重难点06 函数值域（最值）及求参 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数值域（最值）及求参 一．函数值域知识梳理 1. 函数值域的定义：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 2. 基本初等函数的值域——定义域+图象性质 （1）一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. （2）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. (3)的定义域是{x|x≠0}，值域是. 3. 求函数的值域的常用方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． 如一些特殊的函数值域： 可在此基础上进行变化 （2）图象法（数形结合）：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域 常用初等函数的图象：一次、二次、反比例 【注】二次函数也可应用“配方法”进行求解 （3）单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． ①若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． ②若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． ③若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． （4）换元法：将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． 【注意】在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． 常见类型： ①根式型：形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． ②分式型：当分母比较复杂时，可令分母整体为t，再进行变换，转化为熟悉的反比例函数或双勾函数进行求解 （5）分离常数法：主要用于含有一次的分式函数， 形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法 以为例，解题步骤如下： ①用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式， ②求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。 （6）判别式法：二次分式型（形如）的函数，当定义域为R，且分母为二次时，可转化为二次方程在实数范围内有解，进而通过根的判别式△求解范围 解题步骤：将函数式化成关于x的方程，因为方程再R上有解，所以可以用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。 【考点一 求函数值域】典例剖析 【题型一 求值域（初等函数）】——观察法、图象法、配方法（二次函数） 1．（多选）下列函数中，在上的值域是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分别判断各选项中的函数在上的值域是否为即可. 【详解】函数在上单调递增，所以，值域为，选项A正确； 函数，当时，，所以选项B错误； 函数在上单调递增，所以，值域为，选项C正确； 函数当时，，所以选项D错误. 故选：AC. 【练习】已知集合，集合，那么 ． 【答案】 【分析】求二次函数值域得集合A，解一元二次不等式得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为， 又或， 所以. 故答案为： 【题型二 求值域（复合函数）】——换元法、图象法（3步）、判别式法 2．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【详解】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 3．求下列函数的值域： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分离常数法可得解； （2）换元，令，，，再由二次函数的性质即可得解； （3）根据分式函数的特点，因定义域为R，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】（1）， 显然，所以， 故函数的值域为：. （2）设，则，且， 所以，， 结合函数的图象可得原函数的值域为. （3）因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，符合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 【练习】求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用换元法求解； （2）利用配方法结合二次函数性质求解； （3）利用配方法求解； （4）可采用换元法或判别式法求解； （5）采用分离常数的方法，结合基本不等式求解. 【详解】（1）函数定义域为，令，所以， 即，当时，，即函数的值域为. （2）易知的取值需满足，即，即函数定义域为， 因为，由二次函数性质可得当时，， 所以的值域为. （3）由，可得函数的值域为. （4）已知函数，定义域为， 方法一：换元法．设，则， 所以， 因为，所以，所以，故值域为. 方法二：判别式法． ，整理得 当时，方程为，不成立； 当时，，即，所以， 综上，. （5）， 因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故，即函数值域为. 【题型三 求值域（单调性法）】 4．求函数的值域． 【答案】 【分析】利用函数的单调性来求值域即可． 【详解】因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递减， 所以在定义域上单调递增， 又因为函数定义域为， 所以， 即函数的值域为. 【变式】求函数的值域． 【答案】 【分析】由题知函数定义为，令，则，再根据函数单调性得到值域即可. 【详解】根据题意，函数定义域为， 令，则， 又在上单调递增． 所以， 即函数的值域为. 【题型四 求值域（抽象函数）】——整体思想（平移法） 5．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案. 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 【变式】已知函数 的定义域和值域均为 ，则函数 的定义域和值域分别为 . 【答案】， 【分析】根据抽象函数的定义域的求法及函数值域的概念求解即可. 【详解】由函数 的定义域和值域均为 ， 所以要有意义，则需，解得， 所以函数的定义域为， 因为，所以， 所以，即值域为. 故答案为：， 6．已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 【答案】B 【分析】根据题意，由抽象函数单调性的求解，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误； 对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确； 对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误； 对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误. 故选：B 【考点二 根据函数值域求参】 【题型一 根据值域求参数（初等函数）】 （一次） 7．若函数的定义域是，值域是，则 ． 【答案】或 【分析】由题意在定义域上单调，结合一次函数性质列方程求参数，即可得结果. 【详解】由题设，则在定义域上单调， 所以或，可得或， 所以或. 故答案为：或 （二次） 8．（多选）若函数的定义域为，值域为，则a的值可能为（    ）（注：x的取值范围叫做函数的定义域，函数值的取值范围叫做函数的值域） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】BC 【分析】通过解方程，结合二次函数的图象进行求解即可. 【详解】令，或， 令，二次函数的对称轴为， 函数图象如下图所示： 要想函数的定义城为，值域为， 只需，选项BC符合， 故选：BC 【变式】（多选）若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据二次函数的值域性质，结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】当时，，显然此时函数的值域不是，不符合题意； 当时，，对称轴为， 因为二次函数的值域是，且， 所以有，因此选项AB正确， 若且，所以由二次函数的对称性可得， 因此选项C不正确； 由，因为，当且仅当时取等号， 所以选项D正确， 故选：ABD （双勾） 9．已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得的表达式，结合对勾函数的单调性，分类讨论a的取值范围，即分和两种情况，根据的值域列式求解，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，在上单调递减且的值域为， 则，， 解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以为此时的最小值，， 因为的值域为， 所以，即， 解得，所以， 综上，a的取值范围为． 故选：B． 【题型二 根据值域求参数（复合函数）】 类型1：根式型 10．若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【详解】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 【变式】若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 11．已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】转化为方程 有两个解，再利用换元法转化为二次函数与直线交点个数问题. 【详解】函数的定义域为，且单调递增， 函数在区间上的值域为，则且， 即方程有两个实数解，即， 令，则有2个非负实数解， 作出函数的图象与直线， 即与在轴右侧（含轴）有2个交点，则． 故答案为：. 【练习】若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数在定义域上递减，且值域为，可得，根据二次函数的性质可得答案. 【详解】因为函数在定义域上递减，且值域为， 所以 ，即 ，即 ， 所以 ， 所以，设，则， 由可得， 在上递增，所以， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 类型2：分式型 （反比例型复合函数） 12．若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C （双勾型复合函数） 13．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)已知，利用上述性质，求函数的最值； (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值． 【答案】(1)最小值为，最大值为； (2)． 【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干所给函数的性质求解即可； （2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解即可． 【详解】（1）， 设 则． 由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 又当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 即的最小值为，最大值为； （2）因为在上为减函数，故， 由题意，使得成立， 故的值域是的值域的子集， 所以，即， 解得. 【练习】若函数的图象与直线有两个交点，则a的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】令，则，结合对勾函数的性质求区间值域，再由交点情况，即自变量个数确定参数范围，即可得. 【详解】由，令，则， 由在上单调递减且值域为，在上单调递增且值域为， 所以在上值域为，在上的值域为， 则时，有2个不同的对应值，此时有3或4个不同值， 时，有1个对应值，此时有2个不同值， 要使函数的图象与直线有两个交点，则，最小. 故选：B （判别式法） 14．已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ． 【答案】 5 5 【分析】可将整理为,因为,由，则，即，则关于y的一元二次方程的两根为1和9，利用韦达定理求解；同时,时也成立. 【详解】由,得, 由，得若，则, 即, 由知，关于y的一元二次方程的两根为1和9, 故有，解得. 当时,也符合题意, ∴. 故答案为：5；5. 【练习】已知函数的值域是，则 ， ． 【答案】 3 【分析】首先将函数变形为，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求的结果. 【详解】将函数变形为． 当时，这个关于x的方程有解， 则，即． 由题设知，是方程的两个根， 根据韦达定理，得，， 解得，． 当时，，也满足题意． 故答案为：   【题型三 根据值域求参数（分段函数）】 （区间已知） 15．已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C 16．设，若的最小值为，则a的值为（    ） A．0 B．1或4 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式分别求出两段的最小值，再根据为函数最小值，建立方程与不等关系，即可求解. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故时，， 由二次函数性质可知对称轴，且， 解得或（舍去）， 故选：C （区间未知） 17．已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，画出函数的图象，数形结合可得的范围，即可得解. 【详解】当时，， 则在上单调递减，此时， 当时，， 则函数在上单调递增，此时， 在上单调递减，此时， 当时，由，即，得， 当时，由，即，得， 画出函数的图象，如图， 若在区间上既有最大值，又有最小值， 得，因此， 则的最大值为3. 故答案为：3. 18．若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先求得函数和交点坐标，然后分别画出两个函数图像，结合图像，即可得到结果. 【详解】 据题意，函数， 令，整理得，解得或， 即函数和交点的横坐标为和0， 在同一坐标系内做出函数和的图像，如图所示， 要使函数的值域为R，则， 所以实数m的取值范围为． 故选：C． 【变式】已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $函数值域（最值）及求参 知识梳理 一. 函数值域 1.函数值域的定义：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)川x∈A叫做函数的值 域(range). 2.基本初等函数的值域一一定义域+图象性质 (I)一次函数fx)=ax+b(a0)的定义域为R,值域是R (2)二次函数x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R, 当a>0时，值域为f(4ac-b24a),+o), 当a<0时，值域为avs4 alcol(-oo,f(4ac-b24a) (③y=(k≠0)的定义域是Xx03,值域是W≠0；. 3.求函数的值域的常用方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到 如一些特殊的函数值域：x∈Rx2≥01x20√x≥0，可在此基础上进行变化 (2)图像法（数形结合）：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域 常用初等函数的图象：一次、二次、反比例 【注】二次函数也可应用“配方法”进行求解 (3)单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值（值域）， ①若函数y=fx)在区间[a,b]上单调递增，则ymx=b),yin=f(a) ②若函数y=fw)在区间[a,b]上单调递减，则ymx=术a),ymin=b), ③若函数y=x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大 (小)值.函数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值， (4)换元法：将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为 熟悉的函数，进而解出最值（值域）， 【注意】在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围 常见类型： ①根式型：形如y=ax+b+Vcx+d(a≠0)的函数常用换元法求值域，即先令t=√cx+d,求出x, 并注明t的取值范围，再代入上式将y表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域， ②分式型：当分母比较复杂时，可令分母整体为t,再进行变换，转化为熟悉的反比例函数或双勾 函数进行求解 (⑤)分离常数法：主要用于含有一次的分式函数， 第1页 形如y=ar+b cx+d y=r+br+e(a,c至少有一个不为零)的函数，求其值域河用此法 cx+d 以y=ax+b 为例，解题步骤如下： cx+d ①用分子配凑出分母的形式，将函数变形成y=“+。,的形式， c cx+d ②求出函数y=。在定义域范围内的值域，进而求出y=r+b: 的值域。 cx+d cx+d (O判试法：二次分式型形如y=r+br+C)的函数，当定义域为R,且分母为二次时，可 dx2+ex+f 转化为二次方程在实数范围内有解，进而通过根的判别式求解范围 解题步骤：将函数式化成关于x的方程，因为方程再R上有解，所以可以用根的判别式求出参数 y的取值范围，即得函数的值域。 典例剖析 【考点一求函数值域】 【题型一求值域（初等函数）】一一观察法、图象法、配方法（二次函数） 1.(多选)下列函数中，在(0，+o)上的值域是(0，+∞)的是() A.y=x B.y=x2-4x+4 C.y=x3 D.y=x-1 【练习】已知集合A={y川y=x2+2x,集合B={x|x2-4x+3≥0}，那么A∩B= 【题型二求值域（复合函数)】一一换元法、图象法(3步)、判别式法 第2页 2.下列函数中，值域是(0，+0)的是(). Ay-F-21B0)C(eN)D.司 3.求下列函数的值域： (0y=2x+1 x-39 (2)y=2x-Vx-1 (3)y=2r2-x+2 x2+x+1 【练习】求下列函数的值域. (1)y=x-V1-2x; (2)y=2-V-x2+4x; (3)y=x+2Vx+3; ④x 62》 第3页 【题型三求值域（单调性法）】 4,求函数y=√2+x-2V-x的值域 第4页 【变式】求函数y=Vx2+1-V9-x2+4的值域. 【题型四求值域（抽象函数）】一一整体思想（平移法） 5.己知函数y=∫(x)的定义域和值域分别为-1，刂和5,9，则函数y=f(x+)的定义域和值域分别 为() A.[0,2]和6,10]B.[-2,0和6,10 C.[0,2]和[5,9] D.[-2,0和[5,9] 【变式】已知函数f(x)的定义域和值域均为-3,3，则函数gx=2∫(2x+1)的定义域和值域 分别为」 6.已知函数f(x)的定义域为(2，+o),值域为R,则() A.函数fx2+2)的定义域为R B.函数fx2+2)-2的值域为R C.函数fx2+2x+3)的定义域和值域都是RD.函数f(f(x)的定义域和值域都是R 第5页 【考点二根据函数值域求参】 【题型一根据值域求参数（初等函数）】 (一次) 7.若函数fx=ax+ba,b∈R的定义域是[1,2，值域是[2,3]，则ab= （二次) 8.（多选)若函数y=x2-4x-3的定义域为0，a,值域为-7，-3，则a的值可能为()（注：x的 取值范围叫做函数的定义域，函数值的取值范围叫做函数的值域) A.1 B.2 C.4 D.5 【变式】（多选）若x∈R,函数fx)=ax2-2x+。的值域是0，+o),且m≠n,则下列结论中正确的 是() A.a>0 B.ab=4 C.若f(m)=f(n),则m+n=1 D.i 第6页 (双勾) 9.已知函数f=16,记函数g=f)+x+1,(2≤x≤)，其中实数a>2,若gx)的值域为[9,1山) ，则a的取值范围是() A.[2,6] B.[4,8] C.[6,10] D.[8,12] 【题型二根据值域求参数（复合函数)】 类型1：根式型 10.若函数f(x)=√2x2-mx+3的值域为[0，+o),则实数m的取值范围是(). A.（-0,-26]B.(-,-2w6]U[26,+∞C.[-2v6,26]D.[26,+∞） 第7页 【变式】若函数f(x)=√ar2+x+1的值域为[0，+0)，则实数a的取值范围为() a(蚓 B.oU c 11.已知函数f(x)=Vx+1+k,若存在区间[a,b],使得函数y=f(x)在区间[a,b]上的值域为 [a+l,b+刂，则实数k的取值范围是一 第8页 【练习】若数f=m+x+4的定义域a<,值城为引， 则实数m的取值范围 是一 类型2：分式型 （反比例型复合函数) 12.若函数f)=2+心在区间10，川上的最大值为3，则实数=（) x+1 A.-1 B.1 C.3 D.-3 第9页 (双勾型复合函数) 13.已知函数y=x+1有如下性质：如果常数1>0，那么该函数在(0，厅上是减函数，在[，+0)上 是增函数、 )已知fx4x。12x-3xO,,利用上述性质，求函数fx的最值： (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=-x-2a,若x∈[0,1,3x,e0,1,使得g(x2=f(x)成立， 求实数a的值. 【练习】若函数f=x+4的图象与直线y=a有两个交点，则a的最小值为（) x2+1 A.2 B.3 C.4 D.5 第10页