精品解析：江苏省无锡市锡山区2025-2026学年九年级上学期数学检测试题

江苏省无锡市锡山区2025－2026学年第一学期 九年级数学检测 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或 4. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是（ ）． A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 5. 已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 6. 有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④三角形的外心到三角形三条边的距离相等；⑤两圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是直径，直线l与相切于点C，，垂足为．若，，则的长为（    ） A. B. 5 C. D. 6 9. 如图，的半径为2，弦，点P为优弧AB上一动点，，交直线PB于点C，则的最大面积是            A. B. 1 C. 2 D. 10. 如图，AB为⊙O直径，且AB＝4．点C为半圆上一动点（不与A，B重合），D为弧CB上一点，点E在AD上，且CD＝BD＝DE．则CE的最大值为（　　） A. 4﹣4 B. 2﹣ C. 8﹣4 D. 4﹣2 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 请写出一个一元二次方程，使其以和5为根，且二次项系数为1：_____．（用一般形式表示） 12. 若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为__________． 13. 在中，直径，弦于，，则弦的长为___． 14. 如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °． 15. 如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为_____cm． 16. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________． 17. 如图，在中，，其周长为24，是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为_____． 18. 如图，已知的半径为2，是外一点，，点、在上，且满足，则线段的最大值是_____，最小值是_____． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有实数根； （2）若方程两根均不小于1，求的取值范围． 21. 如图，点、、、都在上，若，求证：． 22. 在中，，，，已知⊙O经过点C，且与相切于点D． （1）在图中作出⊙O；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点D是边上的动点，设⊙O与边、分别相交于点E、F，求的最小值． 23. 如图，在中，，为上的一点，以为直径的半圆与交于点，且切于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 小明开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ （2）为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 25. 如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 26. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 27. 已知：如图所示，在等边中，边长均为，点P、点Q分别从点A、点B出发同时向点C以的速度移动，到点C时停止． （1）几秒后，的面积等于？ （2）设运动的时间为秒，以Q为圆心，为半径画圆，当与线段有唯一公共点时，求的取值范围． 28. 定义：当点P在射线OA上时，把的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值． 例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为＝． （1）在△OAB中， ①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形； ②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形； ③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形． 其中真命题有　 　． A．①②B．①③C．②③D．①②③ （2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点． ①如图2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC是⊙O的切线； ②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省无锡市锡山区2025－2026学年第一学期 九年级数学检测 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，掌握一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程是解题的关键，根据一元二次方程的定义即可得出结果． 【详解】A．中有2个未知数， 不是一元二次方程，故A错误， B．中有1个未知数，当时，未知数的最高次数是一次， 不一定是一元二次方程，故B错误， C．中有1个未知数，且未知数的最高次数是二次， 是一元二次方程，故C正确， D．中有2个未知数， 不是一元二次方程，故D错误， 故选：C． 2. 用配方法解时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程x2-4x-5=0， 移项得：x2-4x=5， 配方得：x2-4x+4=9，即（x-2）2=9． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．根据题意可得且，继而求得答案． 【详解】解：由题意，得且， ∴且， ∴． 解得． 故选：B． 4. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是（ ）． A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形. 【详解】根据题意得：， 所以， 所以为直角三角形，. 故选：. 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根.也考查了勾股定理的逆定理. 5. 已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与的大小即可解答． 【详解】解：圆的半径，点P到O的距离， ∴， ∴点P在内， 故选：A． 6. 有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④三角形的外心到三角形三条边的距离相等；⑤两圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的相关概念，圆周角定理的推论，关键是熟练掌握弧，弦长，圆心角，圆周角之间的关系． 根据圆周角的推论，圆的相关概念逐一判断即可求解． 【详解】解：同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫等弧，所以长度相等，故①正确； 连接圆上任意两点的线段叫做弦，圆内所有弦中，经过圆心的弦（直径）最长，故②正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故③错误； 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故④错误； 两圆中等弦所对的圆周角不一定相等，故⑤错误. 综上所述，正确的结论有2个， 故选B． 7. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，在中，是直径，直线l与相切于点C，，垂足为．若，，则的长为（    ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题重点考查切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，作于点F，由直线l与相切于点C，得，可证明四边形是矩形，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， 直线l与相切于点C，于点D， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 的长为6， 故选：D． 9. 如图，的半径为2，弦，点P为优弧AB上一动点，，交直线PB于点C，则的最大面积是            A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA、OB，如图1，由可判断为等边三角形，则，根据圆周角定理得，由于，所以，因为，则要使的最大面积，点C到AB的距离要最大；由，可根据圆周角定理判断点C在上，如图2，于是当点C在半圆的中点时，点C到AB的距离最大，此时为等腰直角三角形，从而得到的最大面积． 【详解】解：连接OA、OB，如图1， ，， 为等边三角形， ， ， ，要使的最大面积，则点C到AB的距离最大， 作的外接圆D，如图2，连接CD， ，点C在上，AB是的直径， 当点C半圆的中点时，点C到AB的距离最大，此时等腰直角三角形， ，， ABCD， 的最大面积为1． 故选B． 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质；记住等腰直角三角形的面积公式． 10. 如图，AB为⊙O直径，且AB＝4．点C为半圆上一动点（不与A，B重合），D为弧CB上一点，点E在AD上，且CD＝BD＝DE．则CE的最大值为（　　） A. 4﹣4 B. 2﹣ C. 8﹣4 D. 4﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用等弦对等弧，等弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形的外角的性质，通过角度的变换求得，确定的位置，进而证明，得到的运动轨迹是以点为圆心，4为半径的圆弧，进而根据直径是最长的弦求解即可． 【详解】解：延长，交于点，连接，OF 设 CD＝BD 为直径 在以点为圆心，4为半径的圆弧上运动， ，当为的直径时，取得最大值，最大值为 故选A 【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等，弦与弧之间关系，找到点的运动轨迹，理解直径是最长的弦是解题的关键． 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 请写出一个一元二次方程，使其以和5为根，且二次项系数为1：_____．（用一般形式表示） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的一般式，熟练掌握知识点是解题的关键． 对于一元二次方程的两个根为，则该一元二次方程可写为，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，可写为， 即， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为__________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】设扇形圆心角的度数为n，根据弧长公式即可得出结论． 【详解】解：设扇形圆心角的度数为n， ∵扇形的弧长为2π， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键． 13. 在中，直径，弦于，，则弦的长为___． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出CP，根据垂径定理即可求出答案． 【详解】解：连接， 在中，直径， ， ∵弦于，， ， ． 故答案为：2． 【点睛】此题考查圆的半径相等的性质，垂径定理，勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键． 14. 如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °． 【答案】115 【解析】 【分析】本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形对角互补，圆周角定理等知识点．作出弧所对的圆周角，根据内接四边形对角互补求出即可． 【详解】解：作出弧所对的圆周角， ∵，, ∴， ∵沿着弦折叠， ∴， 故答案为：115． 15. 如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为_____cm． 【答案】1或5 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P的长，继而求得答案． 【详解】解：有两种情况： （1）如图1,当O平移到O′位置时，O与PA相切时，且切点为C， 连接O′C,则O′C⊥PA，即∠O′CP=90°， ∵∠APB=30°,O′C=1cm， ∴O′P=2O′C=2cm， ∵OP=3cm， ∴OO′=OP−O′P=1(cm). （2）如图2，同理可得：O′P=2cm， ∴O′O=5cm. 故答案为1或5. 【点睛】本题主考考查圆与直线相切. 本题要应用分类讨论思想分别画出⊙O 与直线PA相切时的图形，利用切线性质即可求出答案. 16. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在中，，其周长为24，是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解直角三角形．利用切线长定理求得，，再求得；设的外接圆为，作直径，连接，解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，设与三边的切点为D，E，F， 连接， 则， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵周长为24， ∴， ∴； 如图，设的外接圆为，作直径，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的外接圆的半径为． 故答案为：． 18. 如图，已知的半径为2，是外一点，，点、在上，且满足，则线段的最大值是_____，最小值是_____． 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、切线性质等知识．先根据中垂线的性质得到点B为的中垂线与的交点，再结合图形，当点A在的延长线上时，有最大值，当的中垂线与相切于点B时，最小，进而结合勾股定理和正方形的判定与性质、圆的切线性质分别求得的最大值和最小值即可． 【详解】解：∵， ∴点B在的中垂线上， ∵点A、B在上， ∴点B为的中垂线与的交点， 如图，当点A在的延长线上时，存在点B，此时有最大值，最大值为； 如图，当的中垂线与相切于点B时，最小，设中垂线交于C，连接，，过O作于D， 则，又， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，, ∴， 解得，则的最小值为， 故答案为：7，． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】()方程利用直接开平方法求解即可； ()方程利用因式分解法求解即可； ()方程利用因式分解法求解即可； ()方程利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和直接开平方法是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴ 或， ∴，； 【小问4详解】 ∵， ∴， ∴， ∴ 或， ∴，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有实数根； （2）若方程两根均不小于1，求的取值范围． 【答案】（1） 证明： ∵，， ∴， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程两根均不小于1，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原方程可化为，即 解得：，， ∵方程两根均不小于1， ∴， ∴． 21. 如图，点、、、都在上，若，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】略 22. 在中，，，，已知⊙O经过点C，且与相切于点D． （1）在图中作出⊙O；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点D是边上的动点，设⊙O与边、分别相交于点E、F，求的最小值． 【答案】（1） 如图所示，为所作圆． （2） 【解析】 【分析】（1）连接CD，用尺规作图，作线段CD的垂直平分线，找到线段CD的中点O，然后以O为圆心，为半径主要作圆即为所作圆． （2）过点C作，根据点到直线的距离，垂线段最短可知，点CD为圆的直径时，此时圆的直径最短，根据面积法可得出因为EF也为圆的直径，所以可得出EF最最小值为 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，作于点D， 当CD为过的圆心点O时，此时圆的直径最短 ∴EF为的直径， ∴此时EF的长为 故EF的最小值为： 【点睛】本题主要考查了尺规作图，勾股定理，三角形面积求斜边上的高，垂线段最短等知识点的应用，熟练掌握点到直线的距离垂线段最短这性质定理是解此题的关键． 23. 如图，在中，，为上的一点，以为直径的半圆与交于点，且切于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵切于点， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，推出，由平行线的性质以及半径相等即可推得结论； （2）连接，根据等边三角形的判定与性质以及含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴、都为等边三角形，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 24. 小明开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ （2）为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】（1）1152元 （2）解：不能；理由如下： 设每件T恤衫降价元时，每天能获得1200元的利润． 由题意可得， 去括号整理得， 因式分解得， 所以， 当时，每件利润为元， 利润率，不符合题意， 当时，每件利润为元， 利润率，不符合题意， 综上所述，为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练应用一元二次方程解决问题是解题的关键． （1）根据题意，可表示出降价后的售价和每天的销售量，继而求得每天的利润； （2）根据题意，可设出降低的价格，根据等量关系“利润销售价每天的销量”列出方程，继而利用利润率对求得的解进行检验，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，若降价8元，每天能多售出（件）， 所以此时的销售价为元，销售量为（件）， 所以每天销售T恤衫的利润为（元）． 即若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． 【小问2详解】 略 25. 如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的直径为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果 【小问1详解】 解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是20； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， ． 26. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，， 是的直径， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 于点， 又点在上， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据是的直径，得出，，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，即可得出，即可证明是的切线． （2）根据勾股定理求出，在三角形中和三角形中根据勾股定理求出，即，求出，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 在中，在中， ， ， 解得：， ，， 的半径为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 27. 已知：如图所示，在等边中，边长均为，点P、点Q分别从点A、点B出发同时向点C以的速度移动，到点C时停止． （1）几秒后，的面积等于？ （2）设运动的时间为秒，以Q为圆心，为半径画圆，当与线段有唯一公共点时，求的取值范围． 【答案】（1）秒后，的面积等于 （2）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，设运动时间为秒，则，先证明是等边三角形，再根据题意列方程即可； （2）分两种情况：当与直线相切于点时，连接，当与直线相交，与线段只有一个交点时讨论即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， 设运动时间为秒，则， 在等边中，， ， ， 是等边三角形， 在中，， ，， ， 解得：，， ， ， ， 故秒后，的面积等于； 【小问2详解】 解：如图，当与直线相切于点时，连接， ， 在中，， ， 是等边三角形， ， ，即， 解得：， 当与直线相交，与线段只有一个交点时， ，即， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，动点问题，直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是本题的关键． 28. 定义：当点P在射线OA上时，把的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值． 例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为＝． （1）在△OAB中， ①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形； ②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形； ③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形． 其中真命题有　 　． A．①②B．①③C．②③D．①②③ （2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点． ①如图2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC是⊙O的切线； ②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为　 　． 【答案】（1）B； （2）①证明：如图2，作BH⊥OC于点H， ∵点B在射线OA上的射影值为， ∴＝，＝，CA＝OA＝OB＝1， ∴＝， 又∵∠BOH＝∠COB， ∴△BOH∽△COB， ∴∠BHO＝∠CBO＝90°， ∴BC⊥OB， ∴直线BC是⊙O的切线； ②y＝0（≤x≤）或y＝2x﹣（＜x≤）． 【解析】 【分析】（1）根据射影值的定义一一判断即可． （2）①根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，可得△BOH∽△COB，由相似三角形的性质可得∠BHO＝∠CBO＝90°，根据切线的判定定理可得答案； ②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．分两种情况考虑：当∠DOB＜90°时；当∠BOD＝90°时． 【详解】解：（1）①错误．点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角，故△OAB不一定是锐角三角形； ②正确．点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形； ③正确．点B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角，故△OAB是钝角三角形； 故答案为：B． （2）①略 ②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB， 当∠DOB＜90°时，设DM＝h， ∵D为线段BC的中点， ∴S△OBD＝S△ODC， ∴OB×DN＝OC×DM， ∴DN＝2h， ∵在Rt△DON和Rt△DOM中， OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2， ∴4h2+y2＝h2+x2， ∴3h2＝x2﹣y2①， ∵BD2＝CD2， ∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②， ①②消去h得：y＝2x﹣． 如图，当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M， ∵D为线段BC的中点， ∴S△OBD＝S△ODC， ∴OB×DO＝OC×DM， ∵CA＝OA＝OB＝1， ∴OD＝2DM， ∴sin∠DOM＝， ∴∠DOM＝30°， 设DM＝h，则OD＝2h，OM＝h， ∴h2+＝1+4h2， ∴h＝， ∴OM＝， 当点B在OC上时，OD＝， 综上所述，当≤x≤时，y＝0；当＜x≤时，y＝2x﹣． 故答案为：y＝0（≤x≤）或y＝2x﹣（＜x≤）． 【点睛】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、射影值的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $