精品解析：河南省实验中学2025-2026学年高二上学期月考1数学试卷

河南省实验中学2025——2026学年上期月考1试卷 高二数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 2. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在R上偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线的方向向量是，则直线的倾斜角是 B. 若直线与直线平行，则或0 C. 直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是 D. 点在直线上，直线方程为. 11. 在正方体中，M，N分别为线段中点，为正方形内（包含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点，使得平面平面CDP C. 存在唯一的点，使得平面 D. 直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：___________． 13. 已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为__________; 14. 已知正方体的棱长为，是棱的中点，点，分别在平面与平面内，则的最小值为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. （1）求，边所在直线的一般式方程； （2）求对角线所在直线的一般式方程. 16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． （1）用，，表示，并求的值； （2）求的值． 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 18. 如图，在四面体ABCD中，与都是等边三角形， （1）求证：； （2）若E为AD中点，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量（其中a、b、c不同时为0），点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，将其整理为一般式方程为，其中. （1）已知直线的方程为，直线的方程为，求直线与所成角的余弦值； （2）若直线与直线都在平面内，求平面的一般方程； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求实数m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2025——2026学年上期月考1试卷 高二数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解. 【详解】与点关于平面对称的点是(4,−3,2)； 故选：D 2. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例结合函数的性质逐项判断可确定选项. 【详解】函数定义域为，定义域不关于原点对称，故该函数不是奇函数，选项A错误； 设，定义域为，由得，， 故在定义域内不是减函数，选项B错误； 设，定义域为，由知函数为奇函数， 当时，在上单调递减，又为奇函数， 所以在上单调递减，故在定义域内是减函数，选项C正确； 设，定义域为，由指数函数性质知不是奇函数，选项D错误. 故选：C 3. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 4. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 5. 若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性分析可得到函数的一个周期，结合周期性运算求解即可. 【详解】是奇函数，则有， 令，则有， 又函数是定义在R上的偶函数，所以， 则有，即函数的一个周期为2. 所以. 故选：A 7. 如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平面的法向量求出点，再计算点到直线的距离. 【详解】如图，以点A为原点，分别为轴建立空间坐标系， , 则， 则,，，， 设平面的一个法向量， 则，令，则，且面， 则，即，得，故， 所以，， ，则， P到AB的距离为. 故选：C 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线方程求出坐标，再依据两直线垂直得出，进而利用基本不等式即可. 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 等号成立时， 故的最小值是. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 【答案】AB 【解析】 【分析】A根据周期公式；B检验是否等于；C求出，再结合正弦函数的性质即可；D检验是否为零即可. 【详解】，故A正确； ，则的图象关于直线对称， 故B正确； ，则， 而在上单调递增，在上单调递减，故C错误； ，故D错误. 故选：AB 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线的方向向量是，则直线的倾斜角是 B. 若直线与直线平行，则或0 C. 直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是 D. 点在直线上，直线方程为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线的方向向量的定义即可判断A，由解出，代入验证即可判断B，利用倾斜角和斜率的关系即可判断C，根据题意代入方程解出，代入方程即可判断D. 【详解】对于A：设直线的倾斜角为，则，又，所以，故A正确； 对于B：由，即，解得或， 当时，直线，与直线重合，不满足题意， 经验证满足，故B错误； 对于C：当时，，所以直线的倾斜角， 当时，，由或， 所以或，所以或， 所以直线的倾斜角的取值范围是，故C正确； 对于D：由点在直线上，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 在正方体中，M，N分别为线段的中点，为正方形内（包含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点，使得平面平面CDP C. 存在唯一的点，使得平面 D. 直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，等体积转化，直接判断；对B，建系，计算量两平面的法向量进行判断即可；对C，计算判断可得结果；对D，利用向量计算正弦值为，然后判断即可. 【详解】对A，如图 ，因为点到平面的距离为定值，为定值， 所以棱锥的体积为定值，故A正确； 对B，建立空间直角坐标系如图所示： 设正方体的棱长为2，所以，其中， ， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以，令，所以， ，令，所以 若平面平面CDP，则，不符合题意， 所以B正确； 对C，又，所以，若平面， 所以，所以点不唯一，故C错误； 对D，，平面的一个法向量为， 所以直线PM与平面ABCD所成角的正弦值为 令，则，当时，有 所以直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算求解. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为__________; 【答案】x+4y-7=0或x=-1 【解析】 【分析】由题意可知结果存在两种情况，一种是过点C的直线与直线AB平行，可通过斜率求直线，另一种是过点C的直线经过A、B中点，可以通过两点的位置特点求直线. 【详解】①当过点C的直线与直线AB平行时，设过点C的直线的斜率为k，直线AB斜率， 则，由点斜式可得直线为：，化简得：； ②当过点C的直线经过A、B中点时，中点坐标为：，与点C的横坐标相同， 所以直线方程为. 【点睛】本题考查两点与直线距离相等的几何性质，由几何法解题不易出现漏解多解等情况，本题也可以直接利用两点到直线距离相等的公式求解，易漏掉斜率不存在的情况. 14. 已知正方体的棱长为，是棱的中点，点，分别在平面与平面内，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设点关于平面的对称点为，求出点到平面的距离分别为，再由，得到答案. 【详解】如图所示，设点关于平面的对称点为，记点到平面的距离分别为， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 故， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. （1）求，边所在直线的一般式方程； （2）求对角线所在直线的一般式方程. 【答案】（1）；. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据两点斜率公式及直线的平行关系计算直线斜率，再根据点斜式计算即可； （2）根据菱形的性质结合直线的垂直关系计算直线斜率，再根据点斜式计算即可. 【小问1详解】 由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线方程为，即. 【小问2详解】 线段的中点为，， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． （1）用，，表示，并求的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值； （2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值. 【小问1详解】 因为平行六面体中，为与的交点， 所以是中点，也是中点， 又因为，且平行六面体中，， 那么， 因为，， 所以， ， 因为，所以，又，， 所以， ，所以. 【小问2详解】 因为， 所以 . 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简得解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则， 因此，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）及已知得，解得， 由，得， 由余弦定理得，则， 所以. 18. 如图，在四面体ABCD中，与都是等边三角形， （1）求证：； （2）若E为AD的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取AC的中点O，连接，利用等边三角形的性质可得，，进而利用线面垂直的判定定理得平面，然后利用线面垂直的性质定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求得平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取AC中点O，连接， 因为与都是等边三角形，O为AC的中点，所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，故． 【小问2详解】 因为与都是等边三角形，为中点，所以， 又，所以，即． 又，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，即平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量（其中a、b、c不同时为0），点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，将其整理为一般式方程为，其中. （1）已知直线的方程为，直线的方程为，求直线与所成角的余弦值； （2）若直线与直线都在平面内，求平面的一般方程； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求实数m的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直线的方程，得到直线的一个方向向量，由直线的方程，得到的一个方向向量，再利用夹角公式求解. （2）先求得平面的一个法向量，再根据直线过点，写出平面的方程. （3）先求得平面的法向量，易知平面的一个法向量为，再求得平面与平面的交线（即直线）的方向向量，由平面可知平面的一个法向量为，然后根据，由求解. 【小问1详解】 由直线的方程为， 可知直线的一个方向向量坐标为， 由直线的方程为， 可知的一个方向向量为， 设直线与所成角为， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由题意可知，直线的一个方向向量为， 直线的一个方向向量为， 设平面的法向量为，则， 解得，取，则， 易知直线过点，所以，平面的方程为. 即. 【小问3详解】 因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量为， 则，取， 由平面可知平面的一个法向量为， 设平面与平面交线（即直线）的方向向量为， 则，取， 由平面可知平面的一个法向量为， 由，则，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $