福建省三明市沙县区城南中学2025-2026学年上学期期末高一数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元练习卷

福建省三明市沙县区城南中学2025-2026学年上学期期末 高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元练习卷 答案和解析 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分 1.解：a>b>0,可得2a>a+b,可得a>a+b, 2 并祖a>6>0,可得生V0, ab >62...Vab >b, 可得：a>生>v画>6 故选：B 2.解：因为m>0,n>0,3m+2n-1=0, 所以3m+2m=1, 所以3+2-3+3×1=3+38m+2=9+60+6m+4 m nm n 77 m n /6m×6m=13+12=25, ≥13+2√m×n 当且仅当0-0，即m=n=号时取等号， m 所以3+2的最小值为25. m 故选：D 3.解：令4a-2b=x(a-b)+y(a+b) 即{+=4 1-x+y=-2解得：x=3,=1 即4a-2b=3(a-b)+(a+b) .1<a-b≤2,2≤a+b<4, ∴.3<3(a-b)≤6 .5<4a-2b<10 故选：B 4.解：由题意知，x=0时，不等式ab(-2a-b)≥0恒成立，即ab(2a+b)≤0， 0,可得。+0，则a,b至少有一个是小于0 (1)若a<0,b<0,x≥0， 则x-a>0,x-b>0,x-2a-b>0, (x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0时恒成立，符合题意； (2)若a<0,b>0,.ab(2a+b)≤0.∴.2a+b≥0， 若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立，则大于0的两根必须重合， 则b=2a+b,得a=0,矛盾，不符合题意， (3)若a>0,b<0,ab(2a+b)≤0.2a+b≥0， 若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0时恒成立，则大于0的两根必须重合， 则a=2a+b,则a+b=0,符合题意. 综合，b<0成立. 故选：C. 5.解：根据函数f(x)=x2-(a+b)x+16,a,b是正数， 且存在唯一的实数x,满足f(x)≤0， 由二次函数的性质可知一元二次方程x2-(a+b)x+16=0的判别式为0， 即(a+b)2=64, 因为(m2+n)(c2+d-(mc+nd)2=(md-nc2≥0， 当且仅当md=nc时等号成立， 则(m2+n2)(c2+d)≥(mc+nd)2,当且仅当md=nc时等号成立， 令m=a,n=V3b,c=1,d=y 3 所以（口2+3瑞1+专≥a+,当且仅当a=3动时等号成立. 故a2+3b2≥48，最小值为48. 故选：B 6.解：根据题意，设天平的两臂长度分别为m、n, 若两次称量结果分别为a,b,则有ma=nG且nb=mG,且a≠b, 两式联立可得：G2=ab,即G=√ab, 而生>v,则生>G 2 故选：C. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分 7.解：对于A,.ac2>bc2, ∴.c≠0， .c2>0, .1 a>0, a2×a>be2xa 1 1 ∴.a>b,故A正确； 对于B,当a=2,b=1,c=0,d=-2时，有a>b,c>d, 但此时a-c=2,b-d=3,a-c<b-d,故B错误； 对于C,当a=1,b=2,c=1时，有b>a>0,c>0, 但此时6+c-36 b+cb a+c2’a 2,a+e<a,故C错误： 对于D,a>b>0, .∴.ab>0, 1 a6>0, 1 1 ..0× ->b× ab ab' 11 由不等式的同向可加性， 由a>6和>可得a+方6+。放D正确 1 0 故选：AD. 8.解：因为-1<2x-y<4,所以-2<4r-2y<8. 因为-3<x+2y<2,所以-5<5x<10,则-1<x<2,故A正确； 因为-3<x+2y<2,所以-6<2x+4y<4. 因为-1<2x-y<4,所以-4<-2x+y<1, 所以-10<5y<5,所以-2<y<1,故B正确： 因为-3<x+2y<2,-1<2x-y<4, 所以号<+2<骨言<》<号则-2<+y<2,故c错谈： 611 因为-3<x+2y<2,-1<2x-y<4, 3 所以号<+2动<景专<号2r0)<号则-1<-<3，陵D正瑰 故答案为ABD 9.解：对于选项A,因为x2+≥2xy,当且仅当x=时等号成立， 所以2子”当且仅当=9肘等号成立， 故2中的最大值为，故A正确， ay 对于选项B,因为≤V 2 2+，当且仅当x=彩时等号成立， 所以4。 2+,当且仅当x=y时等号成立， 以2≤V2 即x2+2≥8，当且仅当x=时等号成立， 故x2+的最小值为8，故B不正确； 2 对于选项C,因为三+y=1, 1 1、2 所议2+亿++2+++1≥3+2现3+2V2 xy 当且仅当xy= 2且2+)=1，即x=2+V反，y=V2-1时，等号成立， Ty 故x+的最小值为3+2V2,故C正确 对于选项D,因为2+=x-,所以+y x-y =1, x2+y2 所以E+y+1 x+y+ x-y 2.x2 2x2 2 x+2y x+2y 工-c+202+w-221+V-2 令t=弘∈(0，+∞)，则上式=-2+t+1' 2 .9 当t=时，-22+t+1取得最大值为8 2 216 所以-2+t+1≥0=9， P 故'号的最小值为号、夜D止痒。 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 10.解：方法一、由5x2+=1,可得2=1- 5y2, 由x2≥0，可得y2∈(0,1， 则r++-+诗 >≥号0音当且仅当-安-高，等号成立， 可得2+的最小值为5： 4 方法二、4=6r2+-4≤52++4=252+， 2 4 故2+≥5 4 当且仅当502+=2=2，即-支产-品时取得等号， 可得2+2的最小值为写 .4 故答案为：青 11.解：因为a>1,b>3,3a+b+1=ab, 所以(a-1)6-3)=4,且a-1>0,b-3>0, 所以a 36a-1+1,3(b-3)+9 以a-1+6-3=a-1 b-3 =4+19 +a-1+b-3 ≥4+28=4+2×号-7 19 5 当且仅当11二693即a3b=9时等号成立， 所以，产十”的员小值为：。 故答案为：7. 12.解：因为关于x的不等式ax2+bc+c>0的解集为{x-1<x<3}, 所以a<0,且-1与3是方程ax2+bx+c=0的两根， 则-1+3=合(-)×3=后 即b=-2a>0,c=-3a>0, 则关于x的不等式cx2+bx+a>0,即-3ax2-2ax+a>0→3x2+2x-1>0, 5 所以3x-1c+1)>0,解得x>或x<-1, 即解集为{<-1或x> 1 故答案为：{x<-1或x>} 四、解答题：本题共3小题，共37分 13.解：(1)由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4， 两式相加得-4≤2a≤6，则-2≤a≤3. 由-1≤a-b≤4，得-4≤-a+b≤1. 又-3≤a+b≤2， 两式相加得-7≤2b≤3， 则子6经 (2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b, 1 则 m+n=3, m二2 m-n=-2,解得 . n2 5. .3a-2b=2a+b0+2a-b月. .-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4， 31 55 -2≤2a+b)≤1，-2≤2a-b)≤10， 则-4≤3a-2b≤11. 14.解：(1)由f(x)≥4x+2k-2,即(k+1)z2-(2k-1)x+2k≥4z+2k-2, 化简可得：(k+1)x2-(2k+3)x+2≥0， 故[(k+1)x-1(x-2)≥0， 1 因为k>0,所以0<+1<1<2， 1 所以k+1r-1x-2)≥0的解为：t≤+或x≥2， 即不等式的解架为(-心g十UB+0 (2)由f(x)≥g(x)对x≥0恒成立， 即(k+1)x2-(2k-1)x+2k≥x2-4kx+2(x-k+1)对x≥0恒成立， 故k(x2+2x+4)-x-2≥0对x≥0恒成立. 6 因为x2+2x+4=(x+1)2+3>0, 所以k(x2+2x+4)-x-2≥0对x≥0恒成立， x+2 等价于≥2+2x十4对x≥0恒成立. x+2 令ho=2+2r+4'r≥0， 所以k≥h(x)max· )=42r+4 x+2 2 ≤ 而 e+2++22 4 2 21/x+2) -2 x+2 当且仅当2+2=2，即r=0时，等号成立。 1 故h(c)max=2' 所以k≥号，故的最小值为分 1 15解：当北=2时，P=3,销售价为20+子202 3t' 2 国利润W=320士10-2=10+>12，解得0<t 包当=4，年彩w=P0+后-10-=-是=16-名子=10-+ 4 而4x一4士十1-当且仅当正=3时签号成立， x+1+4=x+1+ 当0<r<3时4十单调递减 x+1+49 当0<≤2时(+草-有+号号wm=16-3×日-公 4.111 21 综上：当广告费2百万时最大利润为三万元. 7 福建省三明市沙县区城南中学2025-2026学年上学期期末 高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元练习卷 （练习时间：50分钟；满分：100分） 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 2.若，，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 3.若不等式，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知，且，，若在上恒成立，则(    ) A. B. C. D. 5.已知函数，，是正实数．若存在唯一的实数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为，，设物体的真实重量为，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 7.下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 8.已知实数，满足，，则(    ) A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 9.已知，均为正实数，则(    ) A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 10.已知，则的最小值是          ． 11.已知，，，则的最小值为          ． 12.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为          ． 四、解答题：本题共3小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 实数，满足， 求实数，的取值范围 求的取值范围 14.本小题分 已知函数，， 若，解关于的不等式 对，不等式恒成立，求的最小值． 15.本小题分 某儿童玩具厂生产的某一款益智玩具去年年销量为百万件，每件销售价格为元，成本元今年计划投入适当广告费进行促销预计该款玩具的年销售量百万件与年广告费用百万元满足，现已知每件玩具的销售价为年平均每件玩具所占广告费的与原销售价之和． 当投入广告费为百万元时，要使该玩具的年利润不少于百万元，求的取值范围 若时，则当投入多少百万元广告费该玩具生产厂获得最大利润． 1 学科网（北京）股份有限公司 $