精品解析：河南省信阳市光山县慧泉中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

九年级数学9月综合素质检测试题 一、选择题 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. 3x2+2x+y＝0 B. 4x2+﹣2＝0 C. （x+1）2＝x2+1 D. x2﹣2x+1＝﹣x 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【详解】A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误； C、原式可化为2x＝0，是一元一次方程，故本选项错误； D、原式可化为x2﹣x+1＝0，是一元二次方程，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】考查了一元二次方程的定义，解题关键是抓住含有一个未知数，并且未知数的这个常数是2的整式方程进行判断． 2. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 3. 下列各项中，方程的两个根互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的两个根分别为，根据互为相反数的定义得到，即方程中一次项系数为0，分别解方程，，即可得到答案． 【详解】解：设方程的两个根分别为， ∵方程的两个根互为相反数， ∴，即二次项系数为1的方程中一次项系数为0， 排除选项C、D， ∵， ∴，方程无解；选项A不符合题意； ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了互为相反数的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系正确掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 4. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（ ） A. 1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患流感 C. 依题意可以列方程 D. 按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用；根据题意逐项计算出每轮感染人数，共感染人数即可． 【详解】解：A、1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确； B、第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确； C、2轮后，共有人患流感，由题意得方程，故正确； D、解方程，得或（舍去），则第3轮有（人）患流感，共有（人）患流感，故错误； 故选：D． 6. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点是 D. 函数有最小值0 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，根据抛物线的性质由得到图像开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线． 【详解】解：二次函数中的，则其图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，二次函数的最大值为0， 故选项A、B、D说法不正确，选项C说法正确． 故选：C． 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，运用数形结合的方法是解题的关键． 先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致，即可得出答案． 【详解】解：A、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； C、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，故本选项符合题意； D、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 8. 对于二次函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出答案． 【详解】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， ， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键． 9. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 【详解】解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． 10. 已知点，和都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由于是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在的左边随的增大而增大，便可得出的大小关系． 【详解】∵抛物线， ∴对称轴为， ∵， ∴点关于的对称点， ∵， ∴在的左边随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，熟练运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先利用因式分解法解方程解得到或，然后分、两种情况，分别运用三角形的三边关系进行验证后，再求周长即可． 【详解】解：， 方程分解得：， 可得或， 解得：或， 若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去； 若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为． 故答案为：10． 12. 顶点坐标是，且开口方向和形状与抛物线相同的抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向和形状与a值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标，开口方向和形状与抛物线相同， ∴这个二次函数的解析式为． 故答案为：． 13. 对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________． 【答案】或2 【解析】 【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可． 【详解】解：根据新定义内容可得：， 整理可得， 解得，， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键． 14. 关于二次函数，给出下列说法： ①图象开口向下，对称轴是轴； ②当时，随的增大而增大； ③当时，； ④若是该抛物线上的两个不同的点，则．其中说法正确的有______（填序号）． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握该知识点并熟练运用数形结合思想是解题的关键．直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：①∵，∴图象开口向上，对称轴是轴，故不正确； ②∵图象开口向上，对称轴是轴，∴当时，随的增大而增大，正确； ③当时，∵图象开口向上，对称轴是轴，∴当时，y取得最小值0；当时，y取得最大值，，∴，故不正确； ④∵是该抛物线上的两个不同的点，∴关于y轴对称，∴，正确． 故答案为②④． 15. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题中条件可得出抛物线的对称轴相对于直线的位置，进而可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程两边同除以2，再运用直接开平方法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可； （3）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 或， 解得，． 17. 已知是二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，该函数图象有最高点？求出这个最高点，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1）2或 （2）当时，该函数图象有最高点，最高点为，当时，随的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义及二次函数图象的性质： （1）根据二次函数的定义即可列出方程组进行求解； （2）根据二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知且，解得． 即的值为2或． 【小问2详解】 解：函数图象有最高点， ． 此时，最高点为， ∵二次函数的对称轴为y轴，图象开口向下， ∴当时，随的增大而减小． 即当时，该函数图象有最高点，最高点为，当时，随的增大而减小． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 【答案】（1），2；（2） 【解析】 【分析】(1)根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论； (2)由根与系数的关系可得，，代入，解方程即可得到结论． 【详解】(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴，2； (2)∵，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】 （1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形； （2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形． 试题解析：解：（1）略 （2）略 考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理． 20. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1）；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元． 【解析】 【分析】（1）根据图象可得：当，，当，；再用待定系数法求解即可； （2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，； ∴，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）由题意得：， 整理得：，解得：．， ∵让顾客得到更大的实惠，∴. 答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 山西槐米茶，口感清香，冲泡汤色亮黄，味道醇厚，具有清血凉血，抗菌消炎等功效． （1）如图1，太原市某茶庄种植槐米茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为600平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多10米． ①分别求该采茶基地的长和宽； ②若要在采茶基地的四周围上篱笆，问需要多长的篱笆？ （2）如图2，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（1）中的采茶基地大小、形状相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为486平方米，求小路的宽度． 【答案】（1）①该采茶基地的宽为20米，长为30米；②该采茶基地需要100米长的篱笆 （2）小路的宽度为1米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①设采茶基地的宽为米，则长为米，根据面积为600平方米列方程，解方程即得答案；②根据长方形的周长，即得答案； （2）设小路的宽度为米，根据鲜花的种植面积为486平方米列出方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 解：①设采茶基地的宽为米，则长为米， 根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 答：该采茶基地的宽为20米，长为30米． ②根据题意得米， 答：该采茶基地需要100米长的篱笆． 【小问2详解】 解：设小路的宽度为米， 则， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：小路的宽度为1米． 22. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好过点D，求平移后抛物线的解析式． （3）在y轴上找一点P，使周长最小，请求出点P坐标． 【答案】（1），，； （2） （3）则点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移，会利用两点之间线段最短解决最短路径问题是解答本题的关键． （1）对于，根据和可求出A，B，C三点的坐标； （2）由平行四边形的性质求出点的坐标，设平移后的抛物线的解析式为，代入点的坐标，求出的值即可； （3）作A关于y轴的对称点，连接交轴于点，则，的周长，当三点共线时，最小，即周长最小．运用待定系数法求得直线的解析式为，再求出与轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：对于抛物线， 令，则， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为； 令，则， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 设平移后的抛物线解析式为， ∵抛物线向上平移后恰好过点， ∴， 解得， 所以，平移后的抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：作A关于y轴的对称点， ∵， ∴， 连接交轴于点，则， ∴的周长， 当三点共线时，最小，即周长最小． 设直线的解析式为， 将，代入解析式得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，则点的坐标为． 23. 如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与y轴交于点C，与x轴交于点D． （1）______，______，______． （2）求的面积； （3）点P是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）1，2， （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，先将代入，求出a的值为1，再将代入，求出点，然后将，代入分别求出k，b的值． （2）利用y轴将分割为和，分别算出它们的面积后，即可求出的面积； （3）由题意，设，利用三角形的面积公式求出n，可得结论． 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得：． ∴二次函数关系式为：， 将代入得：， ∴． ∵点，在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：1，2，； 【小问2详解】 解：由（1）可知一次函数关系式， 当时，， 则一次函数与y轴交点坐标为， ∴，点A横坐标为，点B的横坐标为， ∴，, ∴， ∴的面积为3； 【小问3详解】 解：当时，,， 则一次函数与x轴交点坐标为， 设， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的图像，一次函数图像上的点的坐标特征，待定系数求二次函数，一次函数的解析式解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学9月综合素质检测试题 一、选择题 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. 3x2+2x+y＝0 B. 4x2+﹣2＝0 C. （x+1）2＝x2+1 D. x2﹣2x+1＝﹣x 2. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各项中，方程的两个根互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 4. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（ ） A. 1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患流感 C. 依题意可以列方程 D. 按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染 6. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点是 D. 函数有最小值0 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 对于二次函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 10. 已知点，和都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是______． 12. 顶点坐标是，且开口方向和形状与抛物线相同的抛物线的解析式是______． 13. 对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________． 14. 关于二次函数，给出下列说法： ①图象开口向下，对称轴是轴； ②当时，随的增大而增大； ③当时，； ④若是该抛物线上的两个不同的点，则．其中说法正确的有______（填序号）． 15. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） （3） 17. 已知是二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，该函数图象有最高点？求出这个最高点，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 19. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 20. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 21. 山西槐米茶，口感清香，冲泡汤色亮黄，味道醇厚，具有清血凉血，抗菌消炎等功效． （1）如图1，太原市某茶庄种植槐米茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为600平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多10米． ①分别求该采茶基地的长和宽； ②若要在采茶基地的四周围上篱笆，问需要多长的篱笆？ （2）如图2，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（1）中的采茶基地大小、形状相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为486平方米，求小路的宽度． 22. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好过点D，求平移后抛物线的解析式． （3）在y轴上找一点P，使周长最小，请求出点P坐标． 23. 如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与y轴交于点C，与x轴交于点D． （1）______，______，______． （2）求的面积； （3）点P是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $