精品解析：江苏省宿迁市宿豫城区三校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

九年级数学第一次学业质量监测卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径是，线段的长为，则点P（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 3. 如果三角形的两边长分别为3和5，第三边是方程的解，那么这个三角形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 10或12 D. 6 4. 已知一次函数的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个根是0 5. 如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （ ）人 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 已知，且，则的值为（ ）． A. B. C. 5 D. 8. 如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 9. 一元二次方程的解是____________． 10. 平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为___________． 11. 如图，在中，已知，则弧的度数是___________． 12. 方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________________ 13. 已知a、b实数且满足，则的值为_______． 14. 已知是一元二次方程，则的值为______． 15. 如图，点B，E在半圆O上，四边形，四边形均为矩形．若四边形中，，则的长为______． 16. 关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 17. 若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的值为______． 三、解答题（本大题共10题，共96分） 18. 解下列方程：（1）x2 -4x+1=0 （2）3(x-5)2=2(5-x) 19. 如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． （1）圆心的坐标为______； （2）求的半径； （3）若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根． （2）若是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根． 22. 瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 23. 如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若的长等于的半径，，求的度数． 24. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 25. （1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 26. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“3倍根方程”． （2）若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 27. 【初步探究】（）如图，为的直径，点在的延长线上，在上任取一点（不与两点重合），连接，．判断与的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（）如图，矩形中，，，分别是直线上的两个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次学业质量监测卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是，是一元一次方程；只有当时，它才是一元二次方程；由于题目中没有明确，所以不能确定它一定是一元二次方程；不符合题意； B、方程中，含有和两个未知数，不符合“只含有一个未知数”的要求，因此它是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程，因为分母中含有未知数，它是分式方程，而一元二次方程是整式方程，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意； D、方程，整理后为，这个方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，同时它也是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；符合题意； 故选：D． 2. 已知的半径是，线段的长为，则点P（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的大小关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：∵的半径是，线段的长为， ∴点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在内． 故选：C． 3. 如果三角形的两边长分别为3和5，第三边是方程的解，那么这个三角形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 10或12 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式等知识．先求出方程的解，再分当时，当时，两种情况讨论即可得解． 【详解】解：解方程得：， 当时，三边长度分别为：，， ∴不能构成三角形， 当时，三边长度分别为：，，， ∴能构成以3和4为直角边长的直角三角形， ∴这个三角形的面积为， 故选：D． 4. 已知一次函数的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个根是0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：根据图象可得，， 所以， 因为， 所以， 所以方程没有实数根． 故选：B． 5. 如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 6. 现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （ ）人 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 设每轮传染中平均一个人传染人，经过一轮传染有人患病，经过两轮传染有人患病，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， 根据题意可得， 整理得， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴每轮传染中平均一个人传染 人． 故选：B． 7. 已知，且，则的值为（ ）． A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把整理得，则，再因为，同理得，则和是方程 的两个根，运用根与系数的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则方程变为， ∵， ∴设，方程同样变为：， 因此，和是方程 的两个根， ∴， 故选：D． 8. 如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接交延长，交于点，过点作，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，当点、、共线时有最大值，最大值是，所以的最大值是． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作， 点的坐标为， ，， ， 点，点关于原点对称， ， ， ， ， 当最大时最大， 当点、、共线时有最大值， 的半径为， 的最大值是， 的最大值是． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 9. 一元二次方程的解是____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程．用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 或， ， 故答案为：，． 10. 平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点M在圆内或圆外进行讨论． 【详解】解：当点M在圆内时，的直径长为，半径为； 当点M在圆外时，的直径长为，半径为； 即的半径长为或， 故答案为：或． 11. 如图，在中，已知，则弧的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧的度数． 根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴弧的度数是． 故答案为：． 12. 方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 13. 已知a、b实数且满足，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】考查了换元法解一元二次方程，设，由原方程得到求得t的值即可． 【详解】解：设，由原方程得到， 整理，得， 所以或（舍去）， 即的值为3． 故答案为：3． 14. 已知是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点B，E在半圆O上，四边形，四边形均为矩形．若四边形中，，则的长为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、圆的性质，连接与．根据矩形的性质，由四边形是矩形，得，．根据勾股定理，由中，，，得．根据圆上到圆心的距离均相等，由，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、圆的性质是解决本题的关键． 【详解】解：如图，连接与． 四边形是矩形， ，． 在中，，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 故答案为：13． 16. 关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 17. 若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的值为______． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式组解的情况求参数，根据一元二次方程解的情况求参数，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得出关于的不等式，求出的取值范围，再根据根的判别式及一元二次方程的定义求出的取值范围，进而综合两个解集即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围为， ∴符合条件的所有整数的值为，，， 故答案为：，，． 三、解答题（本大题共10题，共96分） 18. 解下列方程：（1）x2 -4x+1=0 （2）3(x-5)2=2(5-x) 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1） ； （2） 或 ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解法主要包括：配方法、直接开方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟记方程的解法是解题关键． 19. 如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，从而得到，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】略 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． （1）圆心的坐标为______； （2）求的半径； （3）若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 点在内，理由如下： ， 而， 点在内． 【解析】 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系． 【小问1详解】 解：圆心D如图所示； 圆心D坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由勾股定理得，的半径为． 【小问3详解】 略 21. 已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根． （2）若是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由得， ∴这个方程总有两个实数根； （2）m的值为4，方程的另一个根为1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，通过根求系数，解一元二次方程等内容，解题的关键是掌握一元二次方程的求解． （1）根据根的判别式列出代数式，利用完全平方公式进行整理，然后可得结论； （2）将根代入原方程即可求出参数，然后利用因式分解法求一元二次方程的解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴ ， ∴或 ∴，， ∴m的值为4，方程的另一个根为1． 22. 瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 【答案】27cm 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， 先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】∵，，分别垂直于点B，D， ∴，. ∵， ∴． 在中，根据勾股定理得， ∴． 23. 如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若的长等于的半径，，求的度数． 【答案】（1） 证明：是直径，， ， 是的垂直平分线， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质等； （1）由垂径定理得，由线段垂直平分线的判定及性质，即可得证； （2）连接，由圆的定义得，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，，即可求解； 掌握垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 的长等于的半径， ， ， ， ， ． 24. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 25. （1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用： （1）利用配方法求解； （2）利用配方法得出，即可求解； （3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解． 【详解】解：（1）， ，； 故答案为：； （2）， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解：由题意得：，则， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴当时，有最大值，最大值为4． 即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 26. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“3倍根方程”． （2）若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 【答案】（1）是“3倍根方程” （2）50或 （3）17或 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程，得，然后根据“3倍根方程”定义即可； （2）由得，，根据“3倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可； （3）由关于的一元二次方程（m是常数）是“3倍方程”，设是的三倍，根据根与系数的关系得，，，解得，然后分情况代入解方程即可． 【小问1详解】 解（1）∵， ∴解得． ∵， ∴是“3倍根方程”． 【小问2详解】 ∵， 解得 ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． 【小问3详解】 ∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 27. 【初步探究】（）如图，为的直径，点在的延长线上，在上任取一点（不与两点重合），连接，．判断与的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（）如图，矩形中，，，分别是直线上的两个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值为________． 【答案】（）；（）；（） 【解析】 【分析】（）根据三角形的三边关系即可判断求解； （）根据两点之间线段最短可知，当点和半圆的圆心共线时，最小，利用勾股定理求出，进而即可求解； （）由可知点在以点为圆心、的长为半径的圆上，作矩形关于直线的对称矩形及点关于直线的对称点，同理（）知，当三点共线时，取最小值，利用勾股定理求出的值进而即可求解． 【详解】解：（），理由如下： 在中，， 即， ∵， ∴； （）如图，由两点之间线段最短可知，当点和半圆的圆心共线时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即线段长度的最小值为； （）由折叠可得，， ∴点在以点为圆心、的长为半径的圆上， 作矩形关于直线的对称矩形及点关于直线的对称点，如图， 同理（）知，当三点共线时，取最小值， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，两点之间线段最短，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，轴对称的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $