精品解析：河南省名校2025-2026学年高二上学期秋季检测（9月）数学试题

2025—2026学年（上）高二年级秋季检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2i 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，则直线AB，AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，点D，E分别在棱OA，BC上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点E在棱上，且，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动.现从中随机抽取了200名学生的成绩（满分100分），将所得统计结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图（每组数据以该组所在区间的中点值为代表），则（ ） A. B. 估计样本数据的平均数为82 C. 估计样本数据的众数为95 D. 估计样本数据的平均数小于中位数 10. 关于空间向量，下列说法错误的是（ ） A. 对于任意的空间向量，都有 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点P为线段CM上的动点，则（ ） A. 平面CMN截正方体所得的截面形状是五边形 B. 向量在向量上的投影向量的模为 C. 存在点P，使得 D. 点P到棱距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，若向量与共线，则_______． 13. 已知向量，若与互相垂直，则_______． 14. 如图，函数的图象上有两点A，C关于原点O对称，点A的横坐标为，过点A，C分别作两坐标轴的垂线，得到矩形ABCD，矩形ABCD与x轴的交点分别记为．将该图沿x轴折叠，得到一个二面角，若二面角的大小为，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求值. 16. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek－V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训． （1）已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 17. 如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边BC上一点，且，． （1）证明：； （2）求的值； （3）求的面积． 18. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，，M为的中点，． （1）求证：平面平面ABC； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，且，以为邻边作平行四边形，D为的中点，E为的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球的半径； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年（上）高二年级秋季检测 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2i 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的四则运算及虚部概念即可求解. 【详解】， 所以虚部为， 故选：A 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于谁对称谁不变这一结论直接写结论即可. 【详解】点关于平面的对称点为， 故选：C 3. 在空间直角坐标系中，点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间两点间距离公式求解. 【详解】因为 所以， 故选：A 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底定义以及空间向量共面定理对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】依题意不共面， 对于A，假设存在实数满足，显然， 由共面定理可知共面，即A错误， 同理对于B，易知存在，使得，因此共面，即B错误； 对于C，假设存在实数满足， 此时需满足，显然此方程组无解， 即不存在满足题意的，因此不共面，即C正确； 对于D，易知存在，使得， 因此共面，即D错误； 故选：C 5. 在空间直角坐标系中，已知点，则直线AB，AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量夹角的坐标公式，求直线夹角的余弦值. 【详解】，， 设直线所成角为， . 故选：B 6. 如图，在三棱锥中，点D，E分别在棱OA，BC上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可得出结果. 【详解】因为， 所以 . 故选：B 7. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点E在棱上，且，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】以为坐标原点，以的正方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点到平面的距离． 故选：D 8. 《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件将三棱锥放入正方体中可求外接球的半径，再利用等体积法可求内切球的半径. 【详解】由平面，，得, 因为且平面，所以平面, 又平面，得. 由，得. 于是将三棱锥放入正方体中，如下图： 三棱锥 的外接球即为正方体的外接球，其设外接球的半径为， 则，解得. 设内切球的球心为，半径为， 因为内切球的球心到各个面的距离等于半径， 所以，， ， ， ，得. 所以. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动.现从中随机抽取了200名学生的成绩（满分100分），将所得统计结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图（每组数据以该组所在区间的中点值为代表），则（ ） A. B. 估计样本数据的平均数为82 C. 估计样本数据的众数为95 D. 估计样本数据的平均数小于中位数 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用频率分布直方图计算某个小矩形的高、平均数、众数及中位数即可. 【详解】对于A选项，由题图可知，得，故A正确； 对于B选项，估计样本数据的平均数为 ，故B错误； 对于C选项，估计样本数据的众数为，故C正确； 对于D选项，前3组频率之和为， 前4组频率之和为，所以中位数在第4组， 设中位数为，则，解得， 所以平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 10. 关于空间向量，下列说法错误的是（ ） A. 对于任意的空间向量，都有 B. 若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量数量积公式判断AB，根据空间直线与平面的位置关系判断CD. 【详解】选项A，是一个数，表示与共线的向量，同理表示与共线的向量， 与不一定共线，所以，即向量不满足结合律，A说法错误； 选项B：因为，所以若，则与共线或夹角为锐角，B说法错误； 选项C：因为是直线的方向向量，是平面的法向量， 且，所以，C说法正确； 选项D：因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 若，则或，若，则， 所以是的必要不充分条件，D说法错误； 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点P为线段CM上的动点，则（ ） A. 平面CMN截正方体所得的截面形状是五边形 B. 向量在向量上的投影向量的模为 C. 存在点P，使得 D. 点P到棱距离的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】作出截面图形判断A；建系，利用向量在向量上的投影向量为向量在向量上的投影向量，借助坐标求出投影向量，判断B；利用坐标法可判断CD. 【详解】对于A，如图直线与、的延长线分别交于、， 连接、分别交、于、，连接、，     则五边形即为所得的截面图形，故A正确； 对于B，，所以向量在向量上的投影向量为向量在向量上的投影向量， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 所以，所以 所以向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量的模为，故B错误； 对于C，借助B选项， ，，，，     设，其中，所以， 又、、， 所以，，， 假设存在点，使得， 所以，整理得， 所以（舍去）或， 故存在点，使得，故C正确； 对于D ，由上知，所以点在的射影为， 所以点到的距离为： ， 所以当时，，故D错误， 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，若向量与共线，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算和向量共线的坐标公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为向量与共线，所以，解得：， 故答案为： 13. 已知向量，若与互相垂直，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立方程，计算即可求解. 【详解】因为， 故，， 若与互相垂直， 则，即，解得或. 故答案为：或. 14. 如图，函数的图象上有两点A，C关于原点O对称，点A的横坐标为，过点A，C分别作两坐标轴的垂线，得到矩形ABCD，矩形ABCD与x轴的交点分别记为．将该图沿x轴折叠，得到一个二面角，若二面角的大小为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知确定相关线段的长度，结合二面角的定义有折叠后，再由均为等边三角形、为直三棱柱，根据结构特征求. 【详解】由题设，则，故， 结合题图，，， 且，，，， 二面角的大小为，所以折叠后，示意图如下， 所以均为等边三角形，故， 且为直三棱柱，故为矩形， 综上，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求值. 【答案】（1）7； （2）19或13. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量共线列式求出，再利用向量线性运算及模的坐标表示求解. （2）由向量垂直及模的坐标表示求出，进而求出向量的数量积. 【小问1详解】 向量，由，得，解得， ，而，则， 所以. 【小问2详解】 由，得，即，解得， 由，得，解得， 当时，； 当时，， 所以值是19或13. 16. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek－V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训． （1）已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数问题求出基本事件数，再利用古典概率列式求解. （2）记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. 【小问1详解】 记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有： ， 共30种， 这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同结果有：共18种， 所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为. 【小问2详解】 记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 17. 如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边BC上一点，且，． （1）证明：； （2）求的值； （3）求的面积． 【答案】（1）证明：由，，得. 在中，有，得 ，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件先求角，进而在中应用正弦定理即可证明； （2）在中应用正弦定理可得，进而结合可得的值； （3）结合（2）的结果利用余弦定理可求与的关系，进而利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，所以，即， 又. 于是，即. 【小问3详解】 因为，，， 所以， 得，即. 则. 18. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，，M为的中点，． （1）求证：平面平面ABC； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥，并由余弦定理得到各边长，由勾股定理逆定理得，从而平面，得到面面垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，故点到平面的距离等于点到平面的距离，利用等体积法进行求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角向量公式进行求解即可. 【小问1详解】 连接，取的中点，连接，， 三棱柱的所有棱长均为2， 故，， 所以为等边三角形，故⊥， 又，故为等边三角形，故⊥， 由勾股定理得， 在中，， 由余弦定理得， 在中，， 故，由勾股定理逆定理得， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面⊥平面； 【小问2详解】 由（1）知，平面⊥平面，交线为， 又⊥，平面，所以⊥平面， 又，平面，平面，所以平面， 故点到平面的距离等于点到平面的距离， 其中， 故； 【小问3详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则， 令得，所以， ，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，且，以为邻边作平行四边形，D为的中点，E为的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球的半径； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可得四边形是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得； （2）取的中点，连接，可得点就是三棱锥的外接球的球心，即可得外接球的半径； （3）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，利用夹角的余弦坐标运算即可求得夹角的余弦值． 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 因为E为的中点，所以，且， 因为D为的中点，四边形是平行四边形， 所以，且， 所以，且，则四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图，取的中点，连接， 因为，且， 所以是等腰直角三角形， 则，且， 又因为平面平面，交线为， 所以平面，所以，又， 所以， 所以点就是三棱锥的外接球的球心，该外接球的半径为2. 【小问3详解】 因为，由（2）可知两两垂直， 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，则. 设平面的一个法向量为， 则，取，则. 则， 所以，平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $