精品解析：四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期第二次教学质量检测（9月）数学试题

绵阳南山中学高2023级高三第二次教学质量检测 数学试题 命题人：青树国 审题人：赵立信 本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔填在答题卡的对应位置上； 2．选择题的答案，必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑； 3．请用0.5毫米的黑色墨水签字笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的并集和补集运算即可求解. 【详解】由可得： 又由，可得， 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等性质及命题的充分必要性直接可判断. 【详解】当时，若，则，即“”不是“”充分条件； 当时，，即“”是“”必要条件， 综上所述，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将函数配凑整理为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】， ，， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5. 故选：B. 4. 已知函数，则在处的导数为（ ） A. 2 B. 0 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】两边求导，然后令，即可得到，再代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 令，可得，即， 解得，则， 所以. 故选：C 5. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点．若关于函数在区间上的“中值点”个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用拉格朗日中值定理应用导函数得出方程解的个数即可判断求解． 【详解】设函数在区间上的“中值点”为，由，得， 则由拉格朗日中值定理得，，即， 而，则，即函数在区间上的“中值点”的个数为1，因此， 设函数在区间上的“中值点”为，由，求导得， 由拉格朗日中值定理得，，即， 令函数，，在上单调递增， ，， 则在上有唯一零点，即方程在区间上有1个解， 因此函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，所以． 故选:B． 6. 函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求得参数，即可得的解析式，进而求函数值即可. 【详解】如图，由正切函数的周期性可知，①和②面积相等， 故阴影部分的面积即为矩形的面积，易知， 设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即. 的图象过点，即， 所以，则，所以，解得，则， 所以. 故选：B. 7. 已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】已知函数，数列满足，结合分段函数的性质讨论，若为递增数列，则，与矛盾，不满足充分性；若，满足，可以推出为递增数列，故满足必要性，所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 【详解】已知函数，数列满足. ①充分性： 若为递增数列，则对于所有，满足，即. 当时，成立，即 ：， ：， ：， ：需要满足，即， 当，，要使在时单调递增，则. 综上，若数列递增，则， 所以“数列递增”不能推出“”，不满足充分性. ②必要性： 若，则，由①知当时为递增数列， 所以“”能满足“数列递增”， 即“数列递增”是“”的必要条件. 所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数变形，构造等价函数令，则，求导判断单调性求得仅有两个零点，问题转化为方程和共有4个根，令，利用导数分析单调性和最值求解. 【详解】， 令，则， ，令，得，且， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，所以函数仅有两个零点， 所以恰有4个零点，即方程和共有4个根， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 故和至多各一个根，不合题意； 当时，，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，且时，，时，， 要使方程和共有4个根，则， 即，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分． 9. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，一一列举，分别分析选项即可. 【详解】由可知， 则，可知B、D正确，A、C错误. 故选：BD 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的值域为，则 C. 若的定义域为，则 D. 若在上单调递增，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据函数的定义域为，可得在上恒成立，分情况讨论计算即可；对于B，根据对数型函数的值域为，可得取遍一切正数，数形结合得不等式组，求解即得；对于C，由函数的定义域为，可转化成不等式的解集为，利用三个“二次”的关系计算即得；对于D，根据复合函数的单调性，结合对数函数的定义域，列出不等式组求解即可. 【详解】对于A，的定义域为等价于在恒成立， 当时，不等式为，符合题意；当时，有，解得. 综上即得当的定义域为时，，故A正确； 对于B，由的值域为,可得可以取遍一切正数， 故需使，解得，故B错误； 对于C，的定义域为，即不等式的解集为， 故，且方程的两根为和3，则，解得，故C正确； 对于D，对于函数在上单调递增，显然， 设，因在定义域上为增函数， 故依题意，需满足，解得，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 一个对称中心为 B. 的一个周期为2 C. 的图象关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据函数的对称性定义可判断；对B，由，两边求导可得的图象关于对称，结合条件可得，由周期函数的定义得解；对C，由的图象关于对称，周期为4，可判断；对D，将代入，可得，将代入结合可得，结合函数的周期性运算得解. 【详解】对于A，由满足，则关于中心对称，故A正确； 对于B，由，两边求导可得， 即，所以的图象关于对称， 又等价于， ，所以， ，即的一个周期为4，故B错误； 对于C，因为的图象关于对称，周期为4，所以的图象关于对称，故C正确； 对于D，将代入，可得， 将代入，得，又， 所以，， 所以， 又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卷中的横线上． 12. 已知函数（且）的反函数图像经过点，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】由反函数的定义可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由函数（且）的反函数图像经过点， 可得原函数的图像经过点， 代入可得，且，即， 则. 故答案为： 13. 已知，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】求函数的定义域，判断其奇偶性与单调性，利用性质解不等式. 【详解】由，得， 所以的定义域是. 对于，， 所以是奇函数. 因为在是增函数， 所以在上是增函数. 由可得， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式化简已知等式可得，再利用两角和差的余弦公式结合同角的三角函数关系化简可得，最后利用三角恒等变换化简求出结果即可. 【详解】因为， 所以， 故， 即， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，. （1）当，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）解出集合，根据集合交集、补集运算即可； （2）由可知，分类讨论集合是空集与非空集，配合数轴写出不等式解出实数m范围. 【小问1详解】 当时，， ∴或 【小问2详解】 ∵，∴， 当时，有，即，满足题意； 当时，有，即，且，解得 综上可知，m的取值范围为或. 16. 已知． （1）求； （2）若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系可得，再由余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）由同角三角函数的平方关系可得，再由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由，得． ， . 【小问2详解】 由得，由得， ， 又. 17. 已知数列的前n项和为，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三项成等比列式计算得出，再结合计算求出通项公式； （2）结合（1）应用裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 由成等比数列，得，所以． 当时，，而满足上式， 所以的通项公式是． 【小问2详解】 由（1）知， 则 则 18. 已知函数在处取得极值． （1）求； （2）函数图象与函数图象关于点对称，若存在使成立，求实数的取值范围； （3）过点作曲线的一条割线和一条切线（T为切点，与P不重合），均在曲线上，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据题意得，即可得解； （2）易得函数图象的对称中心为点，即可得出函数的解析式，再分和两种情况讨论，利用分离参数法，构造新的函数，利用导数求出函数的最值即可； （3）先根据导数的几何意义求出切线的方程，再根据在切线上求出切点的坐标，设割线方程为，再根据都在曲线上，再化简整理即可得出结论. 【小问1详解】 ，由题意得， 所以，所以， 经检验，符合题意，故； 【小问2详解】 由（1）得， 所以函数图象的对称中心为点，所以， 因为，所以， ①当时，，不成立，舍去． ②当时，，令 所以 令得，令得， 所以在递减，在递增， 所以， 因为存在使成立， 所以，所以， 综上所述，； 【小问3详解】 ， 则切线为， 因为， 所以， 因为在切线上， 所以 所以，解得或（舍去），所以， 由题意得割线的斜率是存在的，设割线方程为， 则， 又此方程的根为， 所以 ， 所以，所以， 故． 19. 已知函数，数列满足． （1）当时，求函数的最小值； （2）若数列为递增数列，求实数a的取值范围； （3）设为数列的前n项和，证明：当时，． （参考公式：） 【答案】（1） ； （2） ； （3） 当时，由上可知为递增数列， ①当时，，符合题意； ②当时，， ， 所以， 因为，所以， 即，故， 则， ， 综上所述时，. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性、最值计算即可； （2）将数列递增化为恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性结合端点值计算参数即可； （3）根据（2）的结论及参考公式放缩推出，根据等比数列的求和公式计算即可证明. 【小问1详解】 易知时，，则， 时，；时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故函数的最小值为； 【小问2详解】 由数列为递增数列可知，即恒成立， 整理得恒成立， 因为，显然，即， 可构造函数， 则， 易知单调递增，此时恒成立， 故单调递增，所以符合要求， 故； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学高2023级高三第二次教学质量检测 数学试题 命题人：青树国 审题人：赵立信 本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔填在答题卡的对应位置上； 2．选择题的答案，必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑； 3．请用0.5毫米的黑色墨水签字笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 已知函数，则在处的导数为（ ） A. 2 B. 0 C. 4 D. 5. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点．若关于函数在区间上的“中值点”个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 6. 函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分． 9. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的值域为，则 C. 若的定义域为，则 D. 若在上单调递增，则 11. 已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 一个对称中心为 B. 的一个周期为2 C. 的图象关于对称 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卷中的横线上． 12. 已知函数（且）的反函数图像经过点，则________． 13. 已知，则不等式的解集为________． 14. 已知，则________． 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，. （1）当，求； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知． （1）求； （2）若，且，求． 17. 已知数列的前n项和为，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 已知函数在处取得极值． （1）求； （2）函数图象与函数图象关于点对称，若存在使成立，求实数的取值范围； （3）过点作曲线的一条割线和一条切线（T为切点，与P不重合），均在曲线上，若，求的值． 19. 已知函数，数列满足． （1）当时，求函数的最小值； （2）若数列为递增数列，求实数a的取值范围； （3）设为数列的前n项和，证明：当时，． （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $