培优点2　解三角形中的几何计算问题（7大题型）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

培优点2解三角形中的几何计算问题 目录 01重点解读 02思维升华 0仍典型例题… 4 题型一：利用两次正弦定理消元法 *400068000808 题型二：利用两次余弦定理建立等量关系 题型三：等面积法。 6 题型四：角平分线问题 …7 题型五：中线问题 8 题型六：高问题 9 题型七：四心问题 10 04课时精练… 412 1/19 01 重点解读 解三角形图形计算常以三角形、四边形（可拆为三角形）为背景，结合高、中线、角平分线等元素。 核心用正余弦定理求边长、角度，结合面积公式计算。 2/19 02 思维升华 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题： 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题， 相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选 择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可 以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更 加直观化. 3/19 03 典型例题 题型一：利用两次正弦定理消元法 【例题1】如图，在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,P是ABC内的一点，且满足 ∠PAB=∠PBC=∠PCA=a. A (I)若∠BAC=80°，求∠APC的大小； (2)若LBAC=120°，AB=AC=4,求a的正切值； 1 (3)若a=30°，求 1 、1 的值. `tan∠BAC'tan∠ABC'tan∠ACB 【例题2】如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB=10,BC=5,P为ABC内一点，且∠BPC=90°. C B (1)若PB=3,求PA的长： (2)若∠APB=150°，求tan∠PBA. 【变式1】(2025·全国·模拟预测)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 b.(sinA+sinB)=c.sin(A-B). (1)证明：a=2b; (②者b=1CD平分∠ACB,点D在线段B上，且CD-子，求B的长。 4/19 【变式2】(2025·高三·浙江·开学考试)在ABC中，a,b,c分别是角4，B,C所对的边，且满足 2sin C-sin B a sin2B b (1)求∠BAC的大小： ②点D是边8C上一点，且满足MD=c,∠ADC-景求2的值 【变式3】在ABC中，已知∠BAC的平分线AD与边BC相交于点D 味还：咒。 (2)若BD=2DC,∠BAC=60,AD=2,求BC. 题型二：利用两次余弦定理建立等量关系 【例题3】ABC的内角A,B,C的对边分别为ab,c,已知bcosC+ccos B= ac 2 (1)求C (2)若D为AB中点，CD=√2，LACB=60°，求ABC的周长 【例题4】在四边形ABCD中，BC=,AC=CD,AC平分∠BCD,4B+AC-BC=2AC-5BC. AC 5/19 B D (I)求∠ACB; ②当BD取最大值时，求4C. AB 题型三：等面积法 【例题5】(2025·高三·黑龙江·开学考试)在ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c, ∠BAC=2n 3 (1)若b=2,c=4,求a的值 (2)若∠BAC的角平分线AD交BC于点D. (i)若b+4c=1,求AD的最大值： (i)若c=1,CD=√6，求ABC的面积 【例题6】(2025·高三·贵州贵阳·开学考试)已知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的 对边，in,B=sinB,C,CB=6,且ABC的面积为5. 2 (1)求C; (2)若D在BC边上，且线段AD平分∠BAC,求线段AD的长度. 6/19 【变式4】如图.平面四边形48CD中，B=L4C=6.∠ABC-智∠ADC=24CnBD=E,记 3 ∠DBC=0 B (1)用0表示AD; (2)求四边形ABCD面积的范围； (3)当O为何值时，S.BCs=2S.ADE 题型四：角平分线问题 【例题7】已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角∠ACD的平分线，CB与AD相交于点O, 4C=540=1,cos∠ACD=号 B (I)求sin ZAC0的值； (2)求C0的长： (3)若BC=BD,求△ABD的面积. 【例题8】已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,b=3,a=2c.求角B的平分线长的取值范围. 7/19 【变式5】(2025·湖南湘潭·一模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 b=2c,a=3V万.向量m=(V3b,a,n=(cosA,sinB),m⊥n,点M在边BC上，AM是角A的平分线. (1)求角A; (2)求AM的长. 【变式6】已知4BC的内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,且(2b-a)cosC-+c2-a 2b (1)求C; (2)若∠ACB的平分线交AB于D,且a+b-√3ab=0,，求CD的值， 题型五：中线问题 【例题9】(2025·高三·浙江·开学考试)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满 足a=2c-b cosA cosB (1)求角A; (2)若BC=√2，BC边中线AD长为1，求ABC的面积. 【例题10】在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知2c-b=2 acosB. (1)求角A; (②)若-d+c2-3c=0,且边BC的中线AD的长为V1 ,求ABC的面积： (③)若ABC是锐角三角形，求a+b的范围， 8/19 【变式7】在ABC中，AB=2AC,AD是BC边上的中线，记∠CAD=a,∠BAD=B. (I)求sina:sinβ： (2)若AB=2AC=1,tana=sin/BAC,求BC. 题型六：高问题 【例题l1】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3(c-acos B)=asin B (I)求角A的大小： ②若b=8,c0sB,求边AC上的高 【例题12】(2025·山东聊城·三模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 asin B+btanBcosA 2bsinC (1)求B; 2)若a=3,且4C边上的高为3 ,求ABC的周长， 1 【变式8】(2025·云南昆明·模拟预测)己知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 √3 asinC-c=ccosA. (1)求A: (2)若b=2,c=3,求BC边上的高AD. 9/19 题型七：四心问题 【例题13】(2025·辽宁沈阳·模拟预测)已知ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点G是 ABC的重心，且AG.BG=0. C G 0若∠G1B=于，求an∠GAC的值， (2)求cos∠ACB的取值范围. 【例题14】(2025·浙江·三模)已知在ABC中，角A,B,C所对的边记为a,b,c,设其外心为 0若0 a+b+c cos A cos A+cos B+cos C (1)求角A的大小： (2)若a=2,求△0BC的面积 【变式9】(2025·辽宁·模拟预测)四面体PABC满足PA、PB、PC两两垂直 (I)点P在面ABC内的正投影Q是ABC的什么心？请给出证明 (2)设点O为ABC的外心，R为ABC的外接圆半径，设PA=a,PB=b,PC=c ①请写出R与a,b,c的关系（用a、bc表示R). ②求证：a++c+10P为定值. R2 10/19培优点2解三角形中的几何计算问题 目 01重点解读. 02思维升华. 03 03典型例题444 题型一：利用两次正弦定理消元法…4 题型二：利用两次余弦定理建立等量关系， 09 题型三：等面积法， 题型四：角平分线问题 vareseresecescsescscasrcssccacscscscaarescrescrscccccesscaacsaee 题型五：中线问题。 题型六：高问题… 22 题型七：四心问题 …24 04课时精练30 1/58 01 重点解读 解三角形图形计算常以三角形、四边形（可拆为三角形）为背景，结合高、中线、角平分线等元素。 核心用正余弦定理求边长、角度，结合面积公式计算。 2/58 02 思维升华 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题， 相似是三角形中的常用思路： 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路： 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选 择： 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可 以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更 加直观化. 3/58 03 典型例题 题型一：利用两次正弦定理消元法 【例题1】如图，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,P是△ABC内的一点，且满足 ∠PAB=∠PBC=∠PCA=a (I)若∠BAC=80°，求∠APC的大小： (2)若∠BAC=120°，AB=AC=4,求a的正切值： 1 1 1 (3若a&=30,求an2BAC+an2ABC+an∠ACB的值. 【解析】(1)因为∠BAC=80°，可得∠PAC=80°-u, 在△APC中，可得∠APC=180°-∠PAC-∠ACP=100° (2)由题意，可得∠ABC=∠ACB=30°，则∠APC=60°，∠BPC=∠APB=150°， 在△APC中，由正弦定理 AC s、AP ，可得4P=4sina=&V3sina sin∠PC sina sin60° 3 AB AP ,中，由正弦定理sin∠APB sin(30°-ad)' △APB 4sin30°-a 可得AP= -8sin(30°-a, sin150° 所y8W3sina=8sin30°-a,整理得5sina=V3cosa'所以ana-迟3 3 (3)在△ABC内，由余弦定理及三角形面积公式，可得： 1 cos ZBAC b2+c2-a2 b2+c2-a2 tan∠BAC sin ZBAC2 bcsin∠BAC4SABc Cos LABC a2+c2-b2 a2+c2-b2 tan∠4BC sin∠ABC2 acsin∠BAC 4S△ABC 4/58 1 cos LACB a2+b2-c2 a2+b2-c2 tan∠4CB sin∠ACB2 absin∠ACB4Sc 三式相加可得： 1 1 1 a2+b2+c2 tan∠BAC'tan∠ABC'tan∠ACB 4S。ABC ①， 在△PAB内，由余弦定理以及三角形的面积公式，可得： 1 cosa Ap2+c2-BP2 AP2+c2-BP2 tand sina 2AP.csina ASAPAB 1 BP2+a2-CP2 1 CP2+b2-AP2 PBc和 在 aPAc中，同理可得：ana 4SAPBC 4S△PCA 1 所以and AP-BPi BPa-Cpi CPibAP AS PAB ASPBC AS.PCA 因为SABc=SPAB+SPac+SPC4, 可得L=aP+c2-BP+BP2+a2-Cp+Cp+-AP） a2+b2+c AS ABC ②， tan 4S+4S.P8c+4S.PCA 1 1 111 由O②得tan∠BAC+tanZABC+tanZACB tand5 =V5 【例题2】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=10,BC=5,P为△ABC内一点，且∠BPC=90°. B (①)若PB=3,求PA的长： (2)若∠APB=150°，求tan∠PBA」 【解析】(1)在RtaPBC中，PB=3,BC=5, 则cos∠PBC=-3, 5,s口∠PB=5 所以cos∠ABP=cos(90°-∠PBC=sin∠PBC=, 在△PAB中，由余弦定理得 PA=PB2+AB2-2PB.AB cos∠ABP=9+100-2×3x10×4=61, 4 所以PA=√61： (2)设∠PBA=0,则∠PAB=30°-0，∠PBC=90°-0， AB PB 在APAB中，因为in乙APBsin∠PAB' 5/58 所以PB= ABsin∠PAB=20sin(30°-0)， sin∠APB 在RtAPBC中，PB-BCcos.∠PBC=5sinO, 所以20sin(30°-0)=5sin0,即2cos0-2V3sin0=sin0, 225-1 22w3-1 所以tan0= 2 2√5+1 11 即tan∠PBA= 11 【变式1】(2025·全国·模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 b.(sinA+sinB)=c.sin(A-B). (1)证明：a=2b; ②诺6=1CD平分∠4CB”点D在线段B上，且CD 4求AB的长. 【解析】(1)由正弦定理得(sinA+sinB)sinB=sinC,sin(A-B), sinC =sin(A+B),(sinA+sinB)sinB=sin(4+B)sin(A-B), sinAsinB+sin2B=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A41-sin2B)-cos2Asin2B sin2A4-sin2Asin2B-cos2Asin2B=sin24-sin2B(sin24+cos2A)=sin24-sin2B, 所以sinAsinB+2sin2B-sin2A=0,即sin2A-sinAsinB-2sin2B=0, (sin4+sinB)(sinA-2sinB)=0 又A,B∈(0，π)，故sinA+sinB>0,所以sin4=2sinB,由正弦定理可得a=2b. (2)因为b=1,由(1)得a=2.由CD平分∠ACB,得∠ACD=∠BCD, AD AC 在。4CD中，由正弦定理得 sin∠4CD sin∠ADC BD BC 在△BCD中，由正弦定理得 sin∠BCD sin∠BDC ∠ADC+∠BDC=元，故sin∠ADC=sin∠BDC, AD AC 1 两式相除得BDBC2 设AD=x,BD=2x,由余弦定理， 在△BCD中BC2=CD2+BD2-2BD.CD.cos∠BDC, 所以2-ar( -22x.5cos∠BDC0. 在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2AD.CD.cos∠ADC, 所以1P=x2+ 5 4 -2x4 cos∠ADC②. 6/58 又 ADC+∠BDC=x'②2 ①得6=6x2+3× 5)2 2+ 4 则x=4 所以AB= 3W14 P 【变式2】(2025高三·浙江·开学考试)在△ABC中，a,b,c分别是角4，B,C所对的边，且满足 2sin C-sin B a sin2B b (I)求∠BAC的大小： 2)点D是边BC上一点，且满足AD2=bc,∠ADC= b 4,求。的值， 【解析】(1)因为 2sinC-sin B a sin2B ，由正弦定理可得： 2sin C-sin B sin A 2 sin BcosBsinB所以 2sin C-sin B=2sin Acos B, 由于在△ABC中，sinC=sinA+B), 所以2sin(A+B)-sinB=2 sin AcosB,化简得：2 cos Asin B=sinB, 由于B∈(0，，则sinB不为0，则osA=2 由于4e0小所以4=骨 (2)由于∠ADC= 4则∠ADB=3π 4 AD b 在 中，由正弦定理可得：sinC △ADC 4 AD 在 中，由正弦定理可得：sin B sin3 3π ADB 4 AD2 bc bc 所以sinCsin B sin-sin- ,3π1，由于满足 4 42 AD2=bc 1 所以sin Bsin C= 由于在△ABC中，sinC=sin(A+B), 所以sin Bsin 3 7/58 所以sn2B+-eas281,所以sm2B-君 所以则2B-刀=” 5π ◆=二或解得B二6或B、 21 当8=君时，C=5,所以 c sinC 2' 当8=时，26=元不满足 2sinC-sin B_a sin2B b b 1 综上， 2 【变式3】在△ABC中，已知∠BAC的平分线AD与边BC相交于点D BD AB ()求证：DCAC (2)若BD=2DC,∠BAC=60°，AD=2,求BC. 【解析】(I)在△ABD和△ADC中，如图所示： D 由正弦定理得： BD AB DC AC sin∠BAD sin∠BDA'sin∠DAC sin∠ADC' 因为∠BDA+∠ADC=180°，所以∠ADC=180°-∠ADB, DC AC AC AC 所以sin∠DAC sin∠4DC sin180°-∠BDA sin∠BDA, DC AC 即 sin∠DAC sin∠BDA' 又因为AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠DAC, BD AB DC AC BD AB 所以 `sin∠BAD sin∠BDA'sin∠D4C sin∠BDA' 两式相除得DC=AC BD AB 所以DcAC得证. 2)解法=：BD=20C,所以D-写B:子C, 3 3 8/58 平方得D-写石+号C+号5C,由)可得： 91 9 AB=2AC’∠BAC=60' 解得AC=V3,AB=23, 则BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos60°=9，BC=3, 所以BC=3」 解法二： 由BD=2DC,由(1)得AB=2AC,所以SABC=S。ABD+SADC, 因为AD为∠BAC的角平分线，∠BAC=60°，所以∠BAD=∠DAC=30°， x ACxsin60x ABx Dxsin30+x ADx ACxsin 30 解得AC=V3,AB=2√5， 则BC2=AB2+AC2-2AB·ACc0s60°=9，BC=3, 所以BC=3 题型二：利用两次余弦定理建立等量关系 1 【例题3】△4BC的内角A.B,C的对边分别为ab,c,已知bcosC+ccos B= ac (I)求c: (2)若D为AB中点，CD=√2，∠ACB=60°，求△ABC的周长 【解析】(1)方法一：因为bcosC+ccos B= 2ac,可得2 bcosC+2 ccos B=ac' 由正弦定理，可得2 sin BcosC+2 cos Bsin C=csinA, 因为A+B+C=元，可得sin BcosC+cos BsinC=sinA, 所以2sinA=csin A, 又因为A∈(0，)，可得sinA>0,所以c=2. 方法三：因为hcosC+cco9B=ac,可得2 bC=ac-2cosB 由余弦定理，可得2b.0+B-c 2ab =ac-2c.a2+c2-b2 2ac 整理得a2+b2-c2=a2c-a2-c2+b2,可得2a2=a2c, 因为a>0,所以c=2. (2)方法一：由(1)知：c=2且∠ACB=60°， 因为bcosC+ccos B= 2ac，可得b=2a-4c0sB' 9/58 A8CD中，利用会弦定理得b=2a=4coB=2a-4,22-,所以bb 又由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcos.∠4CB,所以4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 可得a+b=V10,所以△ABC的周长为V10+2. 方法二：因为∠ADC+∠BDC=兀，所以cos∠ADC+coSs∠BDC=0, 企张定理，可得+2+中。2=0，所双，6 2√22W2 又由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcos.∠ACB,所以4=a2+b2-ab,所以ab=2, 又因为4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-6,所以a+b=0, 所以△ABC的周长为V10+2. 方法三：在A1BC和ABCD中，由余孩定理可得csB-4+2-公-P+-2 2a- 所以a2+b2=6, 又由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcos∠ACB,所以4=a2+b2-ab,所以ab=2, 又因为4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-6,所以a+b=√0， 所以△ABC的周长为V10+2. 【例题打在国边形ABCD中·BC=LMAC=C0AC平分∠aCn4B+4C-8C-24C-5BC. AC B (I)求∠ACB: BD 2)当AB取最大值时，求AC: 【解析】(1)解法一：因为 AB+AC-BC2=2AC-3BC. AC 10/58