若的面积为，且∠BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值． 【变式11】已知函数， ，且在区间上单调递增，记的最大值为，设. (1)求的解析式； (2)在中，，，其内切圆半径为r，点P满足. ①求r的最大值； ②当r取得最大值时，求长的取值范围. 题型七：常见数学史问题 【例题13】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在中，对应的边分别为，. (1)求角的大小； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： ， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 【例题14】（2025·湖北·三模）内一点O，满足，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如，请你和他一起解决如下问题： (1)若a，b，c分别是A，B，C的对边，，证明：； (2)在（1）的条件下，若的周长为4，试把表示为a的函数，并求的取值范围． 【变式12】已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求边长的最大值； (3)若的面积为，且，求面积的取值范围. 【变式13】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求a； (3)拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”如图，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A'，B'，C'，若，求△A'B'C'的面积的最大值． 题型八：四心问题 【例题15】为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【例题16】已知内角的对边为，点是的内心，若． (1)求角； (2)延长交于点，若，求的周长； (3)求的取值范围． 【变式14】记的内角所对的边分别为，向量，且. (1)求角A； (2)若，点为的内心，求面积的最大值. 【变式15】在中，，，分别是角，，的对边，已知，点是的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点． (1)求角的大小； (2)若，求的值； (3)若的面积，点是的重心，求的最小值． 1．在中，若边上的高为，求的范围. 2．记△的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的范围. 3．在中，角所对的边分别为，. (1)求角； (2)若，求的范围. 4．在中，内角所对的边分别是且． (1)求角A； (2)若，求周长的范围． 5．（2025·四川德阳·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的面积范围. 6．（2025·广东广州·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，． (1)求角A的大小； (2)求周长的范围． 7．（2025·高三·安徽·开学考试）已知的内角满足，且的面积大小为4. (1)求边长的最大值； (2)当边长取到最大值时，求的周长. 8．（2025·高三·河北·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值． 9．（2025·高三·山东烟台·开学考试）满足： (1)求角的大小； (2)为的中点，且，求的最大值 (3)若为外一点，，求四边形面积的最大值 10．（2025·高三·江苏南通·开学考试）在锐角三角形中，记分别为内角的对边，． (1)求的值； (2)求角的最大值． 11．已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 12．在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________． (1)求角A的大小； (2)若E为BC中点，且，，求AC的值； (3)如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值． 13．在中，角，，的对边分别是，，，向量，，且. (1)若，，求面积的最大值； (2)若，求的取值范围. 14．如图，平面上有四点，其中为定点，，为动点，满足，设与的面积分别为． (1)若，求角的值； (2)求的最大值． 15．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，． (1)若，求； (2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值． 16．已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． (1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； (2)若的面积为，为的中点，求长的最小值； (3)若，求周长的取值范围． 17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， (1)求证：是等腰三角形； (2)己知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值． 18．在中，，，分别是角，，的对边，若，. (1)求角的大小； (2)若且，点，是边上的两个动点，且. （i）设，用表示； （ii）设的面积为，求的最小值. 19．在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积，求面积的最小值. 20．在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点），且. (1)若，求的长； (2)求的面积的最小值. 21．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题： (1)若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点. （i）若，求的值； （ii）求的最小值. 22．“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角，，所对的边分别为，，，，，点是的费马点． (1)求； (2)若，求的面积； (3)求周长的取值范围． 23．在中，角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求角． (2)为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 24．已知的内角，，的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 25．已知函数的最小正周期为. (1)求的解析式； (2)在中，O为的外心，角A所对边的长为a，若的外接圆半径为1，且，求面积的最大值. 26．在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若. (1)求； (2)若为_______，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值. （从条件①内心，，②垂心，③重心，，任选一个作答） 学科网（北京）股份有限公司 $培优点3解三角形中的范围与最值问题 目 0们重点解读2 02思维升华 3 03典型例题. 题型一：利用正弦定理及三角函数有界性求解 题型二：利用余弦定理及基本不等式求解… 8 题型三：换元法求解范围 题型四：坐标法… .15 题型五：三角形中的平方问题， …19 题型六：等面积法 20 题型七：常见数学史问题… 25 题型八：四心问题 31 04课时精练… 37 1/65 01 重点解读 解三角形范围与最值是高考中档难点，多在解答题中后段或选填压轴，分值5-12分。常以边长、面 积、角的三角函数值为目标，依托正余弦定理转化为函数或不等式问题。常用方法有：三角函数有界性、 基本不等式、二次函数最值。近年常与几何约束（如固定边、角）结合，侧重转化思想与代数求最值能力。 2/65 02 思维升华 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问 题，通常有下列五种解题技巧： (1)利用基本不等式求范围或最值： (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值： (4)根据三角形解的个数求范围或最值： (5)利用二次函数求范围或最值， 3/65 03 典型例题 题型一：利用正弦定理及三角函数有界性求解 【例题1】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-b=2 acosB (I)求角A; ,且边的中线的长为 19 (2)若 2求 的面积： 2-a2+c2-3c=0 BC AD △ABC (3)若△4BC是锐角三角形，求 c的范围。 【解析】(1)因为2c-b=2 acosB,由正弦定理可得2sinC-sinB=2 sinAcosB, 2sin(+B)-sinB=2sin Acos B+2cos Asin B-sin B=2sinAcosB, 得到2cos4sinB-sinB=0,即sinB(2cosA-1)=0, 1 又B∈(0，：sinB≠0'所以cosM=2 又因为A∈0，，可得A= 3 (2)因为公-a2+e2-3c=0且4=写 所以由b2+c2-a2=2 becosA,可得3c=2 becosA=bc,解得b=3, 由题意D=B+AC, 两边平方，可得0-B+aC+2aB.4C=4+3+9。 因为剂网-，所匹+3+9=19解得孤2皮西=-5《合)， 则a4Bc的面积为5=m-*2x3x5-35 22 (3)因为a+b_sin4+sine sinC+）+5 2 sinC+3 1 +32-2 osC 2 2 sinC sinC sin C 4/65 2 cosC+ 2cos2C 2 2+{ -×一 +-5x11 2 2sin cos 2 C2' 2 tan sin C 2 0<C<π 2 由题知， 02元元”∈元，亚） 3 因为m=m(）2-5， 所以细2-小：可科nC62+例， 1 2 可得2 tan 所{5,2+ 【例题2】在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a2-b2=bC. (1)求证：A=2B: (2)若b=1,求a边的范围： 1-1+2sinA的取值范围。 (3)求tan B tan 4 【解析】(1)因为a2=b2+c2-2 bccos A=b2+bc, 所以c-b=2 bcosA, 由正弦定理可得sinC-sinB=2 sin Bcos A, 又因为sinC=sinA+B)=sin Acos B+cos Asin B, 代入可得sin Acos B-Cos Asin B=sinB, 即sin(A-B)=sinB, 因为0<A,B<π，则sinB>0,故0<A-B<π， 所以A-B=B或A-B+B=π，即A=2B或A=元（舍去）， 所以A=2B. 法二：由正弦定理可得：sin2A-sinB=sin BsinC, (sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin Bsin C, 则2sinA+Boos A-B x2sincosin(+B)xsin(-B)=sin Bsin C. 2 2 又sinA+B)=sinC≠0，故sinA-B)=sinB, 5/65 因为0<A,B<π，则sinB>0,故0<A-B<π， 所以A-B=B或A-B+B=π，即A=2B或A=π（舍去）， (2)因为△ABC为锐角三角形，A=2B, 所以C=π-3B, 0-8s号 由0<28号 ，解得 0<π-3B< B∈π，r)） 2 Γ(6’4 又b=l故a bsin4=2cosB∈V2,5). sin B 3)由2)知4=20引. 由 1 1 +2sin d-coscos4+2sind. tan B tan A sin B sin A sin(A-B) +2sinA= 1 +2sinA, sinAsinB sinA mA=1'则-+2在1e 令 上单调递增， 所以L。-1+2sin4的取值范围为 tanB tanA 33 【变式1】(2025·高三·浙江丽水·期末)已知锐角△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 bsinB-csinC =(b-a)sinA. (1)求C: (2)若c=V3,求a-b的范围. 【解析】(I)由正弦定理，bsinB-csinC=(b-a)sinA →b2-c2=(b-a)a→a2+b2-c=ab, 则cosC=+2-c2=1 2ab-2又0<c<元 所以C-号 (2)因为c=√5， a b 所以sinsin BsinC-2, 6/65 则a-h=26n4-sn81=25n4-sn红-4-】 =2sin A-sin((sin A-sin Acoscos Asin=2sin( 3 因为三角形ABC为锐角三角形， 0<A<π 所以 0<B= 2T-A、π，辨得 3 2 6 2 令1=4-号，所以1e(←若8.-1<a-6=2sm1<1, 661 所以a-be(-1,1) 【变式2】(2025江西南昌·三模)在锐角△ABC中，a=2W3,(2b-c)cosA=acosC, (1)求角A: (2)求△ABC的周长1的范围. 【解析】(1)，(2b-c)cosA=acosC, .2bcos A=acos C+ccos A, 所以2 sin B cos A=sin Acos C+sin Ccos A, 所以2 sin B cos A-=sin(A+C)=sinB, 因为sinB≠0：所以cos4=2 ·A∈0， 2 所以A=π 3 a2√5 =4 2 b 所以sinBsinC=4, 所以b=4sinB”c=4sinC=4si 2-B), 所以1=a+b+c=2V5+4sinB+4sin 2π-B) =23+43sin(B+) 61 因为6MBC是锐角三角形，且A=, 7/65 0<B< 所以 2 2T-B π解得 0< <B<I 3 2 6 所以8+名停，所以m8+骨 6 61 20, 所以1∈(6+2V3,6V3]. 题型二：利用余弦定理及基本不等式求解 【例题3】(2025高三·河北石家庄·期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c且满足 asin Acos C=(v3b-asin C)cos A. (1)求A: (2)当a=2时，求BC边上中线AD的范围. 【解析】(I)在△ABC中，由asin AcosC=(N3b-asinC)cosA及正弦定理， sin Asin AcosC=(3 sin B-sin Asin C)cos 4, sin A(sin Acos C+cos Asin C)=3 cos Asin B,sin Asin(A+C)=3 cos Asin B, 于是sin Asin B=V3 cos Asin B,而A,B∈(0，m),cos Asin B≠0，则tanA=V3, 所以4=骨 (2)由(1)及余弦定理，得4=a2=b+c2-2 bccos=b+c2-bc≥bc, 当且仅当b=c时取等号， 因此8+c2=4+bc,0<c≤4：由AD为BC边上中线，得D-(B+A0, 则0-}ma-6+e产+2派m号+cc-4+2we, 32 所以BC边上中线AD的范围是(L,V3] 【例题4】在AABC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,c,且a,,c满足+ac-血AmC ac sinC sin4' c=12」 (I)求B: (2)若D为线段BC上一点，且满足AD=BD,AC=V189,求CD的长： 8/65 (3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的范围. 【解析】(1)由题可得 'tac_a+c..b=a+c-ac, ac c a .cosB=a'+e2-b2 1 2ac =2“B∈(0，，∴B= -3 2)D为线段BC上一点，且满足0物B=” 3, ∴，△ABD为等边三角形， ∴∠ADC= 3 设CD=x,在△ADC中，AC2=AD+CD2-2AD.CD cos.∠ADC, 即189=x2+122-2x-12× 整理得：x2+12x-45=0,解得x=3或x=-15(舍)，即CD=3. AB BC (3)在△ABC中， AB=12'由正弦定理 sinC sin得： 12sin 12 BC=12sin4 -cosC+ 2sin C 5.1 sinC sin C sinC =122+2物 于是得S.A8c=2 )BA BC.sin B=365日+5.1】 22 tan C 因为61BC是锐角三角形，则0<C<受，且0< -C<π 3 于是布后C经则mC>原即05,5 1 6 tanC <2, 22'2 tan C 从而得18V5<SAc<72V5, 所以△ABC面积的取值范围是18V5,72V5 【变式3】在AaC中，内角A、gC的对边分别为。bc,且A 3 cosC a c (1)求角C的大小： (2)若c=2,求△ABC周长的范围 【解1少因为：C,曲正孩定即可符 3cosC-sin4-l,可得anC=5' sinC sin A 因为C0,,故C=3 9165 (2)由余弦定理可得4=c2=a2+b-2 abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab ≥(a+b12-3x a+b (a+b) 、2 所以， 4 a+b≤4' 当且仅当a=b=2时，等号成立， 又因为a+b>c=2,则2<a+b≤4，所以，4<a+b+c≤6， 因此，△ABC周长的取值范围是(4,6] 【变式4】(2025·高三·河北邢台·开学考试)已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足 tanB+tanC 2a tanB b (1)求角C的大小： (2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积的最大值. 【解析】(1)根据正弦定理 ab=c=2R, sin A sin B sin C 所以a=2 Rsin A,b=2 Rsin B, tanB+tanC 2a 2sin A 所以一 tanB b sin B' cosB,tanC=sinC 又因为tanB=sinB cosC' 代入化简得n BcosC+sinCos_2sinA sin Bcos C sinB①， 根据两角和的正弦公式sin(B+C)=sin BcosC+cos Bsin C, 又A+B+C=π，则sin(B+C)=sinπ-A=sinA, sin A 2sin A →cosC=2 1 代入①化简得： sin BcosC sin B 因为角Ce10小，所以角C-骨-60 a b (2)已知△4BC的外接圆半径为1，由正弦定理。 =2R, sin A sin B sinC 可得c=2 RsinC=2x1x5-5. 2 由余弦定理可知c2-a2+b2-2 abcosC,代入C,cosC的值可得3=a2+b2-ab 由基本不等式a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号， 则a2+b2=3+ab≥2ab→ab≤3，当且仅当a=b=V3时ab取最大值3. 由三角形面积公式可得S,ac-】absinC=5 b, 2 4 10/65