第二章一元二次函数、方程和不等式重难点检测卷-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

第二章一元二次函数、方程和不等式重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，再利用判别式可求得结果. 【详解】当时，不等式为对任意实数不是恒成立的，故舍去. 当时，函数的图像抛物线开口向上， 且即时符合题意，解得（舍去）或. 当时，函数的图像是开口向下的抛物线，函数值不可能恒为正，不符合题意. 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B. 2．（25-26高一上·天津·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解. 【详解】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C 3．（2025·四川广元·模拟预测）对于任意，都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法，分类讨论计算即可. 【详解】易知恒成立， 显然当时，符合题意； 当时，要满足题意需，即， 综上. 故选：C 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得 【详解】依题意，且，即， 又，所以，当且仅当时取等号，由，解得， 故当，时该同学的得分最高. 故选：A 5．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【分析】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不等式性质求解即可. 【详解】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 6．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简条件，利用乘“1”的方法求其最值，可得解. 【详解】，， 又的最小值为16， ， 当且仅当，即时，等号成立，即取到最小值16． 所以，即． 若，显然的最小值为16． 故选：A． 7．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 【答案】D 【分析】利用赋值法判断选项A,B,C，利用不等式的性质判断选项D. 【详解】当时，，A错误； 令，则，， 若，即，则四个数相等，B错误； 不妨取， 则，C错误； 记为四个数中最大的数， 当时， 故， 当时，，（时的条件不唯一）； 当时， 不妨设，则只需考虑且的情况， 此时，故，故当时，， 综上所述，，D正确； 故选：D. 8．（22-23高二下·陕西西安·阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字证明”．如图，是圆的直径，点为圆心，点是线段上的一点，且．过点作垂直于的半弦，连接，过点作垂直于点，则根据该图形我们可以完成的无字证明有：（    ）    ① ② ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据给定条件结合圆的有关性质、直角三角形射影定理用m，n表示出相关线段长即可判断作答. 【详解】在给定的图中没有表示的几何量，即①③不能根据给定图形完成无字证明； 对于②，，，由直角三角形射影定理得， 则，由于圆上任意弦的长度不大于直径，即， 于是得，即，②能完成无字证明； 对于④，因，，由直角三角形射影定理得， ，又，那么， ④能完成无字证明. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2025·辽宁·三模）若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据求解一元二次不等式和基本不等式判断关于的不等式在上是否恒成立，即可得解. 【详解】的解集为，A错误； 当时，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以在上恒成立，B正确； 的解集为，在上恒成立，C正确； 当时，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以在上恒成立，D正确. 故选：BCD. 10．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】BD 【分析】利用已知结论求出的最大值进行判断，为此需凑出三个正数的和为定值． 【详解】根据题意可得， 当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为4． 从而AC不可能，BD可以取． 故选：BD． 11．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．若关于的不等式的解集是或，则 B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为 C．若，则的最大值为 D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A选项，根据一元二次不等式解集与方程根的关系来确定参数的值，再验证等式. 对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，得到方程有一个根，借助根的判别式，得到，关系式，化简式子，再求最值即可. 对于C选项，先根据已知条件得到与的关系，再利用换元数学方法，结合基本不等式求式子的最大值. 对于D选项，根据不等式的解集以及已知条件确定的取值范围. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或， 则和是两根. 由韦达定理， ， 解得，. 则，所以A选项正确. 对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，则方程有一个根，所以判别式，即，可得. 把代入得： 所以当时，取得最大值.所以B选项错误. 对于C选项，若，则，即. 令，则. 所以. 令，则. 对求最大值，. 根据均值不等式，当且仅当时取等号. 所以，所以C选项正确.   对于D选项，当时，. 因为不等式的解集中有且仅有三个正整数，令， 则的解集中有且仅有三个正整数,所以,的解集为, 所以的解集中有且仅有三个正整数，，， 则，解得，所以D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·重庆渝北·期中）当 时，代数式有意义． 【答案】 【分析】由分式不等式的求解得到即可； 【详解】，解得或， 所以当时，代数式有意义， 故答案为： 13．（24-25高一上·山东临沂·期中）生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用表示为一个不等式 . 【答案】 【分析】依题意结合不等式性质即可得解. 【详解】设原有汤为a，其中含盐b，则汤的浓度为， 则加入盐为c后可得汤的浓度为，此时，理由如下： 因为， 所以，所以， 所以将题中所述事实用表示为一个不等式为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·湖北恩施·期末）记一个长方形的长为，宽为且．若，则该长方形周长的最小值为 ． 【答案】34 【分析】方法1：根据等式可用含的式子将表示出来，然后根据的范围确定的可能取值，从而确定长方形周长的最小值；方法2：将等式变换成因式分解的形式，然后根据的范围确定的可能取值，从而确定长方形周长的最小值；方法3：将等式变换成基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质求出长方形周长的最小值. 【详解】法1：由得，，所以． 又因为，即，，从而， 所以，从而该长方形的周长最小值为． 法2：得，，因为，所以，后面方法同上． 法3：， 当且仅当取得“=”号，此时，故该长方形周长的最小值为34． 故答案为：34. 4、 解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2025高三·全国·专题练习）设等于，和1中最大的一个，当时，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意利用不等式性质证明即可. 【详解】由题意知，，， 故. 即，得证. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）设，比较与的大小； （2）已知，函数，当时，，当时，，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用作差法比较数的大小可得结论； 【详解】（1） 因为，所以， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，所以，所以， （2）， 因为，所以，， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即. 17．（24-25高一上·北京·期中）已知关于y的二次方程的两根为， (1)计算和； (2)若，化简T并求其最大值． 【答案】(1)， (2)化简见解析，最大值为3 【分析】（1）根据韦达定理即可求解， （2）根据韦达定理，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】（1）的两根为 故 （2） 由于，且对勾函数在单调递增，故 故,当取等号， 则的最大值为3. 18．（24-25高二上·浙江温州·期中）随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价(单位：元)与销量(单位：万件)之间满足关系式已知公司每年固定成本为万元，每生产万件衣服需要再投入万元设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销售万件衣服时，年利润为万元；当公司销售万件衣服时，年利润为万元． (1)写出年利润(万元)关于年销量万件的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，公司利润最大并求出最大利润． 【答案】(1) (2)时，取得最大值为1150万元. 【分析】（1）依题意可求得参数的值，再根据利润与年销量间的关系即可求得解析式； （2）根据相应解析式利用基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）因为当销售8万件衣服时，年利润为990万元， 所以，解得. 当销售20万件衣服时，年利润为1145万元， 所以，解得. 当时，； 当时， 所以 （2）当时，，所以； 当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为1150， 综上可知，当时，取得最大值为1150万元. 19．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】(1)证明见解析； (2)60； (3)解法不正确，理由见解析. 【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章一元二次函数、方程和不等式重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·天津·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·四川广元·模拟预测）对于任意，都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 6．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 8．（22-23高二下·陕西西安·阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字证明”．如图，是圆的直径，点为圆心，点是线段上的一点，且．过点作垂直于的半弦，连接，过点作垂直于点，则根据该图形我们可以完成的无字证明有：（    ）    ① ② ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2025·辽宁·三模）若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（    ） A． B． C．5 D．3 11．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．若关于的不等式的解集是或，则 B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为 C．若，则的最大值为 D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·重庆渝北·期中）当 时，代数式有意义． 13．（24-25高一上·山东临沂·期中）生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用表示为一个不等式 . 14．（24-25高一下·湖北恩施·期末）记一个长方形的长为，宽为且．若，则该长方形周长的最小值为 ． 4、 解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15． （2025高三·全国·专题练习）设等于，和1中最大的一个，当时，求证：． 16．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）设，比较与的大小； （2）已知，函数，当时，，当时，，试比较与的大小． 17．（24-25高一上·北京·期中）已知关于y的二次方程的两根为， (1)计算和； (2)若，化简T并求其最大值． 18．（24-25高二上·浙江温州·期中）随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价(单位：元)与销量(单位：万件)之间满足关系式已知公司每年固定成本为万元，每生产万件衣服需要再投入万元设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销售万件衣服时，年利润为万元；当公司销售万件衣服时，年利润为万元． (1)写出年利润(万元)关于年销量万件的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，公司利润最大并求出最大利润． 19．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $