专题05 函数的概念及其表示（含函数定义域与值域以及解析式的求法、抽象函数）（期末复习讲义，7大重难题型+3阶分层过关）高一数学上学期（期末专项训练）高一数学上学期人教A版

该高中数学期末复习讲义通过表格系统梳理函数概念及表示的核心考点，涵盖定义域、值域、解析式等七大模块，明确复习目标与考情规律，以“定义-性质-应用”递进脉络呈现知识点，突出抽象函数定义域、值域求法等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习与方法指导，如求函数值题型采用“直接代入法”“反复代入法”技巧，结合典例与变式培养数学思维，值域问题强调定义域限制提升数学眼光。基础通关练、重难突破练适配不同学生，高考真题融入助力综合拓展，教师可实施精准教学，学生能自主掌握函数核心素养。

专题05 函数的概念及其表示 （含函数定义域与值域以及解析式的求法、抽象函数） （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 4.1 函数定义（对应关系f）的理解 能判断给定对应关系是否为函数，理解f(x)的含义。 概念题，是理解整个函数章节的基础。 4.2 求具体函数的定义域 能根据解析式中分式、偶次根式、对数式等要求，列出不等式组求定义域。 高频基础题，必须掌握。 4.3 求抽象函数的定义域 能理解定义域始终是自变量x的范围，并能据此求解复合函数的定义域。 高频易错点，对概念理解要求深。 4.4 函数的解析式求法（待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法） 能根据已知条件，选择适当方法求出函数解析式。 中档题，换元法和配凑法是难点。 4.5 值域 直接观察/图象法、配方法、换元法基本不等式法。 能掌握求简单函数值域的基本方法，理解值域是由定义域和对应关系共同决定的。 承上启下的重要考点。易错点是求值域时忽略函数的定义域限制。此为后续专题（如指数/对数函数、复合函数值域）打下基础 4.6 分段函数的求值与求参 能根据自变量的值选择正确的解析式进行求值，或根据函数值反求参数。 必考点，易错在代入错误的段。 4.7 分段函数图象的识别与绘制 能识别简单分段函数的图象，并能绘制含两段的分段函数图象。 数形结合思想的直接体现 知识点01 函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的，在集合中都有和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作． 知识点02 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指：，，. （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点03 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数相同，也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 知识点04 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型：（跨章节） ④：对数函数（跨章节）：真数大于0 知识点05 函数的表示方法 知识点06 3种函数的表示方法 列表法、解析法、图象法是表示函数的3种常用方法. 用列表法表示函数关系,不必通过计算就可以知道自变量取某个值时,相应的函数值是多少; 用解析法表示函数关系,便于用解析式研究函数的性质; 而用图象法表示函数关系,可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况. 知识点07 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同，有不同的，则称其为分段函数. 题型一 求函数值及己知函数值求参数 解｜题｜技｜巧 1. 直接代入法：若函数解析式明确，已知自变量具体值（或可通过条件求出），直接将自变量值代入解析式计算 。 2. 反复代入法和等价替换法 【典例1】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则 ． 【典例2】（25-26高一上·江苏苏州·月考），且，则实数的值为 ． 【典例3】（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数，且，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24高一上·江西九江·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．1 B．11 C．12 D．1024 题型二 函数定义域 【典例1】（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）函数的定义域为（   ） A．或 B． C． D．且 【典例3】（25-26高一上·陕西渭南·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·河南·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 值域问题 【典例1】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·辽宁朝阳·月考）若函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数的值域为 ． 【变式3】（23-24高一上·山西太原·月考）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·浙江杭州·期末）若函数的定义域为，值域为，则等于（    ） A． B． C．5 D．6 【变式5】（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数，则函数的值域为 题型四 判断函数相等 【典例1】（24-25高一上·上海长宁·期末）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·广东深圳·期末）下列两个函数为同一函数的为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·安徽亳州·期末）下列四组函数，表示同一个函数的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】（23-24高一上·北京东城·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3】（24-25高一上·山东·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4】（23-24高一上·北京·期末）在下列各组中，与表示同一函数的是（     ） A． B． C． D． 题型五 函数的图象及其应用 【典例1】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）以下是函数的大致图像的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·广东·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·山西·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3】（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知图 对应的函数为 ，则图 对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 题型六 求函数解析式 【典例1】（25-26高一上·全国·期中）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26高一上·河南安阳·期中）函数 【典例4】（24-25高一上·四川·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·贵州安顺·期末）若，则 . 【变式2】（25-26高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，且对定义域内任意的满足，则 . 【变式3】（24-25高一上·北京·期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数 . ①，，； ②，且，. 【变式4】（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数，且，，，，，，则函数的解析式为 . 题型七 分段函数 【典例1】（24-25高一上·山东临沂·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．9 D．27 【典例2】（24-25高一上·山西·期末）已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·福建厦门·期末）设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数则（    ） A． B．4 C． D．e 【变式2】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是 ． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津武清·期末）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南湘西·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东菏泽·期末）已知幂函数过点， 则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）函数的图象大致形状是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·北京大兴·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 8．（24-25高一上·广东汕尾·期末）下列函数中，其函数的定义域为的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·广东汕头·期末）设，若，则（   ） A． B． C．1 D． 10．（25-26高一上·广东·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·广西玉林·期中）若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 期末重难突破练（测试时间：35分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知关于的不等式的解集为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A．9 B．25 C．15 D．24 5．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）函数在上的最小值为－4，最大值是5，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．7 6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广西玉林·期中）函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东·期中）已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河南·期末）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 7．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 8．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的概念及其表示 （含函数定义域与值域以及解析式的求法、抽象函数） （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 4.1 函数定义（对应关系f）的理解 能判断给定对应关系是否为函数，理解f(x)的含义。 概念题，是理解整个函数章节的基础。 4.2 求具体函数的定义域 能根据解析式中分式、偶次根式、对数式等要求，列出不等式组求定义域。 高频基础题，必须掌握。 4.3 求抽象函数的定义域 能理解定义域始终是自变量x的范围，并能据此求解复合函数的定义域。 高频易错点，对概念理解要求深。 4.4 函数的解析式求法（待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法） 能根据已知条件，选择适当方法求出函数解析式。 中档题，换元法和配凑法是难点。 4.5 值域 直接观察/图象法、配方法、换元法基本不等式法。 能掌握求简单函数值域的基本方法，理解值域是由定义域和对应关系共同决定的。 承上启下的重要考点。易错点是求值域时忽略函数的定义域限制。此为后续专题（如指数/对数函数、复合函数值域）打下基础 4.6 分段函数的求值与求参 能根据自变量的值选择正确的解析式进行求值，或根据函数值反求参数。 必考点，易错在代入错误的段。 4.7 分段函数图象的识别与绘制 能识别简单分段函数的图象，并能绘制含两段的分段函数图象。 数形结合思想的直接体现 知识点01 函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 任意一个数 ，在集合中都有 唯一确定的数 和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ． 知识点02 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的 定义域 ，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指： 定义域 ， 对应法则 ， 值域 . （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点03 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 定义域 相同， 对应关系 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 知识点04 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型：（跨章节） ④：对数函数（跨章节）：真数大于0 知识点05 函数的表示方法 解析式；列出表格 知识点06 3种函数的表示方法 列表法、解析法、图象法是表示函数的3种常用方法. 用列表法表示函数关系,不必通过计算就可以知道自变量取某个值时,相应的函数值是多少; 用解析法表示函数关系,便于用解析式研究函数的性质; 而用图象法表示函数关系,可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况. 知识点07 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 取值区间 ，有不同的 对应方式 ，则称其为分段函数. 题型一 求函数值及己知函数值求参数 解｜题｜技｜巧 1. 直接代入法：若函数解析式明确，已知自变量具体值（或可通过条件求出），直接将自变量值代入解析式计算 。 2. 反复代入法和等价替换法 【典例1】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则 ． 【答案】3 【分折】利用换元法，结合题目的等量关系，求出解析式，即可求解． 【详解】令， ， ， ， ． 故答案为：3． 【典例2】（25-26高一上·江苏苏州·月考），且，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据条件，利用配凑法求出的解析式，再代入，即可求解. 【详解】因为， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 当时，，当且仅当，即时取等号， 综上，或，又，所以，解得或， 故答案为：或. 【典例3】（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，分析出函数是柯西函数方程，所以，代入求出，根据代入计算即可. 【详解】令，可得，可得， 令，则，对任意的、， 总有，则，这是柯西函数方程. 由于当时，，可得对于时，，表明是一个线性函数， 形式为，，因此. 因为，所以将代入，得到，即， 因此函数，又因为， 所以，即， 因此，不等式的解集为. 故选：D. 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数，且，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】令，利用换元法求出的解析式，再计算即可得解. 【详解】令，则， 因为，所以， 又，即，解得， 所以的值为2. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·江西九江·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．1 B．11 C．12 D．1024 【答案】C 【分析】令，求得，令，求得，进而计算即可. 【详解】根据题中的条件，令，则，所以， 令，则，又，所以， 则. 故选：C. 题型二 函数定义域 【典例1】（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据这两个部分对的限制条件列出不等式组，求解不等式组即可得到函数的定义域. 【详解】函数，定义域满足不等式组. 解不等式，可得. 解不等式，可得. 所以不等式组的解为且. 用区间表示函数的定义域为. 函数的定义域是. 故选：D 【典例2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）函数的定义域为（   ） A．或 B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据对数型函数特点得到不等式组，解出即可. 【详解】由题知解得或，即函数的定义域为或， 故选：A． 【典例3】（25-26高一上·陕西渭南·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域的定义，即可由不等式求解. 【详解】由于的定义域为，故，则， 因此，解得， 所以的定义域为 故选：A 【变式1】（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域. 【详解】由题可知且，所以函数的定义域为． 故选：D． 【变式2】（24-25高一上·河南·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的真数大于零和分式函数的分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】由题意知解得且， 所以函数的定义域为． 故选：D 【变式3】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，，则， 所以，函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. 【变式4】（24-25高一上·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别考虑和对取值的要求，取它们的交集得到函数的定义域. 【详解】已知函数的定义域为，对于，则有. 解得. 因为函数的定义域为，所以对于，有. 正切函数的周期是，在上单调递增，且，. 所以，. 解不等式，可得，即。； 解不等式，可得. 当时，；当时，. 综合前面两步，取与和的公共部分. 与的公共部分为；与的公共部分为. 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式5】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 题型三 值域问题 【典例1】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则，可得，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 【典例2】（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 【典例3】（24-25高一上·辽宁朝阳·月考）若函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，通过换元法将表示为，然后根据二次函数的性质求解出的值域. 【详解】令，得，，则， 所以，对称轴，开口向上且，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由及对数函数的性质，可得到的取值范围，进而得到的取值范围，从而得到的取值范围，即可求得函数的值域. 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·山西太原·月考）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】令． 又因为，所以， 即函数的值域是． 故选：A． 【变式4】（24-25高一上·浙江杭州·期末）若函数的定义域为，值域为，则等于（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】由题意知，确定函数在上的单调性和值域，列式求解即可得的值. 【详解】，， ∴则函数为常数，且在单调递增， 又∵函数的定义域为， 函数的值域为， ， . 故选：A. 【变式5】（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数，则函数的值域为 【答案】 【分析】根据对数函数单调性可得函数的值域，利用换元法整理函数，根据新函数的单调性可得答案. 【详解】易得是减函数，所以． 令，则，因为函数在上单调递增， 所以，即的值域为． 故答案为：. 题型四 判断函数相等 【典例1】（24-25高一上·上海长宁·期末）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过函数定义域及解析式逐个判断即可； 【详解】的定义域为， 对于A：易知，定义域为，错； 对于B: ，定义域为，对； 对于C：，定义域为，错； 对于D：，错； 故选：B 【典例2】（23-24高一上·广东深圳·期末）下列两个函数为同一函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同一函数要满足中两个条件：第一：定义域相同，第二：对应关系完全一致，根据两个条件即可判断. 【详解】对于选项A，定义域为，定义域为，函数定义域不相同，不是同一函数，故A不符合题意； 对于B，定义域为，定义域为，函数定义域不相同，不是同一函数，故B不符合题意； 对于C，定义域为，函数定义域为，函数定义域不相同，不是同一函数，故C不符合题意； 对于D，定义域为，定义域为，且，函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故D符合题意. 故选：D. 【典例3】（24-25高一上·安徽亳州·期末）下列四组函数，表示同一个函数的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据相等函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为， 所以两函数不是同一函数，故A选项不符题意； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以两函数不是同一函数，故B选项不符题意； 对于C，由，得，解得或， 所以函数的定义域为或， 由，得，解得， 所以函数的定义域为， 所以两函数不是同一函数，故C选项不符题意； 对于D，由，得，解得， 所以函数的定义域为， 由，得，解得， 所以函数的定义域为， 所以与是同一函数，故D选项符合题意. 故选：D． 【变式1】（23-24高一上·北京东城·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案. 【详解】函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故A正确； 对于B，函数的定义域为，但是，对应关系与函数不相同，故B错误； 对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】定义域一样和表达式一样的是相同的函数． 【详解】A.的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； B. 的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，故B错误； C. 的定义域为，的定义域为，故C错误； D.两个函数的定义域都是，，函数的解析式也相同，所以是同一函数，故D正确. 故选：D 【变式3】（24-25高一上·山东·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】对选项逐一分析函数的定义域、对应关系等，由此确定正确选项. 【详解】A 选项：当 时，，，所以这两个函数的对应法则不同，不是相同函数； B 选项：，其定义域为，，其定义域为. 两个函数的定义域不同，不是相同函数； C 选项：，其定义域为，，其定义域也为. 两个函数的对应法则相同，定义域也相同，是相同函数. D 选项：，其定义域为，，其定义域为. 两个函数的定义域不同，不是相同函数. 综上所述，表示相同函数的一组是 C 选项. 故选：C. 【变式4】（23-24高一上·北京·期末）在下列各组中，与表示同一函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为R，定义域为，C不是； 对于D，函数与的定义域都为R，且，即对应法则也相同，D是. 故选：D 题型五 函数的图象及其应用 【典例1】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）以下是函数的大致图像的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可排除D，根据函数值的符号可排除B，根据趋势可排除C. 【详解】的定义域为，且， 故为奇函数，故排除D； 当时，，故排除B； 当时，，故排除C； 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案. 【详解】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C 【典例3】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义域排除C；利用时的函数值符号排除B；利用时的函数值趋势排除A. 【详解】因为的定义域是函数与定义域的交集，故排除C； 由图可知函数与轴有两个交点，设右侧交点为，函数图象与轴交点为， 则时，且，所以，排除B； 时，且，所以，排除A， 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·广东·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性结合特殊的函数值可判断得解. 【详解】易知是偶函数，排除， 又且，排除C. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·山西·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用函数奇偶性、函数值的正负，并结合排除法即可. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除BD. 又当时，，故排除A. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果. 【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示： 再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象， 故图②所示图象对应的函数为. 故选：D. 【变式4】已知图 对应的函数为 ，则图 对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数与图象关于轴对称判断B，判断函数，的奇偶性，再结合其与函数的图象关系，判断AC，再根据函数关于原点对称判断D， 【详解】函数的图象与函数的图象关于轴对称，不满足要求，B错误； 设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 当时，函数的图象与函数的图象相同，且图象关于轴对称，A正确； 设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 当时，函数的图象与函数的图象相同，且图象关于轴对称，C错误； 函数的图象与函数的图象关于原点对称，D错误； 故选：A. 题型六 求函数解析式 【典例1】（25-26高一上·全国·期中）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求出解析式，根据自变量范围和单调性，求出的最大值. 【详解】设，则； 则， 因此， 所以函数在上单调递减，最大值为． 故选：C 【典例2】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【典例3】（25-26高一上·河南安阳·期中）函数 【答案】 【分析】赋值解方程组即可求，令每个式子有意义则可求定义域. 【详解】由于①， 则，整理得②， 则，整理得③， 得， 设，则，则④， 则，即⑤， 得，则，即. ，，有意义可得， 则定义域为. 故答案为：；. 【典例4】（24-25高一上·四川·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 可得， 所以. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·贵州安顺·期末）若，则 . 【答案】 【分析】通过令，得，再结合条件，即可求解. 【详解】令，则，所以， 得到， 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，且对定义域内任意的满足，则 . 【答案】 【分析】用代替构造方程组求解. 【详解】用代替，得， 与联立得，. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·北京·期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数 . ①，，； ②，且，. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据条件可知二次函数可以满足其要求. 【详解】令,则,满足条件①； ，且，,满足条件②； 故答案为：（答案不唯一） 【变式4】（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数，且，，，，，，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据题目累乘可得的表达式，再令可得的解析式. 【详解】将各式累乘可得 又因为，所以，令，则有. 故答案为：. 题型七 分段函数 【典例1】（24-25高一上·山东临沂·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．9 D．27 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式和对数的运算性质即可求解. 【详解】函数， ， 故选：C 【典例2】（24-25高一上·山西·期末）已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和指数函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】因为在上单调递减，所以，解得， 故选：A 【典例3】（24-25高一上·福建厦门·期末）设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，再根据二次函数和指数函数的值域求解即可. 【详解】当时，函数的值域为， 函数的值域为， 所以时，函数的值域为， 又因为函数的值域为R， 所以，解得， 当时，函数的值域为， 函数的值域为， 所以时，函数的值域为，与题意矛盾， 综上所述，a的取值范围是. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数则（    ） A． B．4 C． D．e 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为 所以，所以. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数的单调性列出不等式组，求解即得参数范围. 【详解】由题意，需使①；在上恒成立②；③；④ 同时满足，由②可得；由③ 可得；由④ 可得. 综上可得：实数a的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题有个细节是关键，就是需要考虑第一段函数中真数部分函数在上恒为正数这一条件,而且还要考虑对数型复合函数的单调性. 【变式3】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时探讨函数的最小值，再探讨当时，函数的取值范围，列式求解作答. 【详解】当时，若，即，有， 在上递减，在上递增， 则与是的最小值矛盾， 若，即，有在上递减， 所以，，则， 当时，函数， 当且仅当，即时等号成立， 因是的最小值，则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式以及分式的性质即可求解. 【详解】的定义域满足， 解得且， 故定义域为：， 故选：C 2．（24-25高一上·天津武清·期末）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式和对数函数的定义域要求求解即可. 【详解】要使函数有意义，需要满足，解得且， 所以的定义域为， 故选：D. 3．（24-25高一上·湖南湘西·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数、根式的性质列不等式求定义域. 【详解】由题意得，解得. 故选：C 4．（24-25高一上·山东菏泽·期末）已知幂函数过点， 则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合幂函数定义求，再由函数的解析式求其定义域. 【详解】因为函数为幂函数，故可设， 因为函数的图象过点， 所以，所以， 所以， 由有意义可得， 所以， 所以函数的定义域为. 故选：D. 5．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）函数的图象大致形状是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，判断的奇偶性，利用赋值法，结合选项即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数， 奇函数的图象关于原点对称，故排除AB； 因为，又，故排除C. 故选：D 6．（24-25高一上·北京大兴·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项验证函数的定义域和对应关系是否都相同即可. 【详解】由题意，函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，但，故A错误； 对于B，函数的定义域为，但，故B正确； 对于C，函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，故D错误； 故选：B. 7．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出函数的定义域和对应关系，根据函数的概念判断是否为同一函数. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数与函数的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，与函数定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确． 故选：D. 8．（24-25高一上·广东汕尾·期末）下列函数中，其函数的定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次函数在是时恒大于等于的条件判断即可. 【详解】由恒成立的条件可知，只需满足且即可； 对于A，B选项根号里的二次函数开口向下，不满足题意，故 AB错误； C选项根号里的二次函数，满足题意，故C正确； D选项根号里的二次函数，不满足题意，故D错误. 故选：C 9．（24-25高一上·广东汕头·期末）设，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】画出函数的图象，数形结合可知，当且时，才可能使得，根据分段函数，代数对应的解析式，建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】 画出画出函数的图象，如上图所示，由图象可知， 当且时，才可能使得， 所以解得 故选：B 10．（25-26高一上·广东·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值. 【详解】因为是上的减函数， 所以，解得． 故选：B． 11．（24-25高一上·广西玉林·期中）若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元法求解函数解析式. 【详解】，令，则， 故， 所以. 故选：C. 12．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域. 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数的值域为. 故选：C 二、多选题 13．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别讨论选项中函数的定义域和值域即可． 【详解】A选项，反比例函数的定义域和值域都是，符合题意； B选项，函数定义域为R，值域为，不合题意； C选项，函数，函数图象由反比例函数的图象向右平移2 个单位，再向上平移2个单位， 所以函数的定义域和值域都是，符合题意； D选项，函数，由，得函数定义域为， 由函数和在都单调递增，所以， 得函数值域也为，符合题意. 故选：ACD. 三、填空题 14．（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案. 【详解】由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域为. 故答案为： 期末重难突破练（测试时间：35分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C正确，D错误. 故选：AC 2．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，依次迭代求解，可得各函数值范围. 【详解】当时，所以，，又， 则，，， ，，， ，，故B正确，ACD错误. 故选：B. 3．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知关于的不等式的解集为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得关于的方程的两根为、且，利用韦达定理求出参数的值，再根据偶次方根的被开方数非负及分母不为得到不等式，解得即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为、且， 所以，解得； 故， 令，即，解得， 所以的定义域为. 故选：D. 4．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A．9 B．25 C．15 D．24 【答案】D 【分析】由函数性质通过赋值得到和，即可求解； 【详解】由可得： ， ， ， ， ， 累加可得：， 又， 得：， 相加可得：， 所以， 故选：D 5．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）函数在上的最小值为－4，最大值是5，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】A 【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，分别求出和时自变量的值，结合图象得到的最大值. 【详解】函数的图象如下， 当时，，解得（舍去）， 当时解得（舍去）， 所以的最大值为， 故选：A 6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数为偶函数，排除选项D，再利用排除选项B，再利用，得解. 【详解】由题得函数的定义域为，定义域关于原点对称. 设， 所以， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项D. 又，所以排除选项B. 当时，，所以此时，故A正确，C错误， 故选：A 7．（25-26高一上·广西玉林·期中）函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件得到是增函数，分析出要使函数在上单调递增，须满足，解不等式组即可得解. 【详解】由函数对且，都有， 可知函数在定义域上是增函数. 已知函数的对称轴为， 在上单调递增，且； 要使反比例函数在时单调递增，须满足. 所以，要使函数在上单调递增， 须满足，即， 解得，所以实数的取值范围是． 故选：D 8．（25-26高一上·广东·期中）已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合指数函数和一次函数的性质、最小值定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 所以当时，，即， 显然不存在最小值，不符合题意， 当时，当时，， 当时，函数单调递增，则有， 因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递增，则有， 要想存在最小值，只需，而，所以； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递减，则有， 因此函数存在最小值，最小值为， 综上所述：， 故选：A 9．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分段函数的单调性和二次函数的单调性以及一次函数的单调性判断即可. 【详解】二次函数的对称轴是， 当时，二次函数在为递减函数，此时，一次函数也为递减函数， 即，且处的函数值， 所以， 当时，由二次函数的单调性和题意判断不符合题意， 综上实数的取值范围是. 故选：D. 10．（25-26高一上·河南·期末）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】赋值法得到关于中心对称，在R上单调递增，，从而将不等式转化为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】， 令得，， 由于时，，令得， 故，即， 所以在上单调递增， 在中，令得， 令得， 故的图象关于中心对称，故在上单调递增， 又，且时，所以在R上单调递增， 由题意得， 故， 因为，中， 令得，所以， 由得，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：D. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 3．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 二、填空题 6．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 7．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 8．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 【答案】 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $