重难点17：破解圆锥曲线定值：圆锥曲线中定值问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

重难点17：破解圆锥曲线定值：圆锥曲线中定值问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 4 题型一、斜率和（积）为定值 4 题型二、斜率之比为定值 7 题型三、角度型定值 11 题型四、距离型定值 16 题型五、面积型定值 20 题型六、数量积为定值 27 题型七、系数型定值 29 题型精析・方法突破提能力 35 知识网络・核心根基深扎牢 一、解题思路 圆锥曲线的定值问题是解析几何中的核心题型，其本质是在图形的某些元素（如点、直线、斜率、距离等）运动变化时，证明某个几何量（如斜率、面积、乘积、比值等）保持恒定。解题的核心思路是 “化动为静”，即通过代数运算消去变化参数，最终得到与参数无关的常数。定值问题的求解可遵循 “设参→表达→化简→定值” 的通用流程，具体步骤如下： 步骤 1：设定参数 —— 参数是描述 “运动变化” 的变量，选择参数的原则是 **“少而精”**，即能用 1 个参数表示的绝不设 2 个。常见参数类型： 点 参 数：若动点在曲线上，可设其坐标（如椭圆上的点可设为，利用参数方程简化运算）； 斜率参数：若动直线过定点，可设其斜率（需注意斜率不存在的特殊情况）； 截距参数：若动直线有固定纵 / 横截距，可设截距为； 比例参数：若涉及线段比例，可设比例系数（如分点坐标用定比分点公式表示）。 步骤 2：表达几何量 —— 根据题目要求，将需要证明为定值的几何量（如斜率、面积、乘积等）用第一步设定的参数表示出来。此步骤需熟练运用以下知识点： 直线方程（点斜式、斜截式、两点式）；点与曲线的位置关系（代入方程验证）；韦达定理（联立直线与曲线方程，求两根之和、两根之积）；斜率公式）；距离公式（两点间距离、点到直线距离）；面积公式（底）。 步骤 3：化简消参 —— 这是最关键的一步，目标是通过代数变形（因式分解、通分、利用曲线方程代换、韦达定理代入等）消去所有参数，得到一个常数。 步骤 4：验证特殊情况 —— 参数设定时可能隐含限制（如斜率不存在、直线与曲线相切等），需单独验证这些特殊情况是否满足定值结论，确保逻辑严谨。 二、方法技巧 知识点1：斜率和（积）为定值 1.与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值，求解时一般先利用斜率公式写出表达式，再利用题中条件或韦达定理化简。 2.题目必然隐含或明确给出一个固定点（记为），该点通常具备以下属性： 位置特征：多在坐标轴上（，或为椭圆、抛物线等圆锥曲线的顶点、焦点、中心，少数为曲线外的已知点。 角色功能：作为斜率计算的基准点，所有动点与该点的连线斜率（\(k_{PA}\)、\(k_{PB}\)）是核心研究对象。 3.存在两个在同一圆锥曲线上的动点（记为），且动点满足以下关联条件： 运动约束：两点均在给定的圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）上，其坐标满足曲线方程。 直线关联：两点通常共线，即直线为动直线，是后续推导中需代入韦达定理的关键载体。 4.倘若定点，在椭圆上的动点，那么： ①，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直接代入韦达定理求解。 ②，这里对交叉项的处理可进一步代入直线方程：，化简可得：，再代入韦达定理。 ③。可进一步代入直线方程：，化简可得： 知识点2：斜率之比为定值（采用非对称韦达定理） 在处理斜率比值的时候：，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法。 这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型。具体办法： 联立方程后得到韦达定理：m代入之后进行代换消元解题。 知识点3：圆锥曲线和（积/商）为定值结论 椭 圆： （1）上一点，若是椭圆上的两个动点，且满足是定值，则当斜率为定值；当时，直线AB恒过定点。 （2）上一点，若是椭圆上的两个动点，且满足是定值，则当的斜率为定值；当时，直线AB横过定点。 双曲线： （3）上一点，若是双曲线上的两个动点，且满足是定值，则当斜率为定值；当时，直线AB恒过定点。 （4）上一点，若是双曲线上的两个动点，且满足是定值，则当的斜率为定值；当时，直线AB横过定点。 抛物线： （5）上一点，若是抛物线上的两个动点，且满足是定值，则当斜率为定值；当时，直线AB恒过定点。 知识点4：中点弦斜率为定值 椭 圆：则弦的斜率之积为定值，即： 双曲线：则弦的斜率之积为定值，即： 抛物线：则弦的斜率之积为定值，即： 知识点5：距离为定值 1.设椭圆方程为，焦点为，过焦点的直线A,B与椭圆交于A,B点，则：为定值。 2.设上不同3点，与轴分别交于点。 3.点上动点，为坐标原点，若，则（即点为定值）。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、斜率和（积）为定值 典例探究 【典型例题】已知椭圆的左、右顶点分别为，，位于轴上方的点是上的一点，坐标原点为，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，则直线与直线的斜率之积为（   ） A．1 B． C． D． 举一反三 【1-1】若椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上一点，且在第一象限，的内心为，直线与直线的斜率分别为、，则（   ） A． B． C． D． 【1-2】过原点O的直线与双曲线：交于A，B两点，D为的右顶点，若的渐近线方程为，则直线与直线的斜率之积为（   ） A．1 B．3 C．4 D．9 【1-3】已知为坐标原点，双曲线的离心率为2，虚轴长为为圆：上一点，过点作的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 题型二、斜率之比为定值 典例探究 【典型例题】已知椭圆：经过点，右焦点为，，分别为椭圆的上顶点和下顶点，若过且斜率存在的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率分别为和，则的值为（   ） A．1 B．3 C．2 D． 举一反三 【2-1】如图，已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线两点，直线分别与抛物线交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【2-2】已知为抛物线的焦点，点的坐标为，过点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，延长、交抛物线于、两点设直线的斜率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【2-3】已知抛物线，过点任作一条直线与抛物线交于，两点，设点，连接，并延长，分别与抛物线交于点，，则直线过定点 ， ． 题型三、角度型定值 典例探究 【典型例题】已知抛物线，经过的动直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，则为（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．随着直线l的变化，可能是锐角、直角或钝角 举一反三 【3-1】已知椭圆的左顶点为，左焦点为，离心率为，过点的直线交于两点，当的斜率为1时，点到的距离为. (1)求的方程； (2)若直线分别交直线于点，证明：. 【3-2】已知椭圆与抛物线在第一象限的交点为，椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，且. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，点为椭圆的左顶点，直线分别交直线于点，求证：为定值. 【3-3】设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2． (1)求抛物线的方程； (2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：． 题型四、距离型定值 典例探究 【典型例题】已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（    ） A． B． C． D． 举一反三 【4-1】已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则等于（    ） A．45 B．9 C． D． 【4-2】已知双曲线的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则（    ） A． B．4 C． D．2 【4-3】数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称（其中）的双曲线为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 题型五、面积型定值 典例探究 设和是椭圆的两条经过坐标原点的弦，且直线和的斜率之积为． (1)求的值； (2)设是线段的中点，求的轨迹方程； (3)设是曲线上的动点，过作的切线交于两点．证明：的面积是定值．（参考公式：椭圆在其上一点处的切线方程为 举一反三 【5-1】已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值． 【5-2】已知椭圆经过点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C的右顶点和上顶点分别为A，B，P为椭圆C上位于第三象限内的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，探究四边形ABNM的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【5-3】已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，过的直线交的右支于两点，且． (1)求的方程； (2)点关于轴对称点为（异于点），直线交轴于点，记，的面积分别为，求的值． 题型六、数量积为定值 典例探究 【典型例题】已知是椭圆与轴的交点，点是椭圆上异于的任一点，直线分别于轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 举一反三 【6-1】已知椭圆的离心率，椭圆与轴正半轴的交点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点分别作抛物线的切线和，直线和相交于点，则 A．0 B．1 C．-1 D．不确定 【6-2】已知椭圆C：，F1、F2分别为其左、右焦点，A1，A2分别为其长轴的左右端点，动点M满足MA2⊥A1A2，A1M交椭圆于点P，则的值为（   ） A．8 B．16 C．20 D．24 【6-3】已知抛物线的准线为，O为坐标原点，A、B都在此抛物线上，若直线过，则（    ） A．4 B．8 C．0 D． 题型七、系数型定值 典例探究 【典型例题】已知方向向量为的直线过点和椭圆的右焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足，． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为．设，，求的值． 举一反三 【7-1】已知椭圆为椭圆的左焦点，过点的直线分别交椭圆于两点，设直线与轴交于点，，，试求的值． 【7-2】设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为．设，求的值． 【7-3】已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知双曲线：的渐近线方程为，且焦距为，过双曲线中心的直线与双曲线交于两点，在双曲线上取一点（异于），直线，的斜率分别为，，则等于（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・2】已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【突破提升训练・3】已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，则直线OA、OB的斜率之和为（    ） A．－2 B．－2P C．－4 D．－4P 【突破提升训练・4】已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为（    ） A．8 B．16 C． D． 【突破提升训练・5】已知椭圆的离心率，椭圆与轴正半轴的交点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点分别作抛物线的切线和，直线和相交于点，则 A．0 B．1 C．-1 D．不确定 【突破提升训练・6】已知椭圆C：，F1、F2分别为其左、右焦点，A1，A2分别为其长轴的左右端点，动点M满足MA2⊥A1A2，A1M交椭圆于点P，则的值为（   ） A．8 B．16 C．20 D．24 【突破提升训练・7】已知抛物线的准线为，O为坐标原点，A、B都在此抛物线上，若直线过，则（    ） A．4 B．8 C．0 D． 【突破提升训练・8】已知抛物线C：，点M为直线上一动点，过点M作直线，与抛物线C分别切于点A，B，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．0或1 【突破提升训练・9】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点，为的内心，若直线和的斜率分别为，，其中为坐标原点，则 . 【突破提升训练・10】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任一点，为的内心，为坐标原点，则直线与的斜率之比 ．（用表示） 【突破提升训练・11】已知椭圆的上下顶点分别为，过点的直线交椭圆于两点，记，则 . 【突破提升训练・12】已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线：与交于A，B两点，过上的点（与A，B不重合且不在坐标轴上）作轴的平行线交线段于点（与A，B不重合），直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线，的斜率都存在，分别记为，. （i）求证：； （ii）判断是否为定值？并说明理由. 【突破提升训练・13】在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 【突破提升训练・14】已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； (3)过点作，垂足为，求的最大值． 【突破提升训练・15】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； 【突破提升训练・16】已知抛物线经过点，过的焦点作斜率为的直线，与交于两点（在第一象限），过点作直线分别与交于另外两点，设直线的斜率为. (1)求的方程； (2)证明：为定值； (3)过点作两条相互垂直的直线，分别与交于另一点（点均与，不重合），若直线与的斜率之积为，证明直线与相交于定点，并求出定点的坐标. 【突破提升训练・17】已知抛物线，焦点为F，准线为l，线段OF的中点为G.点P是C上在x轴上方的一点，且点P到l的距离等于它到原点O的距离. (1)求P点的坐标. (2)过点作一条斜率为正数的直线与抛物线C从左向右依次交于A，B两点，求证：. 【突破提升训练・18】如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：是定值； (3)求三角形的周长． 【突破提升训练・19】已知椭圆： 的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程． (2)如图，已知点，（其中，），满足以线段为直径的圆过点，且交椭圆的第一象限于点． ①若，求点的纵坐标； ②若线段交轴于点，求的值． 【突破提升训练・20】如图，已知抛物线过点，过定点的直线与曲线交于两点，以为直径的圆交轴于两点，为原点，求证：为定值． 【突破提升训练・21】已知双曲线的焦距为，且双曲线的焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)点是双曲线右支上的动点，设直线是双曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值. 【突破提升训练・22】已知双曲线的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线的距离之积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线于两点，为坐标原点，求的面积． 【突破提升训练・23】过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线. (1)求的方程； (2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值. 【突破提升训练・24】已知抛物线：. (1)若点为抛物线上一点，证明：抛物线在点处的切线方程为； (2)设，是抛物线：上两点，过点，分别作的切线交于点，点，分别在线段，的延长线上，直线与抛物线相切于点. （i）证明：； （ii）记，的面积分别为，，求的值. 【突破提升训练・25】已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 【突破提升训练・26】已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为. (1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值； (2)证明：； (3)求的值. 【突破提升训练・27】已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点. (1)若直线又过的左焦点，求的值； (2)若点的坐标为，求证：为定值. 【突破提升训练・28】已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且，圆O的方程是． （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求证：为定值； （3）若过圆O上点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，求证：． 【突破提升训练・29】在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【突破提升训练・30】已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线E的左、右顶点分别为、，过点作斜率为k的直线交双曲线E的右支于M、N两点，直线、分别与直线l：交于点P、Q，，试探究的取值是否与k有关？若有关，求与k的关系式；若无关，求的值． 【突破提升训练・31】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【突破提升训练・32】已知曲线C上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等.，直线过点且与C有两个不同的交点，，直线，分别交y轴于点M，N. (1)求C的方程； (2)若直线，的斜率分别是，，且，求的值及的斜率； (3)设为原点，若，判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点17：破解圆锥曲线定值：圆锥曲线中定值问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 4 题型一、斜率和（积）为定值 4 题型二、斜率之比为定值 7 题型三、角度型定值 11 题型四、距离型定值 16 题型五、面积型定值 20 题型六、数量积为定值 27 题型七、系数型定值 29 题型精析・方法突破提能力 35 知识网络・核心根基深扎牢 一、解题思路 圆锥曲线的定值问题是解析几何中的核心题型，其本质是在图形的某些元素（如点、直线、斜率、距离等）运动变化时，证明某个几何量（如斜率、面积、乘积、比值等）保持恒定。解题的核心思路是 “化动为静”，即通过代数运算消去变化参数，最终得到与参数无关的常数。定值问题的求解可遵循 “设参→表达→化简→定值” 的通用流程，具体步骤如下： 步骤 1：设定参数 —— 参数是描述 “运动变化” 的变量，选择参数的原则是 **“少而精”**，即能用 1 个参数表示的绝不设 2 个。常见参数类型： 点 参 数：若动点在曲线上，可设其坐标（如椭圆上的点可设为，利用参数方程简化运算）； 斜率参数：若动直线过定点，可设其斜率（需注意斜率不存在的特殊情况）； 截距参数：若动直线有固定纵 / 横截距，可设截距为； 比例参数：若涉及线段比例，可设比例系数（如分点坐标用定比分点公式表示）。 步骤 2：表达几何量 —— 根据题目要求，将需要证明为定值的几何量（如斜率、面积、乘积等）用第一步设定的参数表示出来。此步骤需熟练运用以下知识点： 直线方程（点斜式、斜截式、两点式）；点与曲线的位置关系（代入方程验证）；韦达定理（联立直线与曲线方程，求两根之和、两根之积）；斜率公式）；距离公式（两点间距离、点到直线距离）；面积公式（底）。 步骤 3：化简消参 —— 这是最关键的一步，目标是通过代数变形（因式分解、通分、利用曲线方程代换、韦达定理代入等）消去所有参数，得到一个常数。 步骤 4：验证特殊情况 —— 参数设定时可能隐含限制（如斜率不存在、直线与曲线相切等），需单独验证这些特殊情况是否满足定值结论，确保逻辑严谨。 二、方法技巧 知识点1：斜率和（积）为定值 1.与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值，求解时一般先利用斜率公式写出表达式，再利用题中条件或韦达定理化简。 2.题目必然隐含或明确给出一个固定点（记为），该点通常具备以下属性： 位置特征：多在坐标轴上（，或为椭圆、抛物线等圆锥曲线的顶点、焦点、中心，少数为曲线外的已知点。 角色功能：作为斜率计算的基准点，所有动点与该点的连线斜率（\(k_{PA}\)、\(k_{PB}\)）是核心研究对象。 3.存在两个在同一圆锥曲线上的动点（记为），且动点满足以下关联条件： 运动约束：两点均在给定的圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）上，其坐标满足曲线方程。 直线关联：两点通常共线，即直线为动直线，是后续推导中需代入韦达定理的关键载体。 4.倘若定点，在椭圆上的动点，那么： ①，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直接代入韦达定理求解。 ②，这里对交叉项的处理可进一步代入直线方程：，化简可得：，再代入韦达定理。 ③。可进一步代入直线方程：，化简可得： 知识点2：斜率之比为定值（采用非对称韦达定理） 在处理斜率比值的时候：，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法。 这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型。具体办法： 联立方程后得到韦达定理：m代入之后进行代换消元解题。 知识点3：圆锥曲线和（积/商）为定值结论 椭 圆： （1）上一点，若是椭圆上的两个动点，且满足是定值，则当斜率为定值；当时，直线AB恒过定点。 （2）上一点，若是椭圆上的两个动点，且满足是定值，则当的斜率为定值；当时，直线AB横过定点。 双曲线： （3）上一点，若是双曲线上的两个动点，且满足是定值，则当斜率为定值；当时，直线AB恒过定点。 （4）上一点，若是双曲线上的两个动点，且满足是定值，则当的斜率为定值；当时，直线AB横过定点。 抛物线： （5）上一点，若是抛物线上的两个动点，且满足是定值，则当斜率为定值；当时，直线AB恒过定点。 知识点4：中点弦斜率为定值 椭 圆：则弦的斜率之积为定值，即： 双曲线：则弦的斜率之积为定值，即： 抛物线：则弦的斜率之积为定值，即： 知识点5：距离为定值 1.设椭圆方程为，焦点为，过焦点的直线A,B与椭圆交于A,B点，则：为定值。 2.设上不同3点，与轴分别交于点。 3.点上动点，为坐标原点，若，则（即点为定值）。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、斜率和（积）为定值 典例探究 【典型例题】已知椭圆的左、右顶点分别为，，位于轴上方的点是上的一点，坐标原点为，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，则直线与直线的斜率之积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点，结合斜率公式计算得出，最后应用比例关系计算即可求解. 【详解】    由的方程知，，， 设直线与的斜率分别为，，，所以，，所以， 因为点在上，所以，故，所以，， 故. 故选:D. 举一反三 【1-1】若椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上一点，且在第一象限，的内心为，直线与直线的斜率分别为、，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的坐标，根据两点求距离公式求出，由椭圆的定义求出，根据内切圆的性质求出点I的坐标，结合两点表示斜率公式化简计算即可求解. 【详解】设，，则， 易知，，由椭圆焦半径公式可得，， 设分别为的内切圆与边，，的切点，则， 根据内切圆的性质知，，， 因此， 即，解得. 在中，，解得， 因此，所以. 故选：A. 【1-2】过原点O的直线与双曲线：交于A，B两点，D为的右顶点，若的渐近线方程为，则直线与直线的斜率之积为（   ） A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】利用题给渐近线方程得出，设点，根据双曲线的性质结合直线过原点得出点坐标，由双曲线性质得出右顶点坐标，从而列出斜率之积表达式，结合双曲线方程化简得出，从而得出答案. 【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，所以， 设点，因为直线过原点，则， 又因为双曲线的右顶点为， 则①， 又因为在双曲线上，则，所以②， ②代入①化简可得. 故选：C. 【1-3】已知为坐标原点，双曲线的离心率为2，虚轴长为为圆：上一点，过点作的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线性质先确定双曲线方程，设Q坐标及切线方程，联立双曲线方程，借助韦达定理得，计算即可. 【详解】由题意得，又， 所以，所以的方程为， 设，过点的切线方程为， 联立得， 则，即， 又，所以，所以， 又，且，所以． 故选：B 题型二、斜率之比为定值 典例探究 【典型例题】已知椭圆：经过点，右焦点为，，分别为椭圆的上顶点和下顶点，若过且斜率存在的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率分别为和，则的值为（   ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由已知可得关于，，的方程组，从而可得，的值，从而可得椭圆的方程；设直线，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，利用两点的斜率公式表示出和，作比，结合根与系数的关系即可求解． 【详解】由题意可知，，， 椭圆的标准方程为． 设直线：，联立直线和椭圆方程， ，得 ，记，， 则， 由题意知和．则，， 则 ， 所以． 故选：B 举一反三 【2-1】如图，已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线两点，直线分别与抛物线交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设出的坐标，求得直线的方程，由此求得两点的坐标，由此求得. 【详解】依题意，设，所以的方程是，设，则，与抛物线方程联立可得，所以，，所以，即，同理可得，由于，所以，所以. 故选：D 【2-2】已知为抛物线的焦点，点的坐标为，过点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，延长、交抛物线于、两点设直线的斜率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，，联立直线方程与抛物线方程可得，设，，则，，设AC，BD所在的直线方程可得，，由此可得的值． 【详解】设过点F作斜率为的直线方程为：， 联立抛物线C：可得：， 设A，B两点的坐标为：，， 则， 设，， 则，同理， 设AC所在的直线方程为， 联立，得， ，同理，， 则． 故选：D． 【2-3】已知抛物线，过点任作一条直线与抛物线交于，两点，设点，连接，并延长，分别与抛物线交于点，，则直线过定点 ， ． 【答案】 【分析】第一空：设直线的方程为，直线的方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理有，，求得即可；第二空：由斜率公式、韦达定理即可求解. 【详解】如图，设直线的方程为，直线的方程为， ，，，．    由得，故， 同理，，，所以，故． 由得，故， 所以，即，所以直线过定点． 下面求的值． 解法1：因为， 所以． 解法2：因为，所以． 故答案为：，. 题型三、角度型定值 典例探究 【答案】B【典型例题】已知抛物线，经过的动直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，则为（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．随着直线l的变化，可能是锐角、直角或钝角 【分析】设直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理计算即可. 【详解】如图，设经过点的直线的方程为， 与抛物线：联立方程得：， 设，则，， 则 ，,所以为直角. 故选:B. 举一反三 【3-1】已知椭圆的左顶点为，左焦点为，离心率为，过点的直线交于两点，当的斜率为1时，点到的距离为. (1)求的方程； (2)若直线分别交直线于点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意建立关于的等式求解即可； （2）设直线的方程为，直线与曲线联立方程组由韦达定理得，，再由题意求得，，计算后即可得证. 【详解】（1）设，由题可得，所以①， 当的斜率为1时，的方程为， 所以点到的距离为，得②， 由①②得，， 所以， 故的方程为； （2）由（1）知，， 由题知直线的斜率不为0，设，，直线的方程为， 由，得， 所以，， 由题可得直线，的斜率均存在且均不为0， 直线的方程为， 令，得，则，同理可得 所以，， 则 ， 所以. 【3-2】已知椭圆与抛物线在第一象限的交点为，椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，且. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，点为椭圆的左顶点，直线分别交直线于点，求证：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据题意，由抛物线性质可求焦点坐标和点坐标，结合椭圆定义，可求，计算即可求解； （2）设，讨论直线与轴是否垂直，再根据直线与椭圆方程联立方程组法，结合韦达定理，计算，即可证明. 【详解】（1）抛物线的焦点为， ，∴， ∴，∴， 又，∴， ∴，∴， 又∵，∴， ∴椭圆的方程是：； （2）设 当直线与轴垂直时，易得：或， 又，∴，或者， ∴，∴ 当直线与不垂直时，设直线的方程为：， 联方程组，消去整理得：， 所以：， 又共线， ∴，得，同理：， ∴， ∴ 又因为 ∴，则 综上，为定值. 【3-3】设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2． (1)求抛物线的方程； (2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用点到圆上点的最大距离为2，求出，可得答案； （2）设设的方程为，，与抛物线方程联立，由结合韦达定理可得答案． 【详解】（1）点到圆上点的最大距离为， 即，得， 故抛物线C的方程为． （2）由题意可知， 设的方程为，， 联立方程，得， 易得，由根与系数的关系得， ， 所以 ， 所以， 侧直线与直线的倾斜角互补，所以． 题型四、距离型定值 典例探究 【典型例题】已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1：对直线有无斜率进行讨论，当直线有斜率时，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式，进行化简整理，可得结论；方法2：从选择项发现所给问题为定值，则由于数学问题的特殊与一般的统一性，取点在特殊位置求值即可. 【详解】方法1：如图： 易知：. 若直线斜率不存在，则弦为椭圆通径，此时，所以； 若直线斜率存在，可设直线方程：，代入椭圆方程得： ， 整理得：. 设，（不妨令）， 则：，. 所以 . 所以 . 又，. 所以 . 综上可知：. 方法2：如图： 可取为椭圆的长轴，则，， 所以. 故选：C 举一反三 【4-1】已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则等于（    ） A．45 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】令，，由题设可得、、，进而可得，进而化简，即可得结果. 【详解】令，，则，， 由，故，则， 而，，则，， 所以，故， . 故选：B 【4-2】已知双曲线的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意结合导数的几何意义可得，，设直线OM的方程为，则直线ON的方程为，进而可得，，即可得结果. 【详解】由题意可知：，即． 又因为，则，可得， 即曲线在处切线的斜率， 由题意可知：双曲线C的一条渐近线为， 即，解得， 所以双曲线C的方程为． 以MN为直径的圆经过坐标原点O，连接OM，ON，可知， 设直线OM的方程为，可知， 则直线ON的方程为， 联立方程，消去y整理得， 即，故，则， 同理可得：， 所以. 故选：A． 【4-3】数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称（其中）的双曲线为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的方程，然后求出的坐标，代入可得结果. 【详解】设，则，即. 因为，，所以，解得. 由题意四点共圆，圆心为的中点，半径为， 所以方程为； 的方程为； 两式相减可得直线的方程， 令得，即； 令得，即； ， 所以. 故选：B. 题型五、面积型定值 典例探究 设和是椭圆的两条经过坐标原点的弦，且直线和的斜率之积为． (1)求的值； (2)设是线段的中点，求的轨迹方程； (3)设是曲线上的动点，过作的切线交于两点．证明：的面积是定值．（参考公式：椭圆在其上一点处的切线方程为 【答案】(1)7； (2) ； (3)证明见解析 【分析】（1）由椭圆对称性可知直线和的斜率分别与直线和的斜率相同，所以可设点D和点N的坐标，再根据斜率乘积为，得到的值. (2)设，利用中点坐标公式列出点和点D，N的坐标关系，化简可得的关系式，即点的轨迹方程.特别注意，直线和的斜率存在且不为. (3) 设，结合参考公式写出过的的切线方程，与椭圆的方程进行联立，可得弦长.根据点到直线的距离公式，可得点到切线的距离，即AB边上的高，进而得到的面积. 【详解】（1）设，. 根据，可得,即, 因为,且, 所以或. 所以． （2）设，由中点坐标公式，得， 由（1）可得,或 因为, 所以，整理得． 又因为直线和的斜率之积为，所以直线和的斜率均存在，且不为，所以≠. 所以的轨迹方程为(≠). （3）设是椭圆上一点，所以,即. 由参考公式知，椭圆在点处的切线方程为，即，即． 设. 当时，直线斜率不存在，, 切线方程为：, 所以，此时，原点到切线的距离为. 所以的面积为． 当时，直线斜率存在，设斜率为. 联立，得：. 即， 即．则． 所以． 原点到切线的距离．. 所以的面积为． 综上所述，的面积是定值． 举一反三 【5-1】已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用相关点法即得； （2）由题可得A，B分别为的中点，进而可得C，D都在直线上，然后利用弦长公式及三角形面积公式结合条件即得. 【详解】（1）设，则， 因为， 所以， 所以， 即曲线的方程为； （2）设，则， 由，可知A，B分别为的中点， 所以， 则，作差可得． 因为， 所以， 同理， 所以C，D都在直线上， 联立，可得， 即， 点P到直线的距离， 所以的面积为， 即的面积为定值． 【5-2】已知椭圆经过点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C的右顶点和上顶点分别为A，B，P为椭圆C上位于第三象限内的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，探究四边形ABNM的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；定值4 【分析】（1）将点代入椭圆方程，再结合条件，即可求解椭圆方程； （2）首先利用坐标分别表示直线和的方程，再求点的坐标，并利用对角线垂直，表示四边形的面积，利用点在椭圆上，即可求解. 【详解】（1）由题设得，，又椭圆C经过点，所以， 由，解得：，． 故椭圆C的方程为：； （2）设（，），则，即． 又，，所以直线PA的方程为， 令，得， 从而； 直线PB的方程为，令，得， 从而． 因为，所以四边形ABNM的面积， 即 ．    故四边形ABNM的面积为定值4． 【5-3】已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，过的直线交的右支于两点，且． (1)求的方程； (2)点关于轴对称点为（异于点），直线交轴于点，记，的面积分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义可得，再根据双曲线经过点可求得，可得双曲线的方程. （2）先确定为定点，再根据可求解. 【详解】（1）因为，根据双曲线的定义可得. 又双曲线过点，所以 . 所以双曲线的方程为：. （2）如图：    因为，所以，. 因为、关于轴对称，且与不同，所以直线必存在斜率, 可设直线：，代入得：， 整理得：. 设，，则，因为均在双曲线右支， 由韦达定理可得，，所以. 直线方程为：， 令得 . 所以为定点，坐标为. 所以. 题型六、数量积为定值 典例探究 【典型例题】已知是椭圆与轴的交点，点是椭圆上异于的任一点，直线分别于轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可用的坐标表示直线方程，求出的坐标后可求的值. 【详解】由椭圆方程可得，设，故. 又，令，故，同理 又， 所以， 故选：C. 举一反三 【6-1】已知椭圆的离心率，椭圆与轴正半轴的交点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点分别作抛物线的切线和，直线和相交于点，则 A．0 B．1 C．-1 D．不确定 【答案】A 【详解】由题知，，解得，故 椭圆的方程为 ，，解得 抛物线的方程为 直线和抛物线有两个交点，直线的斜率存在， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去，得 抛物线的方程为， 过抛物线上两点的切线方程分别为， 即， 联立直线方程，解得 即点的坐标为 故选 【6-2】已知椭圆C：，F1、F2分别为其左、右焦点，A1，A2分别为其长轴的左右端点，动点M满足MA2⊥A1A2，A1M交椭圆于点P，则的值为（   ） A．8 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【详解】A1 (−4,0), A2 (4,0),设M(4,),P(x1,y1)， 则=(x1,y1),=(4,t). 直线A1 M:y−0=(x+4),即y=x+. 代入椭圆,得,故此方程的两个根分别为−4和x1, 由韦达定理可得x1−4=,∴x1= +4,∴y1=. ∴=( +4,), ∴= = 故选B 【6-3】已知抛物线的准线为，O为坐标原点，A、B都在此抛物线上，若直线过，则（    ） A．4 B．8 C．0 D． 【答案】C 【分析】法一：先由抛物线的准线方程求得抛物线的方程，再直接利用特殊直线法求得的坐标，从而得解； 法二：联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】法一： 因为抛物线的准线为，所以，即， 所以抛物线的方程为， 因为直线过， 所以可取直线为代入抛物线方程，计算得，， 所以； 法二： 依题意，直线的斜率必然存在，设直线为，，， 联立，消去，得， 此时， 所以，则， 所以. 故选：C． 题型七、系数型定值 典例探究 【典型例题】已知方向向量为的直线过点和椭圆的右焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足，． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为．设，，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据直线的方程为得椭圆右焦点坐标根据题中条件和关于直线的对称点在椭圆的右准线上，结合解得椭圆的方程． （2）设，分类讨论当和时，根据直线与椭圆相交问题计算的值． 【详解】（1）由题意知，直线的方程为．① 令，得， 所以右焦点坐标为，所以且． 由，可知点和点关于直线对称． 又过原点垂直于的直线方程为．② 由①和②得. 因为关于直线的对称点在椭圆的右准线上， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）可知，椭圆的焦点， 如图，设，则有． 当时，直线的方程为，所以． 代入，消去并整理得． 所以，所以． 因为，所以，所以． 同理得，所以； 当时，，轴，根据椭圆对称性，， 所以若，则；若，则； 根据三角形相似可知 所以有， 当时，，轴，根据椭圆对称性，， 若，则；若，则； 根据三角形相似可知 所以有， 综上所述，的值为10． 举一反三 【7-1】已知椭圆为椭圆的左焦点，过点的直线分别交椭圆于两点，设直线与轴交于点，，，试求的值． 【答案】 【分析】设，直线，结合弦长公式得．，．（*）直线与椭圆联立化简得．进而有．结合点在直线上得，计算得． 【详解】由题知， 如图20，设，直线，结合弦长公式 则． 同理，所以．（*） 又因为，代入得， 整理得． 于是． 代入（*），得，即． 点在直线上得，所以． 【7-2】设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为．设，求的值． 【答案】10 【分析】联立直线与椭圆的方程得韦达定理，进而根据向量的线性关系可得的表达式，代入化简即可求解. 【详解】如图，设，, 则，其中， 与椭圆方程联立可得，整理得． 故． 同理可得． 由于即可得 由于在椭圆上，故有． 从而 ． 【7-3】已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值0 【分析】（1）由双曲线的离心率为2，得到，再由直线的方程为，代入双曲线的方程，求得，结合，进而得到竖曲线的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，由，且，求得的范围，以及和，假设存在，使得两点关于直线对称，得到，进而得到线段的中点坐标为，结合中点不在直线上，得出结论； （3）解：设，求得和，根据题意，求得和，化简得到，即可得到答案. 【详解】（1）解：设双曲线的焦距为， 因为的离心率为2，所以，即，所以， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，代入，得， 所以，解得，所以的方程为． （2）解：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 设， 可得，且， 解得，且， 又由，，① 假设存在，使得两点关于直线对称，则与直线垂直，所以， 所以，且，则， 因此线段的中点坐标为， 又因为，即点不在直线上， 所以不存在，使得两点关于直线对称． （3）解：设， 由在直线上，可得，即；② 又由在直线上，可得，③ 因为，可得， 即，解得， 同理：由，可得， 结合①②③，得 ， 所以为定值0． 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知双曲线：的渐近线方程为，且焦距为，过双曲线中心的直线与双曲线交于两点，在双曲线上取一点（异于），直线，的斜率分别为，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的两条渐近线方程以及焦距，求得，，进而得到双曲线方程，设出点，可得，点，代入双曲线方程，两式相减，结合直线的斜率化简整理可得所求值． 【详解】双曲线的两条渐近线方程为，所以， 因为焦距为，所以， 又，所以，，故双曲线的方程为． 设点，则根据对称性可知，点，，， 所以，且，，两式相减可得. 故选：B 【突破提升训练・2】已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．无法确定 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线方程，得到，代入两点斜率公式即可化简求解. 【详解】设直线方程为，联立抛物线方程可得， 设，，可得， 则 故选：A 【突破提升训练・3】已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，则直线OA、OB的斜率之和为（    ） A．－2 B．－2P C．－4 D．－4P 【答案】C 【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标，从而可设直线的方程为，设，联立直线与抛物线得交点坐标关系，根据直线斜率的坐标运算化简代入即可得答案. 【详解】抛物线：的焦点坐标为， 所以直线的方程为，设 则，消去得，，所以， 则. 故选：C. 【突破提升训练・4】已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合直线与曲线的公共点个数先求出，然后结合抛物线的定义即可求解. 【详解】曲线表示抛物线与， 由得， 因为，所以， 可得抛物线与直线有两个交点， 曲线与直线有3公共点， 则直线与抛物线相切， 把代入得， 则，解得， 由对称性可知，设与轴的交点为， 则， 若为定值，则为定值， 则点分别为抛物线与的焦点， 此时为抛物线上一点到轴距离 与其焦点距离差的2倍，即. 故选：D． 【突破提升训练・5】已知椭圆的离心率，椭圆与轴正半轴的交点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点分别作抛物线的切线和，直线和相交于点，则 A．0 B．1 C．-1 D．不确定 【答案】A 【详解】由题知，，解得，故 椭圆的方程为 ，，解得 抛物线的方程为 直线和抛物线有两个交点，直线的斜率存在， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去，得 抛物线的方程为， 过抛物线上两点的切线方程分别为， 即， 联立直线方程，解得 即点的坐标为 故选 【突破提升训练・6】已知椭圆C：，F1、F2分别为其左、右焦点，A1，A2分别为其长轴的左右端点，动点M满足MA2⊥A1A2，A1M交椭圆于点P，则的值为（   ） A．8 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【详解】A1 (−4,0), A2 (4,0),设M(4,),P(x1,y1)， 则=(x1,y1),=(4,t). 直线A1 M:y−0=(x+4),即y=x+. 代入椭圆,得,故此方程的两个根分别为−4和x1, 由韦达定理可得x1−4=,∴x1= +4,∴y1=. ∴=( +4,), ∴= = 故选B 【突破提升训练・7】已知抛物线的准线为，O为坐标原点，A、B都在此抛物线上，若直线过，则（    ） A．4 B．8 C．0 D． 【答案】C 【分析】法一：先由抛物线的准线方程求得抛物线的方程，再直接利用特殊直线法求得的坐标，从而得解； 法二：联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】法一： 因为抛物线的准线为，所以，即， 所以抛物线的方程为， 因为直线过， 所以可取直线为代入抛物线方程，计算得，， 所以； 法二： 依题意，直线的斜率必然存在，设直线为，，， 联立，消去，得， 此时， 所以，则， 所以. 故选：C． 【突破提升训练・8】已知抛物线C：，点M为直线上一动点，过点M作直线，与抛物线C分别切于点A，B，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．0或1 【答案】A 【分析】设切点和，利用导数的几何意义求出切线、的方程，进而是方程的两实根，求出， 根据平面向量的坐标表示化简计算即可. 【详解】由，得，则， 设，，所以， 得切线的方程为，即， 切线的方程为，即， 又两条切线过切点，有、， 所以是方程即的两实根， 得， 又， 所以 将代入上式，得. 故选：A 【突破提升训练・9】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点，为的内心，若直线和的斜率分别为，，其中为坐标原点，则 . 【答案】/ 【分析】结合椭圆性质与内切圆中的切线长定理，可得，设，可得，则有，再由等面积可得，从而表示斜率即可得解. 【详解】由题知，，，，， 设，的内切圆与，，的切点分别为，，， 则、、， 所以，即， 因为， 所以，所以，， 易知与同号，所以，所以， 所以. 故答案为：. 【突破提升训练・10】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任一点，为的内心，为坐标原点，则直线与的斜率之比 ．（用表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，结合三角形内切圆性质及椭圆定义，且点坐标表示点的坐标，再利用斜率坐标公式化简即得. 【详解】设内切圆与分别相切于点，椭圆半焦距为c， 有，，则，即， 则，又 （e为椭圆的离心率），而，则， 即，因此， ，所以. 故答案为：. 【突破提升训练・11】已知椭圆的上下顶点分别为，过点的直线交椭圆于两点，记，则 . 【答案】3 【分析】设，直线斜率为，直线：，直线：，联立直线和椭圆得到，，再把直线，直线分别与直线联立求得和坐标，利用等式得到和，两式相乘即可得出答案. 【详解】如图，，    设，直线斜率为， 则直线为， 联立，得， 则，， 设直线：，直线：， 联立，得， 联立，得， 由得， 解得，① 由得， 解得，② ①②得：， 即，则. 故答案为： 【突破提升训练・12】已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线：与交于A，B两点，过上的点（与A，B不重合且不在坐标轴上）作轴的平行线交线段于点（与A，B不重合），直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线，的斜率都存在，分别记为，. （i）求证：； （ii）判断是否为定值？并说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii），理由见解析 【分析】（1）由题意得，进而求解即可； （2）（i）根据面积关系结合面积公式可得平分，即可证得； （ii）联立直线方程和椭圆方程消元后结合在椭圆上化简前者后可得. 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）因为， 则， 因此， 而，有，即平分， 故直线的斜率互为相反数，则. （ii）设， 由，得， 因，设 则有，而， 化简得， 即 ， 于是， 故， 化简得， 又因在椭圆上，则，即则， 从而， 整理得， 又因不在直线上，即， 则得，即，因， 于是，故为定值． 【突破提升训练・13】在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入方程计算即可. （2）假设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求得斜率范围，然后假设圆的方程，并于双曲线方程联立，最后将联立之后的两方程系数对应成比例，计算即可. 【详解】（1）因为，在双曲线E上， 所以，故，所以E的标准方程为． （2）如图： 设直线l：，由 得，① 所以，因为直线l与双曲线E的左支交于A，B两点， 所以，且，故， 设圆P：，，由， 得，② 由双曲线的右顶点D在圆上得， 由①②得. 由，可得③ 由，可得④ 所以3④③可得，即． 【突破提升训练・14】已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； (3)过点作，垂足为，求的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）代入点坐标并结合离心率公式即可得到方程； （2）设直线的方程为：，联立椭圆方程得到韦达定理式，化简得到，再计算得，同理，最后代入化简即可； （3）求出直线过定点，再根据两点距离即可得到答案. 【详解】（1）由已知得，即，得， 故， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可得， 由题意知均存在且不等于0， 则设直线的方程为：， 则． 设直线方程为： 与椭圆方程联立得：，， 所以，因为， 故，因此． 同理． 斜率为 ， 故. （3）由（2）知：直线的方程为：， 即 所以直线过定点． 因为，由几何意义知：， 故的最大值为．    【突破提升训练・15】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用双曲线的顶点和离心率，结合双曲线方程求出 即可. （2）设出直线的方程与双曲线联立，利用韦达定理及斜率公式，推理计算即可. （3）由（2）可得斜率之间的关系，联立方程求出点坐标，再求出三角形面积的函数关系并求出最小值. 【详解】（1）（1）由题意知，因为， 得，， 所以双曲线的方程为. （2）（i）依题意，设直线的方程为，. 由消去x并整理得. 由直线与双曲线的右支交于两点，可得 . 解得. 则，. 即，而. 所以 为定值. 【突破提升训练・16】已知抛物线经过点，过的焦点作斜率为的直线，与交于两点（在第一象限），过点作直线分别与交于另外两点，设直线的斜率为. (1)求的方程； (2)证明：为定值； (3)过点作两条相互垂直的直线，分别与交于另一点（点均与，不重合），若直线与的斜率之积为，证明直线与相交于定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析，定点为. 【分析】（1）将点坐标代入方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点斜式写出、、的方程，将所过点代入得、，结合即可证； （3）由（2）有，得，结合得到，设直线的方程为，联立抛物线求得，同理有，两点式写出直线并确定所过定点，根据（2）结论得，判断也过定点，即可证. 【详解】（1）根据题意，将代入有，解得，所以的方程为. （2）由（1）可知，设， 则，从而直线为， 即，将代入，有. 同理，直线为，直线为， 将代入，有，又， 所以，为定值. （3）由（2）知，所以，从而点的坐标为. 故， 由，解得（负值舍去）， 所以，易知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，联立， 整理得，所以，即. 设直线的方程为，同理可得. 直线的方程为， 即 ， 所以直线过定点. 另一方面，因为，所以，即直线与垂直， 同的垂直关系求直线所过的定点，易知直线也过点， 即直线与相交于定点，定点坐标为. 【突破提升训练・17】已知抛物线，焦点为F，准线为l，线段OF的中点为G.点P是C上在x轴上方的一点，且点P到l的距离等于它到原点O的距离. (1)求P点的坐标. (2)过点作一条斜率为正数的直线与抛物线C从左向右依次交于A，B两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义结合题设求得P点的横坐标，再代入抛物线方程求得纵坐标； （2）将等价转化为直线和的倾斜角互补，即，然后通过联立直线与抛物线C的方程，由韦达定理表示A、B两点坐标代入计算即可. 【详解】（1）因为抛物线，所以. 又为线段的中点，所以. 根据抛物线的定义，点到l的距离等于， 因为点到l的距离等于它到原点的距离， 所以，从而为等腰三角形. 所以. 设点的坐标为，代入，解得. 故点的坐标为. （2）设直线的方程为， 代入，并整理得. 由直线与抛物线交于、两点，得， 结合，解得. 由韦达定理，得，， 所以直线和的倾斜角互补，从而. 结合轴，得，故. 【突破提升训练・18】如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：是定值； (3)求三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据焦点坐标可求，故可求椭圆方程； （2）如图，延长交椭圆于，利用对称性结合弦长公式、韦达定理可求的值; （3）利用椭圆定义结合三角形相似可求，故可求三角形的周长． 【详解】（1）由题设，椭圆的半焦距为且焦点在轴上，故且， 故，故椭圆方程为. （2）    如图，延长交椭圆于，由对称性可得. 因为直线与直线平行，故直线的斜率不为零， 设，直线，则， 则. 由可得， 故，，， 故， 故. （3）因为，所以， 即，即． 所以． 由点在椭圆上知，，所以． 同理可得，． 所以 ． 而，故三角形的周长为. 【突破提升训练・19】已知椭圆： 的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程． (2)如图，已知点，（其中，），满足以线段为直径的圆过点，且交椭圆的第一象限于点． ①若，求点的纵坐标； ②若线段交轴于点，求的值． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求可得椭圆方程； （2）①由条件可得，结合向量数量积坐标运算公式列方程可求，设，根据关系及点在椭圆上列方程求， ②由条件可得，所以，设，根据关系及点在椭圆上列方程可得，再证明，由此可得结论. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由条件可知，，， 所以，， 所以椭圆的方程为． （2）由已知，，， 因为点在以为直径的圆上，所以，故， 又，， 所以，故，即． 设，，， ，， 由题意可知，解得， 则点的纵坐标为． 由题知，，，， 由，可得， 所以，故， 设，，，，， 因为，故， 所以，且， 化简得，又， 所以，即， 由，得，所以． 【突破提升训练・20】如图，已知抛物线过点，过定点的直线与曲线交于两点，以为直径的圆交轴于两点，为原点，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】先由已知条件解出抛物线方程，再设直线 ，代入抛物线方程，运用韦达定理， 求得圆的直径式方程，设，再用韦达定理，求得为定值，即可得证. 【详解】证明：由题意得，故，所以． 设，则，即. 设，则以为端点的圆为， 即可得． 令，设， 则是方程，即的两个实根， 故有． 又 ， 所以． 综上，即证得的为定值. 【突破提升训练・21】已知双曲线的焦距为，且双曲线的焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)点是双曲线右支上的动点，设直线是双曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，2 【分析】(1) 由双曲线的焦点到渐近线的距离得，又因为，得到，解方程组求出，代入方程即可. (2)分两类讨论：当直线斜率不存在时，可求出点坐标，直线的方程及、的坐标，代入面积公式即可得到定值；当直线斜率存在时，设直线的方程，联立方程组消去，令即可得到，设直线与轴交于，则，联立方程组求出、的坐标，代入面积公式，再利用消去，即可化简约掉得到定值. 【详解】（1）如图， 设双曲线的渐近线方程为，焦点为， 则双曲线的焦点到渐近线的距离为，即. 又，所以，则， 解得，， 则双曲线的方程为. （2）证明：当直线斜率不存在时，易知此时，直线：， 不妨设，，所以； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 与双曲线的方程联立，消去可得， 直线与双曲线的右支相切，可得，故， 设直线与轴交于，则， 所以， 又因为双曲线的渐近线方程为， 联立，可得，同理可得， 则． 综上，面积为定值2． 【突破提升训练・22】已知双曲线的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线的距离之积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线于两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由点到直线的距离公式及双曲线定义计算即可； （2）分类讨论斜率的存在情况，联立直线与双曲线、渐近线方程结合韦达定理计算面积即可. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为和， 所以有， 由题意可得， 又，则，解得则双曲线的方程为 （2） 当直线斜率不存在时，易知此时，直线， 不妨设，得； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 与双曲线的方程联立，可得， 由直线与双曲线的右支相切，可得，故 设直线与轴交于，则． 又双曲线的渐近线方程为， 联立，可得，同理可得， 综上，面积为2． 【突破提升训练・23】过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线. (1)求的方程； (2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设直线与轴交于，由三角形相似关系可得，由此可构造方程求得的值，从而得到抛物线方程； （2）解法一：求得，设，则，直线经过坐标原点得，，在抛物线上得，直线与直线联立方程计算可得，计算即可得证的面积恒为定值；解法二：直线为，直线AE方程为，设直线方程为，点和是直线与抛物线的交点结合韦达定理可得，点在直线上得，点在直线上得，直线与直线联立得，计算可得，计算即可得证的面积恒为定值. 【详解】（1）设直线与轴交于，由几何性质得 因为直线为抛物线的准线，直线为圆的切线， 所以， 在与中，为公共角， 所以，， 即，即，解得： 故抛物线的标准方程为; （2）解法一：依题意：，则，设， 则， 因为直线经过坐标原点，所以， 又，在抛物线上，，两式作差得，化简得， 因为，所以， 化简可得，即， 联立，得： ， 将代入得，为定值. 故. 解法二：向左平移4个单位后，新抛物线为， 则与轴的交点为， 因为直线经过原点，所以设其方程为， 设直线方程为，设直线方程为， 点和是直线与抛物线的交点，代入中得： ， 设该方程的两根为和，根据韦达定理：① 点在直线上，满足：② 点在直线上，满足：③ 联立方程： 由②和③得：， 利用①中的韦达定理结果：， 所以，即点的横坐标恒为， 故. 【突破提升训练・24】已知抛物线：. (1)若点为抛物线上一点，证明：抛物线在点处的切线方程为； (2)设，是抛物线：上两点，过点，分别作的切线交于点，点，分别在线段，的延长线上，直线与抛物线相切于点. （i）证明：； （ii）记，的面积分别为，，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）2. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程得证. （2）（i）利用（1）的结论，设出切点坐标，求出直线的方程，两两联立求出点的横坐标即可推理得证；（ii）令，利用割补法，结合三角形面积比列式计算得解. 【详解】（1）二次函数，求导得，抛物线在点切线的斜率为， 则切线方程为，而，整理得， 所以抛物线在点处的切线方程为. （2）（i）令，设点的横坐标分别为， 由（1）知，直线的方程分别为，，， 联立， 因此，同理， 所以. （ii）由（i），令， 则， ， ， ， ， 所以的值为2. 【突破提升训练・25】已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的离心率公式即可求解； （2）设，，设直线方程为，由及韦达定理得，，由平面向量数量积的坐标运算得 ，故，求解即可. 【详解】（1）双曲线的焦点为，， 对椭圆：有， 又椭圆的离心率为，则由，得， 又有， 椭圆的标准方程为； （2）设，，设直线方程为， 由，整理得：， 由， ，， ，， ， 要使为定值，则， 即，即， 解得：或舍， 故． 【突破提升训练・26】已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为. (1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值； (2)证明：； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设，再借助点到直线距离公式计算即可得； （2）先推导过双曲线上的一点的切线方程，将其与两条渐近线方程联立计算可得、两点坐标，推理得到点为中点，即可证得； （3）借助向量数量积坐标公式计算即可. 【详解】（1）设，则有，即， 双曲线的两条渐近线的方程为，则， 故； （2）设，先证明：双曲线在处的切线方程为. 证明：由两边对求导：，即， 于是过点的切线斜率为：，则切线方程为：（*）， 因在双曲线上，则有， 故（*）可化成：，即得证. 记, 将代入，解得，， 将代入，解得， 则有， ， 即点为中点，故； （3）设，则， 又， 故. 【突破提升训练・27】已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点. (1)若直线又过的左焦点，求的值； (2)若点的坐标为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知求得的坐标，写出直线方程，与双曲线方程联立，结合根与系数的关系及数量积的坐标运算求解； （2）设直线方程为联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系及平面向量数量积的坐标运算求解. 【详解】（1）解：由双曲线，可得，所以， 所以，设，， 所以直线的方程为， 由联立得：， 所以， ， 所以； （2）解：由题意知直线的斜率存在，不妨设直线， 由，可得， 所以， 又， 所以 ， 所以为定值. 【突破提升训练・28】已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且，圆O的方程是． （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求证：为定值； （3）若过圆O上点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）设，的坐标，利用点在双曲线上，，可得，利用双曲线的定义，可得双曲线的方程； （3）确定两条渐近线方程，设双曲线上的点，，求出点到两条渐近线的距离，利用，在双曲线上，及向量的数量积公式，即可求得结论． （3）设，，，，切线的方程为：代入双曲线中，利用韦达定理，结合向量的数量积，可得结论． 【详解】解：（1）设，的坐标分别为 因为点在双曲线上，所以，即，所以 在△中，，，所以 由双曲线的定义可知： 故双曲线的方程为： （3）解：由条件可知：两条渐近线分别为， 设双曲线上的点，，则点到两条渐近线的距离分别为， 所以 因为，在双曲线上，所以 故 设和的夹角为，则由，可得 所以 （3）设，，，，切线的方程为： ①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得： 所以： 又 所以 ②当时，易知上述结论也成立． 所以 所以 【突破提升训练・29】在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过联立直线和抛物线方程得到交点纵坐标的关系，再根据直线方程求出特定点的纵坐标，最后通过坐标关系判断中点. （2）方法1通过对两个向量数量积等式进行变形和运算，消去从而得到的值；方法2则是利用向量数量积的关系以及等式之间的运算，结合一些代数恒等式来求解的值. 【详解】（1）设. 设，与抛物线联立，得， 则，即，同理可得. 又因为，令，得，同理， 将代入得，所以为的中点. （2）方法1：设，因为，得①， 由，得， ①②， 得， 即， 即. 因为，所以， 则，即为定值-4. 方法2：设，因为，所以， 即，同理得， 所以， 由，得①， 同理②，③， 由①-②，得④， 由①+②+③，得， 即， 而 故结合④可得， 则 ， 所以为定值-4. 【突破提升训练・30】已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线E的左、右顶点分别为、，过点作斜率为k的直线交双曲线E的右支于M、N两点，直线、分别与直线l：交于点P、Q，，试探究的取值是否与k有关？若有关，求与k的关系式；若无关，求的值． 【答案】(1) (2)的取值与k无关， 【分析】（1）利用离心率公式和点到直线距离公式即可求出方程； （2）设出直线方程，并与双曲线方程联立，由韦达定理得出点横坐标关系式；再分别写出直线、方程，并与直线联立得点坐标；由，得出表达式，并化简出定值. 【详解】（1）由题意知，双曲线的渐近线方程为，顶点为，离心率， 所以，.由顶点到渐近线的距离为知，， 解得.故双曲线的标准方程为. （2）由题知, ，，，直线方程为. 设，， 由，得， 则有，，，. 直线方程为，与直线联立得点； 直线方程为，与直线联立得点； 因为，所以 ，其中. 由，得， 代入上式得 . 所以的取值与k无关，. 【突破提升训练・31】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，理由见解析 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程计算可得； （2）①设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用判别式，结合题意求解即可；②设出直线的方程，联立抛物线方程消元，利用坐标表示出直线，方程，进而可得、的坐标，表示出，利用韦达定理进行化简即可得解. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，从而，故抛物线的方程为． （2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为， 由得， 依题意，解得且． 又直线与轴相交，故直线不过点，从而， 所以直线斜率的取值范围为． ②为定值2．理由如下： 设，直线． 联立直线与抛物线的方程，可得， 根据韦达定理有．则, 故， 直线的方程为， 令，则，同理可得． 由得,得 同理， 则, 所以为定值，定值为2． 【突破提升训练・32】已知曲线C上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等.，直线过点且与C有两个不同的交点，，直线，分别交y轴于点M，N. (1)求C的方程； (2)若直线，的斜率分别是，，且，求的值及的斜率； (3)设为原点，若，判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)-4；-1 (3)是，2 【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义，得到，进而求得的方程； （2）由直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理求得和，得到，结合斜率公式，即可求解； （3）设直线，联立方程组，由，得到，且，，求得的方程，得到，同理得，根据题意，得到和，进而求得的值. 【详解】（1）解：因为曲线上任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等， 所以曲线是以为焦点，以为准线的抛物线，且，可得 所以的方程为. （2）解：由题意得，直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 由韦达定理得，所以，同理可得， ，所以， 直线的斜率. （3）解：根据题意，设且， 联立方程组，整理得， 由，解得，且，， 直线，令，可得， 所以，同理得， 因为，故， 可得，所以，同理得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $