精品解析：云南省昆明市西山区昆明金岸中学2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题

昆明金岸中学2025—2026学年上学期9月月练习 初二数学 试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共4页，满分100分，考试用时：120分钟） 注意事项： 1 本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2 考试结束后，请将答题卡交回，试卷学生自己保管好． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（　　） A. B. C. D. 2. 画中边上的高，下列画法中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（    ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 三角形具有稳定性 4. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 5. 如图，在中，点E是的中点，，，的周长是25，则的周长是（　　） A. 18 B. 22 C. 28 D. 32 6. 如图，，是的外角，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 9. 在中， ，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 10. 已知图中的两个三角形全等，则等于（（　　） A. B. C. D. 11. 下列命题中，真命题的个数是（　　） ①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 12. 如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为,所以.由这种作图方法得到的和全等的依据是（    ） A. SSS  B. SAS   C. ASA D. AAS 13. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 14. 小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是 （ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 15. 如图，，，垂足分别为点，点，、相交于点O，，则图中全等三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为__________． 17. 已知a，b，c是三角形的三条边，则的化简结果为______． 18. 如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是_____（只填序号）． 19. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，是的高，，求度数． 21. 如图，，，求证：． 22. 一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，求其他两边的长． 23. 如图，在中，，，平分．求和的度数． 24. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求∠F的度数． 25. 如图，点在上，点在上，，．求证：． 26. 如图（1），，，，垂足分别为A、B，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有与全等，求出相应的x和t的值． 27. （1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明金岸中学2025—2026学年上学期9月月练习 初二数学 试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共4页，满分100分，考试用时：120分钟） 注意事项： 1 本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2 考试结束后，请将答题卡交回，试卷学生自己保管好． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形；该选项不符合题意； B、，能组成三角形；该选项符合题意； C、，不能够组成三角形；该选项不符合题意； D、，不能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：B． 2. 画中边上的高，下列画法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．本题是一道作图题，本题考查了三角形的高线，是基础知识要熟练掌握． 【详解】解：依题意，过点作边所在直线的垂线段， ∴A选项的作图满足条件， 故选：A． 3. 如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（    ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应用方法的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 4. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到． 【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部(如图1)，钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部(如图3)，直角三角形的三条高的交点在三角形的直角顶点上(如图2). 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键． 5. 如图，在中，点E是的中点，，，的周长是25，则的周长是（　　） A. 18 B. 22 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点得到，再表示出和的周长，找出它们的联系即可． 【详解】∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴的周长， ∴， ∴的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中线，注意两个三角形周长的关系是解题的关键． 6. 如图，，是的外角，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质直接求解即可． 【详解】是的外角，，， ． ． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角性质是解题的关键． 7. 如图，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高的定义，熟练掌握三角形的中线，角平分线，高的定义是解题的关键． 根据三角形的中线，角平分线，高的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵分别是的中线，角平分线，高， ∴，，，故A，B，C选项正确，不符合题意； 根据题意无法判断与的大小关系，符合题意； 故选：D 8. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】设∠A=3x°，则∠B=4x°，∠C=5x°， 根据三角形内角和定理可得：3x+4x+5x=180°， 则x=15， 则∠C=5x=75°. 故答案为：C 【点睛】考点：三角形内角和定理 9. 在中， ，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是根据角与角之间的关系设出未知数列出方程． 设度，则度．根据三角形的内角和是得出，求解即可． 【详解】解：设度，则度． 由，得： ， 所以， 故， ∴是直角三角形． 故选：B． 10. 已知图中的两个三角形全等，则等于（（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等； ∴左边那副图中，边长为b的边的对角等于第二个图的； ∴； 故选：C. 11. 下列命题中，真命题的个数是（　　） ①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质对①②③进行判断，根据全等三角形的判定方法对④进行判断． 【详解】解：全等三角形的周长相等，故①正确；全等三角形的对应角相等，故②正确；全等三角形的面积相等，故③正确；面积相等的两个三角形不一定全等，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果，那么”的形式，有些命题的正确性用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 12. 如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为,所以.由这种作图方法得到的和全等的依据是（    ） A. SSS  B. SAS   C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，于是可利用“SSS”判断△D′O′C′≌△DOC，然后根据全等三角形的性质得到角相等． 【详解】解：根据作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′， 所以利用“SSS”可判断为△D′O′C′≌△DOC， 所以∠D′O′C′=∠DOC．(SSS) 故选A. 【点睛】本题考查全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 13. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理．直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 14. 小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是 （ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形判定定理进行判断即可． 【详解】解：已知有一块是②，则带上①可根据得出一块全等的三角形玻璃，而带上③或④均无法得出全等三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解本题的关键． 15. 如图，，，垂足分别为点，点，、相交于点O，，则图中全等三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】共有四对．分别为ADO≌AEO，ADC≌AEB，ABO≌ACO，BOD≌COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADO＝∠AEO＝90°， 又∵∠1＝∠2，AO＝AO， ∴ADO≌AEO；（AAS） ∴OD＝OE，AD＝AE， ∵∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE， ∴BOD≌COE；（ASA） ∴BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C， ∵AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90° ∴ADC≌AEB；（ASA） ∵AD＝AE，BD＝CE， ∴AB＝AC， ∵OB＝OC，AO＝AO， ∴ABO≌ACO．（SSS） 所以共有四对全等三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．分6是腰长与底边两种情况分情况讨论，再利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 【详解】解：若是腰长，则三角形的三边分别为、、， ，能组成三角形， 则周长， 若是底边长，则三角形的三边分别为、、， ，能组成三角形， 则周长， 综上所述，三角形的周长为或． 故答案为：或． 17. 已知a，b，c是三角形的三条边，则的化简结果为______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴， ∴原式， 故答案为：0 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 18. 如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是_____（只填序号）． 【答案】② 【解析】 【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解． 【详解】∵已知，且 ∴若添加①，则可由判定≌； 若添加②，则属于边边角的顺序，不能判定≌； 若添加③，则属于边角边的顺序，可以判定≌． 故答案为②． 【点睛】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断． 19. 如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据平移的性质、梯形的面积公式计算是解决问题的关键． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， 由平移可知，， ． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，是的高，，求度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题三角形的内角和定理，高线的定义，结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理，求出的度数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：连接， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用（边边边）判定三角形全等． 通过连接，构造两个三角形，利用判定这两个三角形全等，进而根据全等三角形的对应角相等证明． 【详解】略 22. 一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，求其他两边的长． 【答案】6cm，8cm或7cm，7cm 【解析】 【详解】试题分析：分两种情况进行讨论. 试题解析： 底边长为，则腰长为：，所以另两边的长为 能构成三角形； 腰长为，则底边长为： 底边长为，另一个腰长为 ，能构成三角形. 因此另两边长为或 答：这个等腰三角形的其它两边的长为或 点睛：等腰三角形一定要分类讨论,这个题目就考虑了6是腰或6是底两种情况进行讨论. 23. 如图，在中，，，平分．求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由三角形角平分线的定义得，即得，再根据三角形内角和定理计算即可求解； （2）利用三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解：平分，， ， ， ∵ 在中，，， ， ． 24. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求∠F的度数． 【答案】 （1）证明： ， 即 又， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E，进而根据（1）的结论即可求得∠F． 【详解】（1）略 （2）解：，， 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 25. 如图，点在上，点在上，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先由线段和差得出，然后根据“”证明，最后由全等三角形的性质即可求证． 【详解】略 26. 如图（1），，，，垂足分别为A、B，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有与全等，求出相应的x和t的值． 【答案】（1），． 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），或，． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，求出，利用证明和全等，可得，然后求出即可； （2）分和两种情况，分别根据全等三角形的性质得出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①若， 则，， 由可得：， ∴， 由可得：， ∴； ②若， 则，， 由可得：， ∴， 由可得：， ∴， 综上所述，当与全等时，x和t的值分别为：，或，． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明和全等解答，解决此题注意分类讨论． 27. （1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）； （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $