第十五章 轴对称 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 广西专版）

第十五章综合评价 宝 (时间：120分钟满分：120分) 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小 题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.) 1.以下四个代表不同运动项目的图标：艺术体操、游泳、羽毛球和 新 乒乓球，则符合轴对称的图标是 2.如图，将长方形沿对称轴折叠，在对称轴处剪掉一块，余下部分 弥 的展开图为 3.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线 p D为垂足，DE交AC于点E,且AC=8, BC=5,则△BEC的周长是 ( ）A 封 A.12 B.13 C.14 D.15 4.如图，直线1是一条河，P,Q是两个村庄，欲在1上的某处修建 一个水泵站M,分别向P,Q两村供水.现有如下四种铺设方案， 图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是 ( B D 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°，直线a∥b,顶点C在 直线b上，直线a交AB于点D,交AC于点E.若∠1=145°， 则∠2的度数是 A.409 B.45 C.50° D.35 D 20 (第5题图) (第6题图) (第7题图) 6.如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心， g AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧 交于点D,连接AD,与CB的延长线交于点E.下列结论错误 的是 ) 第1页（共6页） A.CE垂直平分AD B.CE平分∠ACD C.△ABD是等腰三角形 D.△ACD是等边三角形 7.如图，在等边三角形ABC中，BC=8,点D是AB的中点，过点 D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC于点E,则BE的长 为 A.3 B.4 C.5 D.6 8.如图，在平面直角坐标系中，△OBC的顶点O(0,0),B(一6， 0),且∠C=90°，OC=BC,则点C关于y轴对称的点的坐标 是 A.(3,3) B.(-3,3) C.(-3,-3) D.(3√2,3√2) (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC,则与 △ABC成轴对称且以格点为顶，点的三角形共有 ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 10.如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B,C,E三点在同一 条直线上.若AB=3,∠BAD=150°，则DE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分线交于点O.若 ∠BOC=80°，则∠A的度数为 A.40° B.45° C.54° D.50° R (第11题图) (第12题图) 12.如图，在△ABC中，AB=20cm,AC=12cm,点P从点B出发 以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2cm/s 的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也 随之停止运动.当△APQ是以∠A为顶角的等腰三角形时， 运动的时间是 A.2.5s B.3 s C.3.5s D.4s 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.） 13.在平面直角坐标系中，点M(a,b)与点N(3,一1)关于x轴对 称，则2a+b的值是 14.如图是屋顶的“人字形”钢架，其中斜梁AB=AC,顶角∠BAC= 120°，跨度BC=10m,AD为中柱（即底边BC的中线），两根 支撑架DE⊥AB,DF⊥AC,则DE十DF= m. 第2页（共6页） (第14题图) (第15题图) (第16题图) 15.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AC上一点，且BC=BD 若∠CBD=46°，则∠A的度数为 16.如图，在△ABC中，BC=5cm,BP,CP分别是∠ABC, ∠ACB的平分线，且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长 是 cm. 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.) 17.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,AE⊥AB交BC于点E, ∠BAC=120°，AE=3cm,求BC的长. 18.(10分)学习了等腰三角形后，小明发现等腰三角形顶角顶点 处的外角正好是其底角的两倍，于是他对“作一个角等于已知 角的两倍”有了新的思路，请根据他的思路完成以下作图与推 理证明填空，并注明其中蕴含的数学依据：用直尺和圆规，作 线段OP的垂直平分线MN分别交OA于点M,交OB于点 N,连接MP.(只保留作图痕迹) 求证：∠AMP=2∠AOB 证明：.MN是OP的垂直平分线， ∴.OM=① （依据：② ∴.∠AOB=③ (依据：等边对等角) .∠AMP是△MOP的外角， .∠AMP=④ (依据：⑤ ∴.∠AMP=2∠AOB. 第3页（共6页） 19.(10分)如图，一艘轮船以40 n mile/,h的速度沿正北方向航 行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2h后 到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上.当轮船到 达灯塔C的正东方向D处时，又航行了多少海里？ 北 60 30 20.(10分)如图，以△ABC的两边AB,AC为边向外作等边三角 形ABD和等边三角形ACE,DC,BE相交于点O. (1)求证：DC=BE; (2)求∠BOC的度数. 第4页（共6页） 21.（10分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过点B作AD的 垂线，垂足为点D,DE∥AC,交AB于点E,CD∥AB. 求证：(1)△BDE是等腰三角形： (2)CD=BE. 22.(12分)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1,格点三角形（顶，点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点 A,C的坐标分别为（一4,5），（一1,3）. (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出△ABC关于y轴对称的△AB'C'; (3)写出点B的坐标； (4)在y轴上找一点P,使得PB+PC的值最小. 第5页（共6页） 23.(12分)【阅读材料】证明两条线段相等，常用的方法是应用全 等三角形或等腰三角形的性质.如果两条线段不在同一个三 角形中，且所在三角形明显不全等，此时就需要添加辅助线来 构造全等三角形. (1)【理解应用】如图①，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D为 BC上一点，且CD>BD,连接AD,小明对△ABC进行了如 下操作：在CD上取一点E,使得AE=AD,连接AE,则可证 明△ABD≌△ACE,请补充小明操作过程的证明； (2)【类比探究】如图②，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD, ∠B+∠D=180°.求证：CD=CB; (3)【拓展应用】如图③，已知△ABC是边长为5cm的等边三角 形，点E在CA的延长线上，且AE=1.5cm,连接EB,在线段 BC上取点F,连接EF,使得EB=EF,求BF的长 D 图① 图② 图③ 第6页（共6页）第十五章综合评价 1.D2.D3.B4.D5.A6.D7.C8.A9.C10.D11.A12.D13.7 14.515.46°16.517.解：：AB=AC,∠BAC=120°，∴∠B=∠C=号(180°- ∠BAC)=合X180-120)=30.:AELAB,∴∠BAE=90,∠EAC=∠BAC- ∠BAE=120°-90°=30°，∴∠C=∠EAC,∴.EC=AE=3cm.在Rt△ABE中，∠B= 30°，∴.BE=2AE=2X3=6(cm),.BC=BE+EC=6十3=9(cm).18.解：如图. ①MP②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③∠MPO④∠AOB+∠MPO⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 之和19.解：：∠CBD是△ABC的外角，∴.∠BCA=∠CBD-∠A=60°-30°=30°， .∠BCD=∠A,∴.BC=AB=2×40=80(n mile).在Rt△BDC中，：∠CBD=60°， ∴.∠BCD=30,BD=号BC=号×80=40(n mile.)答：当轮船到达灯塔C的正东方 向D处时，又航行了40 n mile.20.解：(1)：△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴·∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB,AE=AC,∴.∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC, AD=AB, 即∠DAC=∠BAE,在△DAC和△BAE中，∠DAC=∠BAE,·△DAC≌△ AC=AE, BAE(SAS),∴.DC=BE;(2)△DAC≌△BAE,.∠ADC=∠ABE,∴.∠ADB= ∠ODB+∠ADC=∠ODB+∠ABE=60°，∴.∠BOC=∠ODB+∠OBD=∠ODB+ ∠ABD+∠ABE=(∠ODB+∠ABE)+∠ABD=60°+60°=120°.21.证明：(1)：AD 平分∠BAC,.∠CAD=∠BAD.DE∥AC,∴.∠CAD=∠ADE,.∠ADE= ∠BAD.BD⊥AD,∴.∠BAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=90°，∴.∠BDE= ∠ABD,∴.DE=BE,∴△BDE是等腰三角形；(2)由(1)，知∠ADE=∠BAD,.AE= ∠CAD=∠EDA, DE.:CD∥AB,.∠EAD=∠CDA.在△ACD和△DEA中，AD=DA, .△ACD ∠CDA=∠EAD, ≌△DEA(ASA),CD=AE,.CD=DE.由(1)，知DE=BE,∴.CD=BE.22.解： (1)如图： (2)如图，△A'BC'即为所求：(3)点B的坐标为 (2,1);(4)如图，点P即为所求.23.解：(1)AB=AC,∴∠B=∠C.AD=AE, ∠B=∠C, ·∠EDA=∠DEA,.∠BDA=∠CEA.在△ABD和△ACE中，」 ∠BDA=∠CEA, AB=AC, ,.△ABD≌△ACE(AAS):(2)如图②，在AB上截取AE=AD,连接CE.·AC平分 AD-AE, ∠BAD,∠EAC=∠DAC.在△ADC和△AEC中， ∠DAC=∠EAC,.△ADC≌ AC=AC, △AEC(SAS),∴.DC=EC,∠D=∠AEC.:∠B+∠D=180°，∠CEB+∠AEC= 180°，.∠B=∠CEB,.CB=CE,.CD=CB:(3).EF=EB,.∠EBF=∠EFB. △ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，∠EBF=∠EBA十∠ABF=∠EBA 十60°.：∠EFB=∠FEC+∠C=∠FEC+60°，∴∠EBA=∠FEC.如图③，在AC上 第40页（共60页） 取一点M,使CM=CF,连接FM.:∠C=6O°，∴.△CFM是等边三角形，∴.FM=CF, ∠CMF=60°.·∠BAE=180°-∠BAC=180°-60°=120°，∠EMF=180°-∠CMF= ∠BAE=∠EMF, 180°-60=120°，·∠BAE=∠EMF.在△ABE和△MEF中，∠EBA=∠FEM,.△ABE BE=EF, ≌△MEF(AAS),.AE=MF.:FM=CF,∴.CF=AE=1.5cm.'BC=5cm,∴.BF =BC-CF=5-1.5=3.5(cm),即BF的长为3.5cm E 图② 图③ 期中综合评价 1.A2.C3.A4.D5.C6.D7.B8.B9.B10.B11.A12.C13.2 14.415.(-1,3)或(-1，-1)16.417.解：(1)如图， 点E即为所 B 求：(2)818.解：(1)：点B为线段DE的中点，∴BD=BE.又∠DBC=∠EBA,BC =BA,..△DBC≌△EBA(SAS),.∠CDB=∠E,.CD∥EF:(2)CD∥EF, ∴∠CDF+∠DFE=180°.∠DFE=58°，.∠CDF=122.DE平分∠CDF, ÷∠CDB=号∠CDF=61,∠E=∠CDB=61.19.解：(I):AB=AC,∴∠ABC =∠ACB.·BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,∴·∠OBC=7∠ABC,∠BCO= 2∠ACB.∴∠OBC=∠BCO,∴OB=OC,∴△OBC是等腰三角形：(2)直线OA垂直 平分线段BC.理由如下：由(1)知OB=OC,点O在线段BC的垂直平分线上.：AB =AC,点A在线段BC的垂直平分线上，∴直线OA垂直平分线段BC.20.解： (1)∠C=3∠B,∠C=75°，∴.∠B=25°，.∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.：AD平 分∠BAC.∴∠BAD=号∠BAC=40,.∠ADE=∠BAD+∠B=65.:AELBC, ∴.∠AED=90°，∴∠DAE=90°-∠ADE=90°-65°=25°；(2)设∠B=a,则∠C=3a, ∠BAC=180-∠B-∠C=180-4a.:AD平分∠BAC,∠BAD=号∠BAC=90 -2a.DF⊥AD,∠ADF=90°，.∠AFD=90°-∠BAD=2a.:∠AFD=∠B+ ∠BDF,·∠BDF=a=∠B,∴BF=DF.21.解：(1)等腰三角形三线合一角平分 线上的点到角两边的距离相等(2)有.证明如下：，CA=CB,∠ACB=90°，∴·∠A= ∠B=45°.：OF⊥AC,OE⊥BC,.∠AMO=∠BVO=90°.O为AB的中点，.AO= ∠AMO=∠BNO, BO.在△AMO和△BNO中，∠A=∠B, .△AMO≌△BNO(AAS),∴.OM= AO=BO, ON.22.解：(1)①34°②：△ABC是等边三角形，∠ACB=60°，∠EAC= ∠ACB-∠E=60°-∠E.·∠DAE=120°，.∠D=180°-∠DAE-∠E=60°-∠E, ·∠D=∠EAC:(2).△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°， .∠EBC+∠BEC=120°.：∠APB=120°，.∠EBC+∠ADB=120°，.∠BEC= ∠ADB=∠BEC, ∠ADB.在△ABD和△BCE中，J∠ABD=∠BCE,.△ABD≌△BCE(AAS),..AD AB=BC, =BE.23.解：(1)AD=DE等边三角形(2)结论：AD=DE.证明如下：如图②， 第41页（共60页） 过点D作DF∥AC,交AB于点F.△ABC是等边三角形，∴AB=BC, BD ∠B=∠BAC=∠ACB=60°.又：DF∥AC,∴.∠BDF=∠ACB=60°，∠BFD= ∠BAC=60°，.∠AFD=180°-∠BFD=180°-60°=120°.又，∠B=60°，.△BDF 是等边三角形，BF=BD,∴AB一BF=BC-BD,即AF=DC.:CE是△ABC外角 的平分线∠ACE=号(180-∠ACB)=号×180-60)=60∠DCE=∠DCA +∠ACE=60°+60°=120°，∴.∠DCE=∠AFD.:∠ADC是△ABD的外角，∠ADC =∠B+∠DAF=60°+∠DAF.:∠ADE=60°，∴.∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+ I∠DAF=∠EDC, ∠EDC,∴.∠DAF=∠EDC.在△AFD和△DCE中，JAF=DC, .△AFD≌ ∠AFD=∠DCE, △DCE(ASA),.AD=DE;(3)如答图. 60[解析：：△ABC是等边三角 答图 形，∴.BC=AC.:BC=CD,∴AC=CD.:CE平分∠ACD,易得CE垂直平分AD, .AE=DE.:∠ADE=60°，.△ADE是等边三角形，∴∠AED=60门 第十六章综合评价 1.C2.A3.B4.C5.B6.C7.B8.B9.C10.C11.C12.C13.6a2b 4.-号15.116.2217.解：1D原式=-2a6-3a6+3a=-5d26+3a:(2)原式 =ab-4a2+4a2-14ab+6ab-21b=-7ab-21b2.18.解：(1)原式=(4a2-9b-4a2 十4ab-6)÷(-46)=(-106十4a6)÷(-40)=号6-a.当a=号b=-1时，原式= 号×(-D-号-5：(2)原式=42-9-4r2+12x十r-4红十4=+8z-6.” 5 十8x-2025=0,.x2十8x=2025,.原式=2025-5=2020,19.解：任务一：(1)单 项式乘单项式及单项式乘多项式(2)四2x2与x不是同类项，不能合并任务二： 本题的正确结果为2x2十x,20.解：(1)，长方形游泳池的面积为a(a-2b)=a2一 2ab(m),长方形空地的面积为(3a-5b)(a-b)=3a2-3ab-5ab+5b2=3a2-8ab+ 5b(m),∴.休息区的面积为(3a2-8ab+5b)-(a2-2ab)=3a2-8ab+5-a2+2ab =2a2-6ab+5(m2):(2)把a=25m,b=5m代入2a-6ab+5b,得原式=2×252- 6×25×5+5×52=625(m),∴.休息区的面积为625m2.21.解：(1)-22(2)(3a+ 1,a-2)☒(a+2,a-3)=(3a+1)(a-3)-(a-2)(a+2)=3a2-9a十a-3-(a2-4) =3a2-9a十a-3-a2十4=2a2-8a+1.a2-4a十1=0，∴.2a2-8a=-2,.(3a十1， a-2)☒(a十2，a-3)=-2+1=-1.22.解：(1)24±264(2)由题意，设AB =AD=a,AG=AE=b,其中a>b.:BG=AB+AG=10,∴.a十b=10.:正方形AB CD,AEFG面积之和为52，∴.a2+b=52.同(1)可得a=6,b=4,AB=AD=6,AG= AE=4,∴DE=AD-AE=6-4=2,Sm=号DE·AB=号X2X6=6.23.解： (1)6(2)原式=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)+1=(32-1)(32+1)(3+ 1)(38+1)+1=(3-1)(3+1)(38+1)+1=(38-1)(38+1)+1=36-1+1=31. 第十七章综合评价 1.B2.C3.B4.A5.B6.C7.D8.B9.A10.C11.B12.D13.m(m 十1)(m-1)14.7015.a(a十5)(a-5)16.105010(答案不唯一)17.解：(1)原式 =-2a(a2-6a+9)=-2a(a-3)2;(2)原式=a(x-y)-16(x-y)=(x-y)(a2- 16)=(x-y)(a十4)(a-4).18.解：(1)①提取负号后，负号丢失②平方差公 式用错(2)原式=4x(1-4x2)=4x(1-2x)(1十2x),19.解：(1)原式=(29十6一 第42页（共60页）