重难点16：破解圆锥曲线中点弦：圆锥曲线中的中点弦问题讲义-2026届高三数学一轮复习

重难点16：破解圆锥曲线中点弦：圆锥曲线中的中点弦问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 4 题型一、求弦所在直线方程 4 题型二、求圆锥曲线离心率 6 题型三、求与弦中点有关的轨迹方程 8 题型四、求中点弦的存在性问题 12 题型五、求参数问题 16 题型六、求与中点弦有关的距离/面积问题 18 题型七、求与中点弦有关的定值问题 21 题型精析・方法突破提能力 25 知识网络・核心根基深扎牢 一、解题思路 利用中点弦求解圆锥曲线问题的核心思路是通过 “点差法” 或 “韦达定理法” 建立中点坐标与直线斜率的关系，进而推导所需结论。无论何种中点弦问题（求直线方程、轨迹、存在性等），均遵循 “设点→代入→作差 / 联立→推导关系→验证” 的基本流程，关键是建立中点坐标与弦所在直线斜率的联系。 步骤 1：明确已知条件与目标 确定圆锥曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线）及其标准方程；明确中点坐标（或中点满足的条件）、待求量（直线方程、轨迹方程、参数范围等）。 步骤 2：设点与表示中点 设弦的两个端点为； 根据中点坐标公式，得到： 步骤 3：代入曲线方程并作差（点差法核心） 代入方程：将两点坐标代入圆锥曲线方程，进行作差化简。 步骤 4：结合条件求解目标 求直线方程：已知中点，用点斜式写出直线方程（斜率由步骤 3 得）； 求中点轨迹：设中点为，用斜率关系（如直线过定点、斜率满足某条件）消去参数，得到轨迹方程； 存在性判断：求出直线方程后，联立曲线方程，通过判别式验证是否有实根。 步骤 5：验证特殊情况与范围 检查直线斜率不存在的情况（如垂直轴的直线是否符合条件）； 限制轨迹范围：确保中点对应的弦与曲线有两个交点（利用判别式或曲线范围）。 二、方法技巧 知识点1：弦长公式 设直线，则A，B两点间距离为： ； ； 特殊情况（焦点弦）： 椭 圆：；其中为直线的倾斜角。 双曲线：；其中为直线的倾斜角。 抛物线：；其中为直线的倾斜角。 注意：以上情况为焦点在x轴情况，若焦点在y轴，则与互换 知识点2：圆锥曲线点差法 其本质是利用圆锥曲线的对称性和方程的整体性：设弦的两端点在曲线上，代入方程后作差，可通过平方差公式分解出含中点坐标和直线斜率的表达式，直接搭建二者的桥梁。 椭 圆：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以得：，即 双曲线：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以得：，即 抛物线：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以： 知识点3：弦中点性质 椭 圆：则弦的斜率之积为定值，即： 双曲线：则弦的斜率之积为定值，即： 抛物线：则弦的斜率之积为定值，即： 知识点4：弦中点坐标或斜率求离心率 椭 圆：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则 双曲线：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、求弦所在直线方程 典例探究 【典型例题】设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程. 【详解】将直线方程代入椭圆方程中，得到. 展开式子化简为. 根据韦达定理,所以，又因为中点横坐标. 已知，把代入可得. 因为，即. 所以线段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 举一反三 【1-1】设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可. 【详解】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段AB存在， 故选：C 【1-2】已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 【1-3】已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】易知直线l的斜率存在，设，则，两式相减即可得出直线的斜率的值． 【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，， 则，两式相减得，整理得， 因为MN的中点为，则， 所以，即直线l的斜率为3． 故选：C． 题型二、求圆锥曲线离心率 典例探究 【典型例题】过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 举一反三 【2-1】已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 【2-2】过点作斜率为的直线与椭圆相交于两个不同点，若是的中点，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】假设点，然后代入椭圆方程，使用点差法以及中点坐标公式可得关系，最后根据以及简单计算即可. 【详解】设 所以 所以，又 所以，即，又 所以 故选：B 【2-3】已知椭圆E： 的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法列方程，解方程求得的值，进而求得离心率. 【详解】设代入椭圆方程得  , 两式相减并化简得，即， 解得;， 故离心率为. 故选：B. 题型三、求与弦中点有关的轨迹方程 典例探究 【典型例题】已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． B． D． 【答案】B 【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 举一反三 【3-1】已知椭圆E：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中点坐标公式和点差法可求得的值，结合可得出的值，进而得解. 【详解】设点、，则的中点为， 则，可得. 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意； 故直线的斜率存在，且， 由于A、两点都在椭圆上，则， 两式相减得，即， 因为在直线AB上，故，故，即， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 【3-2】若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是圆锥曲线中点弦问题，运用点差法求解双曲线方程. 【详解】根据题意，是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为，且，， 由已知条件易得直线的斜率为，则有， 变形可得，因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得，又因为的中点为， 所以，，化简得， 又因为，所以，解得，， 则双曲线的方程为：. 故选：B. 【3-3】已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的方程为，，，，，运用点差法，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，可得，的方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到所求双曲线的方程． 【详解】解：设双曲线的方程为， 由题意可得，① 设，，，， 可得，， 两式相减可得， 由题意可得的中点坐标为，直线的斜率为， 则，② 由①②解得，， 所以双曲线的方程为． 故选：A． 题型四、求中点弦的存在性问题 典例探究 【典型例题】已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先由点差法求出直线方程，然后联立直线方程与双曲线方程，判断判别式是否大于0即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据题意列出的不等式即可求解. 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 举一反三 【4-1】直线和双曲线的左支交于A，B两点，直线l过点和线段AB的中点． （1）求的取值范围； （2）是否存在值，使l在轴上的截距为1，若存在，求值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，消去，设直线和双曲线的交点为），．依题意可得解得即可； （2）设线段AB的中点为M，则点．假设存在直线，则M在直线上，由l在轴上的截距为1，即可求出，再与（1）中的取值范围检验即可； 【详解】解：（1）由方程消去y，整理得． 设直线和双曲线的交点为），． 由题意知即，解得． （2）设线段AB的中点为M，则点． 假设存在直线，则M在直线上， 故， 即，代入， 得 ． 令则， 解得或，而 ，故不存在． 【4-2】已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值，定值为0 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和离心率求出、，进而求出，即可得到双曲线方程； （2）利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程，然后联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双曲线是否有交点，从而确定是否存在满足条件的直线； 【详解】（1）因为的实轴长为4，所以，解得，又因为C的离心率为2，所以，所以，所以的方程为． （2）由题意直线l的斜率存在，假设存在直线l满足条件，设，， 则，，所以， 即， 因为P为线段AB的中点，所以，， 所以，所以，即直线l的斜率为3， 所以直线l的方程为y=3x－2． 联立，消去y并整理得， ， 所以直线l与C无公共点，这与直线l与C交于A，B两点矛盾， 故不存在直线l，使得P恰好是线段AB的中点． 【4-3】在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2． (1)求M的轨迹方程； (2)记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设，根据所给条件，列出方程化简即可得出轨迹方程； （2）利用“点差法”求出直线方程，再联立椭圆方程，利用判别式检验即可. 【详解】（1）设，则， 由得 整理得 所以，点M得轨迹方程为． （2）设，，可得 两式相减得 由题意，，，所以 直线AB方程为 代入得，． ∵， ∴不存在这样的直线l． 题型五、求参数问题 典例探究 【典型例题】已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，若直线垂直平分线段，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交点的坐标，代入椭圆方程得到方程组，两式作差后整理化简得到，由直线斜率再次化简得，在利用中点坐标公式得到，结合点在直线上得到发现，解出，再代入方程，求得的值. 【详解】设，直线与直线交于点，则， 两式相减得，， 即，∴ 由∵为中点，即， ∴，又， ∴， ∴. 故选：D. 举一反三 【5-1】椭圆与直线交于M，N两点，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法可推出，设线段中点为，结合题意推出，，代入化简，即可得答案. 【详解】设，则， 两式相减得， 由已知椭圆与直线交于M，N两点，可知， 故，即， 设线段中点为，则，而， 连接原点与线段中点所得直线的斜率为，即， 故，即， 故选：A 【5-2】斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 【5-3】已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解； 【详解】解：设、，则，， 两式相减可得， 为线段的中点，，， ，又，， ，即，， 故选：D. 题型六、求与中点弦有关的距离/面积问题 典例探究 【典型例题】已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】由点差法结合已知可得，进而求出，根据椭圆上一点到焦点的距离的最小值为求得结果. 【详解】设，则， 两式作差得，即，即①， 因为点恰好是的中点，所以， 又因为直线的斜率为， 将它们代入①式得，解得， 又，则， 所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为． 故选：B． 举一反三 【6-1】已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】代入点差法公式，求直线的斜率，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】设，， 则，两式相减得， 由条件可知，，， 即， 并且由对称性可知，，所以， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离. 故选：B 【6-2】已知椭圆内一点，过点M的直线l与椭圆交于点A，B，若，则椭圆右焦点到直线l的距离为 A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】由可知为中点,设,代入椭圆方程利用点差法可求出,由点斜式即可写出直线方程,进而利用点到直线的距离公式可解得结果. 【详解】由可知为中点,设,则,作差化简可得: 即,因为,代入解得:.则直线,椭圆的右焦点到直线的距离为. 故选:A. 【6-3】已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点P到焦点的距离转化为到准线的距离，求出p，得抛物线方程； （2）利用点差法，求出直线AB的方程，与抛物线联立，求出三角形的面积. 【详解】（1）由定义知，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，， 因为是线段的中点，所以， ，则， 所以直线AB的斜率， 所以直线的方程为，设直线与轴交于点，则， 联立，得，所以，， 所以，. 题型七、求与中点弦有关的定值问题 典例探究 【典型例题】如图，已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M． (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； (2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)能，此时l的斜率为 【分析】（1）利用点差法进行求解，得到直线OM的斜率与l的斜率的乘积为； （2）先判断出直线l的斜率满足，，由（1）得的方程为，设点的横坐标为，联立求出，，从而得到方程，求出答案. 【详解】（1）设，， ， 两式相减得，即， 故，其中， 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为； （2）能，此时l的斜率为，理由如下： 将代入得， 故在外，且在第一象限，为与的交点， 因为l过点，当l过原点时，直线l的斜率为， 所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件为，， 由（1）得的方程为，设点的横坐标为， 由得，即， 联立与得， 若四边形OAPB为平行四边形，需，即， 解得，均满足要求， 综上，四边形OAPB能为平行四边形，此时l的斜率为. 举一反三 【7-1】在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，利用焦距，长轴，短轴间关系可得答案； （2）设，，，将A，B两点代入椭圆方程可得及表达式，即可得答案. 【详解】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知 ，    解得. 故椭圆的标准方程为； （2）证明：设，，，则，． 把，代入椭圆方程得：. 两式相减可得，即．又， 则，故为定值． 【7-2】已知椭圆： ，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于、两点，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； (2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】(1)根据给定条件利用“点差法”结合斜率的坐标公式计算得解. (2)联立直线与椭圆的方程，结合(1)的信息及已知求出点P的坐标求解作答. 【详解】（1）依题意，设，，，， 两式相减可得，则，即， 因为，，直线的斜率，直线的斜率， 于是得是定值， 所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值. （2）设点的坐标为，由消去y并整理得：， 则，，又四边形为平行四边形， 即线段与线段互相平分，则，即点，而点在椭圆C上， 于是得，解得， 所以椭圆的方程为：． 【7-3】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，AB为椭圆的一条不过原点的弦，直线y=kx（k>0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q(不与A,B重合)两点，设直线AB的斜率为，点P的坐标为（1，） （1）求椭圆C的方程； （2）求证：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意可列方程组，解之即得； （2）利用“点差法”即证. 【详解】（1）由题意知解得 故椭圆的方程为. （2）证明：设，，，由于A，B为椭圆C上的点，所以，， 两式相减得， 所以. 又， 故，为定值. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】直线 与椭圆 交于A、B两点， 点为A、B的中点， 则直线 的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，点为A、B的中点，利用“点差法”可求得直线的斜率． 【详解】设，，点是线段的中点，则，， A、B两点代入椭圆方程作差，得， 所以，由题意知，直线的斜率存在，所以， 得. 故选：A. 【突破提升训练・2】已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为 若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线l的斜率为k，则，求得，由点在圆上，可求出，设点，，则，，两式相减化简可得，从而可求出的值，进而可得双曲线C的方程. 【详解】设直线l的斜率为k，则，所以， 因为点在圆上， ，即， 设点，，则，. 两式相减，得 则，即， 所以双曲线C的方程为. 故选：B. 【突破提升训练・3】已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“点差法”探索的关系，再根据双曲线离心率的概念求双曲线的离心率. 【详解】设，， 则，① ，② 因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为， 由得：中点坐标为，所以， 且. ①②可得， 则， 故选：D 【突破提升训练・4】已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点为，根据易知确定坐标值，再应用点差法及直线斜率的两点公式得到，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率. 【详解】设中点为，由题设易知，故， 因为，故， 所以，而，故， 故，故. 故选：A 【突破提升训练・5】已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 【突破提升训练・6】过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 【突破提升训练・7】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，代入椭圆方程得相减整理得到，再根据的中点坐标为（1，-1），有，代入上式，利用概率公式求解. 【详解】设，， 所以，相减得， ∴， 即， 又∵，， 所以，即， 解得，又， ∴． 即椭圆的方程为. 故选：A． 【突破提升训练・8】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【突破提升训练・9】已知中心在原点，半焦距为 4 的椭圆 被直线方程 截得的弦的中点横坐标为-4，则椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解. 【详解】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则， 直线的斜率. 由，得， 得，所以， 即，， ，，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 【突破提升训练・10】已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数b的值为（    ） A．0或 B．0 C． D． 【答案】A 【解析】设，，的中点，根据点M，N在双曲线上，且P为中点，利用点差法得到，再由M，N关于直线对称，得到，则，又点在直线上，得到，联立求得点P,代入抛物线方程求解. 【详解】设，，的中点， 因为， 所以； 又因为， 所以； 又因为M，N关于直线对称， 所以，即； 又因为点在直线上，所以； 由，可得， 所以， 即或， 故选：A. 【突破提升训练・11】已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法列方程可得解. 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 【突破提升训练・12】已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与相交于A，B两点，且点为弦AB的中点，利用点差法求解. 【详解】解：设， 因为直线与相交于A，B两点，所以， 由题意得， 故选：D 【突破提升训练・13】过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得. 【详解】设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率， 解得． 故选：A. 【突破提升训练・14】已知双曲线，直线与双曲线交于A，B两点，为坐标原点，若点在直线上且直线OP把分成面积相等的两部分，则下列不能作为点的坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知为线段AB的中点，设出，两点坐标，及AB的中点坐标，直线方程为：，应用点差法求得，根据此关系式求出直线斜率，联立直线方程与双曲线方程，验证判别式求直线与双曲线交点个数即可判断选项作为点是否合适. 【详解】由题可得点为线段AB的中点， 选项A：数形结合可知，直线为直线时，点为AB的中点， 故可以作为点的坐标； 已知双曲线，直线斜率存在时设直线方程为： 与双曲线交于，两点，AB的中点为， 则，，两式相减可得 ，得 选项B：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，， 可以作为点的坐标； 选项C：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，， 可以作为点的坐标； 选项D：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，， 不能作为点的坐标． 故选：D 【突破提升训练・15】已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进而可求解. 【详解】 抛物线的焦点， 设，假设， 显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零， 设弦所在的直线方程为， 联立，消去可得，， 所以， 因为，所以，则， 所以，解得，所以， 所以， 所以弦的中点的坐标为， 所以弦的中点轴的距离为， 故选:C. 【突破提升训练・16】直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，代入抛物线方程，两式相减后结合线段中点的纵坐标得出，再结合焦点的坐标得出直线的方程，由点到直线距离公式计算即可． 【详解】由抛物线得焦点， 设，，则， 两式相减得，即， 因为线段中点的纵坐标为1，即， 所以，即， 所以直线的方程为，即，显然此时直线与抛物线有两交点， 所以到直线的距离， 故选：A． 【突破提升训练・17】已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（   ）. A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】设，由直线方程与抛物线方程联立消去后利用韦达定理得，从而可得中点横坐标，也即可求得中点到准线的距离． 【详解】由题意抛物线标准方程为，，， ∴焦点为，准线方程为， 直线方程为，代入抛物线方程整理得， 设，则， 设中点为，则， ∴到准线的距离为． 故选：A． 【突破提升训练・18】已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点. (1)若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围； (2)若线段的中点坐标为，求直线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合三角形的面积公式可得，再由椭圆的方程代入计算，即可得到结果； （2）由点差法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设，由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得，即点Q的横坐标的取值范围为； （2）设，， 则，两式相减作差可得， 即，即，即， 又，所以， 由直线的点斜式可得， 化简可得， 所以直线的方程为. 【突破提升训练・19】已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 【突破提升训练・20】已知椭圆. (1)求斜率为的平行弦中点的轨迹方程; (2)若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程; (3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【答案】(1)（）. (2)（）. (3). 【分析】（1）设弦的两端点为，线段的中点为，由点差法可得，代入可得方程，联立求轨迹范围，由此可得结论， （2）由（1），代入可得，联立求轨迹范围， （3）由（1），代入，可得，利用点斜式求直线方程. 【详解】（1）设弦的两端点为，线段的中点为， 则有，. 两式作差，得. 因为，，， 代入后求得　①. 所以，所以. 联立可得，或 故所求的轨迹方程为（） （2）由①式，得. 又因为，所以-. 整理得， 联立可得或， 故所求的轨迹方程为（）. （3）由①式，得弦所在的直线的斜率， 又，所以 所以其方程为，即. 【突破提升训练・21】已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程． 【答案】 【分析】 设双曲线的方程为，利用点差法求出的关系，再结合，求出，即可得解. 【详解】设双曲线的方程为，由题意可得， 设，， 由直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为， 得的中点为，则， 由且， 两式相减得， 则，即， 所以，联立，解得，， 故所求双曲线的方程为． 【突破提升训练・22】已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与椭圆，利用方程组与两个交点，求出的范围. （2）设交点，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）联立 的取值范围 （2）设 由得. 线段中点的横坐标为 【突破提升训练・23】已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，点，坐标原点 (1)求的值； (2)直线经过点，与的两条渐近线分别交于点.若的面积为，求直线的方程； (3)如图，直线交双曲线的右支于不同两点，，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倾斜角计算出斜率，由此可求的值； （2）联立直线与渐近线方程，得到的坐标并表示出，由求得结果； （3）设出以及的中点的坐标，通过点差法得到的坐标与的关系，结合在双曲线的右支内部以及在直线上求解出的范围. 【详解】（1）因为渐近线的倾斜角为，所以， 所以. （2）由题意可知直线的斜率存在，设，由（1）可知渐近线方程为， 联立，可得，不妨取，所以， 同理可得，所以， 所以，解得， 所以. （3）设，的中点为， 由题意可知的斜率绝对值大于渐近线斜率的绝对值，所以， 联立，可得，所以， 又因为，所以，即， 又因为，所以，所以，所以， 联立，可得，所以， 将代入双曲线方程中，可得，因为在双曲线的右支内部，所以， 又因为，所以，所以， 即. 【突破提升训练・24】已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案； （2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案. 【详解】（1）由题意知动点到点的距离等于到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为. （2）设，，则， 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 【突破提升训练・25】已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离求出，结合渐近线方程即可求出双曲线方程； （2）利用点差法求出直线的斜率，然后联立直线与双曲线的方程，求出弦长和点到直线的距离，即可求出的面积. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以， 故到渐近线的距离， 所以，又，所以， 故的方程为. （2）设点，因为是弦的中点，则 由于，所以两式相减得， 所以，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立消去并整理，得， 所以，且， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积为.    【突破提升训练・26】已知抛物线T：和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点． (1)若F恰是椭圆C的焦点，求的值； (2)若，且恰好被平分，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆方程求出，再由F恰是椭圆焦点，即可求得； （2）设直线 ，，，直线方程与椭圆方程联立，根据根与系数关系得出和，设的中点，得出，，设，，且直线MN的斜率为，由点差法得出，代入得出，根据由点G在椭圆内及，得出，根据计算的面积即可． 【详解】（1）在椭圆中，，所以， 由，得． （2）设直线l：，，， 联立方程，消去x得， ，则， 设的中点，则，， 设，，则直线MN的斜率为， ，， 相减得到，即， 即，解得， 由点G在椭圆内，得，解得， 因为， 所以p值是1， 所以面积． 【突破提升训练・27】已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到方程，求出答案； （2）设，，点差法得到直线的斜率，从而得到直线的方程，由焦点弦弦长公式得到，结合点到直线距离，得到三角形面积. 【详解】（1）设，，联立直线与抛物线得：， 消去x得到，∴，， ∴． 解得或－3（舍去）．∴． （2）设，， ∵A，B在抛物线C上，∴，， 两式作差得． ∵AB中点坐标为，∴，， ∴， ∴， ∴l：，整理得l：． 故l过的焦点，弦长． 又O到l的距离为． ∴． 【突破提升训练・28】已知是双曲线的右焦点，过点F的直线与E交于两点（不同于E的顶点），当直线过点时，C恰为的中点． (1)求E的方程； (2)设分别为E的左、右顶点，与交于点与交于点Q，若D为的中点，证明为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）设，代入方程利用点差法得，联立求解即可 （2）直线AB的方程为，联立方程，根据题意结合韦达定理可证均在直线上，求的坐标，利用向量的坐标运算可得，结合几何知识即可得的值. 【详解】（1）因为右焦点，所以， 设， 因为直线过点时，C恰为的中点， 由中点坐标公式得，， 又在双曲线上， 所以①，②，两式相减得， 所以， 因为直线的斜率为， 又，所以，所以， 故双曲线E的方程为. （2）由（1）知，且分别为E的左、右顶点，可知， 由题意可知：直线AB的斜率可以不存在，但不为0， 设直线AB的方程为，此时直线AB必与双曲线相交， 设，可知， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 因为直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 可得，则，即， 同理可得，即均在直线上， 则，， 可得 ， 可知，即， 可知，所以. 【突破提升训练・29】已知直线恰好经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，为的中点，当时，直线的斜率为1． (1)求双曲线的方程； (2)若直线经过且与直线垂直，与双曲线交于，两点，为的中点，证明：与的面积之比为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用点差法可求得，结合，求出，即可求出双曲线的方程； （2）直线与双曲线方程联立，求出点坐标，因为直线与垂直，所以用替换，得到点的坐标，求出直线的方程，即可得出恒过定点，即可得出与的面积之比 【详解】（1）依题意可知，设，， 则两式作差可得， 即，又当时，直线的斜率为1， 所以．又，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）联立直线与双曲线方程，得 消去整理得，则，， 则所以，，所以． 又因为直线与垂直，所以用替换，得到． 当，即时，直线的方程为，直线过点． 当且，时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，得，所以直线过点． 综上，直线恒过点． 所以与的面积之比为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点16：破解圆锥曲线中点弦：圆锥曲线中的中点弦问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 4 题型一、求弦所在直线方程 4 题型二、求圆锥曲线离心率 6 题型三、求与弦中点有关的轨迹方程 8 题型四、求中点弦的存在性问题 12 题型五、求参数问题 16 题型六、求与中点弦有关的距离/面积问题 18 题型七、求与中点弦有关的定值问题 21 题型精析・方法突破提能力 25 知识网络・核心根基深扎牢 一、解题思路 利用中点弦求解圆锥曲线问题的核心思路是通过 “点差法” 或 “韦达定理法” 建立中点坐标与直线斜率的关系，进而推导所需结论。无论何种中点弦问题（求直线方程、轨迹、存在性等），均遵循 “设点→代入→作差 / 联立→推导关系→验证” 的基本流程，关键是建立中点坐标与弦所在直线斜率的联系。 步骤 1：明确已知条件与目标 确定圆锥曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线）及其标准方程；明确中点坐标（或中点满足的条件）、待求量（直线方程、轨迹方程、参数范围等）。 步骤 2：设点与表示中点 设弦的两个端点为； 根据中点坐标公式，得到： 步骤 3：代入曲线方程并作差（点差法核心） 代入方程：将两点坐标代入圆锥曲线方程，进行作差化简。 步骤 4：结合条件求解目标 求直线方程：已知中点，用点斜式写出直线方程（斜率由步骤 3 得）； 求中点轨迹：设中点为，用斜率关系（如直线过定点、斜率满足某条件）消去参数，得到轨迹方程； 存在性判断：求出直线方程后，联立曲线方程，通过判别式验证是否有实根。 步骤 5：验证特殊情况与范围 检查直线斜率不存在的情况（如垂直轴的直线是否符合条件）； 限制轨迹范围：确保中点对应的弦与曲线有两个交点（利用判别式或曲线范围）。 二、方法技巧 知识点1：弦长公式 设直线，则A，B两点间距离为： ； ； 特殊情况（焦点弦）： 椭 圆：；其中为直线的倾斜角。 双曲线：；其中为直线的倾斜角。 抛物线：；其中为直线的倾斜角。 注意：以上情况为焦点在x轴情况，若焦点在y轴，则与互换 知识点2：圆锥曲线点差法 其本质是利用圆锥曲线的对称性和方程的整体性：设弦的两端点在曲线上，代入方程后作差，可通过平方差公式分解出含中点坐标和直线斜率的表达式，直接搭建二者的桥梁。 椭 圆：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以得：，即 双曲线：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以得：，即 抛物线：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以： 知识点3：弦中点性质 椭 圆：则弦的斜率之积为定值，即： 双曲线：则弦的斜率之积为定值，即： 抛物线：则弦的斜率之积为定值，即： 知识点4：弦中点坐标或斜率求离心率 椭 圆：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则 双曲线：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、求弦所在直线方程 典例探究 【典型例题】设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程. 【详解】将直线方程代入椭圆方程中，得到. 展开式子化简为. 根据韦达定理,所以，又因为中点横坐标. 已知，把代入可得. 因为，即. 所以线段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 举一反三 【1-1】设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可. 【详解】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段AB存在， 故选：C 【1-2】已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 【1-3】已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】易知直线l的斜率存在，设，则，两式相减即可得出直线的斜率的值． 【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，， 则，两式相减得，整理得， 因为MN的中点为，则， 所以，即直线l的斜率为3． 故选：C． 题型二、求圆锥曲线离心率 典例探究 【典型例题】过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 举一反三 【2-1】已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 【2-2】过点作斜率为的直线与椭圆相交于两个不同点，若是的中点，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】假设点，然后代入椭圆方程，使用点差法以及中点坐标公式可得关系，最后根据以及简单计算即可. 【详解】设 所以 所以，又 所以，即，又 所以 故选：B 【2-3】已知椭圆E： 的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法列方程，解方程求得的值，进而求得离心率. 【详解】设代入椭圆方程得  , 两式相减并化简得，即， 解得;， 故离心率为. 故选：B. 题型三、求与弦中点有关的轨迹方程 典例探究 【典型例题】已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． B． D． 【答案】B 【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 举一反三 【3-1】已知椭圆E：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中点坐标公式和点差法可求得的值，结合可得出的值，进而得解. 【详解】设点、，则的中点为， 则，可得. 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意； 故直线的斜率存在，且， 由于A、两点都在椭圆上，则， 两式相减得，即， 因为在直线AB上，故，故，即， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 【3-2】若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是圆锥曲线中点弦问题，运用点差法求解双曲线方程. 【详解】根据题意，是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为，且，， 由已知条件易得直线的斜率为，则有， 变形可得，因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得，又因为的中点为， 所以，，化简得， 又因为，所以，解得，， 则双曲线的方程为：. 故选：B. 【3-3】已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的方程为，，，，，运用点差法，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，可得，的方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到所求双曲线的方程． 【详解】解：设双曲线的方程为， 由题意可得，① 设，，，， 可得，， 两式相减可得， 由题意可得的中点坐标为，直线的斜率为， 则，② 由①②解得，， 所以双曲线的方程为． 故选：A． 题型四、求中点弦的存在性问题 典例探究 【典型例题】已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先由点差法求出直线方程，然后联立直线方程与双曲线方程，判断判别式是否大于0即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据题意列出的不等式即可求解. 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 举一反三 【4-1】直线和双曲线的左支交于A，B两点，直线l过点和线段AB的中点． （1）求的取值范围； （2）是否存在值，使l在轴上的截距为1，若存在，求值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，消去，设直线和双曲线的交点为），．依题意可得解得即可； （2）设线段AB的中点为M，则点．假设存在直线，则M在直线上，由l在轴上的截距为1，即可求出，再与（1）中的取值范围检验即可； 【详解】解：（1）由方程消去y，整理得． 设直线和双曲线的交点为），． 由题意知即，解得． （2）设线段AB的中点为M，则点． 假设存在直线，则M在直线上， 故， 即，代入， 得 ． 令则， 解得或，而 ，故不存在． 【4-2】已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值，定值为0 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和离心率求出、，进而求出，即可得到双曲线方程； （2）利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程，然后联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双曲线是否有交点，从而确定是否存在满足条件的直线； 【详解】（1）因为的实轴长为4，所以，解得，又因为C的离心率为2，所以，所以，所以的方程为． （2）由题意直线l的斜率存在，假设存在直线l满足条件，设，， 则，，所以， 即， 因为P为线段AB的中点，所以，， 所以，所以，即直线l的斜率为3， 所以直线l的方程为y=3x－2． 联立，消去y并整理得， ， 所以直线l与C无公共点，这与直线l与C交于A，B两点矛盾， 故不存在直线l，使得P恰好是线段AB的中点． 【4-3】在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2． (1)求M的轨迹方程； (2)记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设，根据所给条件，列出方程化简即可得出轨迹方程； （2）利用“点差法”求出直线方程，再联立椭圆方程，利用判别式检验即可. 【详解】（1）设，则， 由得 整理得 所以，点M得轨迹方程为． （2）设，，可得 两式相减得 由题意，，，所以 直线AB方程为 代入得，． ∵， ∴不存在这样的直线l． 题型五、求参数问题 典例探究 【典型例题】已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，若直线垂直平分线段，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交点的坐标，代入椭圆方程得到方程组，两式作差后整理化简得到，由直线斜率再次化简得，在利用中点坐标公式得到，结合点在直线上得到发现，解出，再代入方程，求得的值. 【详解】设，直线与直线交于点，则， 两式相减得，， 即，∴ 由∵为中点，即， ∴，又， ∴， ∴. 故选：D. 举一反三 【5-1】椭圆与直线交于M，N两点，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法可推出，设线段中点为，结合题意推出，，代入化简，即可得答案. 【详解】设，则， 两式相减得， 由已知椭圆与直线交于M，N两点，可知， 故，即， 设线段中点为，则，而， 连接原点与线段中点所得直线的斜率为，即， 故，即， 故选：A 【5-2】斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 【5-3】已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解； 【详解】解：设、，则，， 两式相减可得， 为线段的中点，，， ，又，， ，即，， 故选：D. 题型六、求与中点弦有关的距离/面积问题 典例探究 【典型例题】已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】由点差法结合已知可得，进而求出，根据椭圆上一点到焦点的距离的最小值为求得结果. 【详解】设，则， 两式作差得，即，即①， 因为点恰好是的中点，所以， 又因为直线的斜率为， 将它们代入①式得，解得， 又，则， 所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为． 故选：B． 举一反三 【6-1】已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】代入点差法公式，求直线的斜率，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】设，， 则，两式相减得， 由条件可知，，， 即， 并且由对称性可知，，所以， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离. 故选：B 【6-2】已知椭圆内一点，过点M的直线l与椭圆交于点A，B，若，则椭圆右焦点到直线l的距离为 A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】由可知为中点,设,代入椭圆方程利用点差法可求出,由点斜式即可写出直线方程,进而利用点到直线的距离公式可解得结果. 【详解】由可知为中点,设,则,作差化简可得: 即,因为,代入解得:.则直线,椭圆的右焦点到直线的距离为. 故选:A. 【6-3】已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点P到焦点的距离转化为到准线的距离，求出p，得抛物线方程； （2）利用点差法，求出直线AB的方程，与抛物线联立，求出三角形的面积. 【详解】（1）由定义知，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，， 因为是线段的中点，所以， ，则， 所以直线AB的斜率， 所以直线的方程为，设直线与轴交于点，则， 联立，得，所以，， 所以，. 题型七、求与中点弦有关的定值问题 典例探究 【典型例题】如图，已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M． (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； (2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)能，此时l的斜率为 【分析】（1）利用点差法进行求解，得到直线OM的斜率与l的斜率的乘积为； （2）先判断出直线l的斜率满足，，由（1）得的方程为，设点的横坐标为，联立求出，，从而得到方程，求出答案. 【详解】（1）设，， ， 两式相减得，即， 故，其中， 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为； （2）能，此时l的斜率为，理由如下： 将代入得， 故在外，且在第一象限，为与的交点， 因为l过点，当l过原点时，直线l的斜率为， 所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件为，， 由（1）得的方程为，设点的横坐标为， 由得，即， 联立与得， 若四边形OAPB为平行四边形，需，即， 解得，均满足要求， 综上，四边形OAPB能为平行四边形，此时l的斜率为. 举一反三 【7-1】在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，利用焦距，长轴，短轴间关系可得答案； （2）设，，，将A，B两点代入椭圆方程可得及表达式，即可得答案. 【详解】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知 ，    解得. 故椭圆的标准方程为； （2）证明：设，，，则，． 把，代入椭圆方程得：. 两式相减可得，即．又， 则，故为定值． 【7-2】已知椭圆： ，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于、两点，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； (2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】(1)根据给定条件利用“点差法”结合斜率的坐标公式计算得解. (2)联立直线与椭圆的方程，结合(1)的信息及已知求出点P的坐标求解作答. 【详解】（1）依题意，设，，，， 两式相减可得，则，即， 因为，，直线的斜率，直线的斜率， 于是得是定值， 所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值. （2）设点的坐标为，由消去y并整理得：， 则，，又四边形为平行四边形， 即线段与线段互相平分，则，即点，而点在椭圆C上， 于是得，解得， 所以椭圆的方程为：． 【7-3】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，AB为椭圆的一条不过原点的弦，直线y=kx（k>0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q(不与A,B重合)两点，设直线AB的斜率为，点P的坐标为（1，） （1）求椭圆C的方程； （2）求证：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意可列方程组，解之即得； （2）利用“点差法”即证. 【详解】（1）由题意知解得 故椭圆的方程为. （2）证明：设，，，由于A，B为椭圆C上的点，所以，， 两式相减得， 所以. 又， 故，为定值. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】直线 与椭圆 交于A、B两点， 点为A、B的中点， 则直线 的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，点为A、B的中点，利用“点差法”可求得直线的斜率． 【详解】设，，点是线段的中点，则，， A、B两点代入椭圆方程作差，得， 所以，由题意知，直线的斜率存在，所以， 得. 故选：A. 【突破提升训练・2】已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为 若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线l的斜率为k，则，求得，由点在圆上，可求出，设点，，则，，两式相减化简可得，从而可求出的值，进而可得双曲线C的方程. 【详解】设直线l的斜率为k，则，所以， 因为点在圆上， ，即， 设点，，则，. 两式相减，得 则，即， 所以双曲线C的方程为. 故选：B. 【突破提升训练・3】已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“点差法”探索的关系，再根据双曲线离心率的概念求双曲线的离心率. 【详解】设，， 则，① ，② 因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为， 由得：中点坐标为，所以， 且. ①②可得， 则， 故选：D 【突破提升训练・4】已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点为，根据易知确定坐标值，再应用点差法及直线斜率的两点公式得到，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率. 【详解】设中点为，由题设易知，故， 因为，故， 所以，而，故， 故，故. 故选：A 【突破提升训练・5】已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 【突破提升训练・6】过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 【突破提升训练・7】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，代入椭圆方程得相减整理得到，再根据的中点坐标为（1，-1），有，代入上式，利用概率公式求解. 【详解】设，， 所以，相减得， ∴， 即， 又∵，， 所以，即， 解得，又， ∴． 即椭圆的方程为. 故选：A． 【突破提升训练・8】已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【突破提升训练・9】已知中心在原点，半焦距为 4 的椭圆 被直线方程 截得的弦的中点横坐标为-4，则椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解. 【详解】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则， 直线的斜率. 由，得， 得，所以， 即，， ，，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 【突破提升训练・10】已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数b的值为（    ） A．0或 B．0 C． D． 【答案】A 【解析】设，，的中点，根据点M，N在双曲线上，且P为中点，利用点差法得到，再由M，N关于直线对称，得到，则，又点在直线上，得到，联立求得点P,代入抛物线方程求解. 【详解】设，，的中点， 因为， 所以； 又因为， 所以； 又因为M，N关于直线对称， 所以，即； 又因为点在直线上，所以； 由，可得， 所以， 即或， 故选：A. 【突破提升训练・11】已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法列方程可得解. 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 【突破提升训练・12】已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与相交于A，B两点，且点为弦AB的中点，利用点差法求解. 【详解】解：设， 因为直线与相交于A，B两点，所以， 由题意得， 故选：D 【突破提升训练・13】过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得. 【详解】设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率， 解得． 故选：A. 【突破提升训练・14】已知双曲线，直线与双曲线交于A，B两点，为坐标原点，若点在直线上且直线OP把分成面积相等的两部分，则下列不能作为点的坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知为线段AB的中点，设出，两点坐标，及AB的中点坐标，直线方程为：，应用点差法求得，根据此关系式求出直线斜率，联立直线方程与双曲线方程，验证判别式求直线与双曲线交点个数即可判断选项作为点是否合适. 【详解】由题可得点为线段AB的中点， 选项A：数形结合可知，直线为直线时，点为AB的中点， 故可以作为点的坐标； 已知双曲线，直线斜率存在时设直线方程为： 与双曲线交于，两点，AB的中点为， 则，，两式相减可得 ，得 选项B：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，， 可以作为点的坐标； 选项C：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，， 可以作为点的坐标； 选项D：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，， 不能作为点的坐标． 故选：D 【突破提升训练・15】已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进而可求解. 【详解】 抛物线的焦点， 设，假设， 显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零， 设弦所在的直线方程为， 联立，消去可得，， 所以， 因为，所以，则， 所以，解得，所以， 所以， 所以弦的中点的坐标为， 所以弦的中点轴的距离为， 故选:C. 【突破提升训练・16】直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，代入抛物线方程，两式相减后结合线段中点的纵坐标得出，再结合焦点的坐标得出直线的方程，由点到直线距离公式计算即可． 【详解】由抛物线得焦点， 设，，则， 两式相减得，即， 因为线段中点的纵坐标为1，即， 所以，即， 所以直线的方程为，即，显然此时直线与抛物线有两交点， 所以到直线的距离， 故选：A． 【突破提升训练・17】已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（   ）. A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】设，由直线方程与抛物线方程联立消去后利用韦达定理得，从而可得中点横坐标，也即可求得中点到准线的距离． 【详解】由题意抛物线标准方程为，，， ∴焦点为，准线方程为， 直线方程为，代入抛物线方程整理得， 设，则， 设中点为，则， ∴到准线的距离为． 故选：A． 【突破提升训练・18】已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点. (1)若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围； (2)若线段的中点坐标为，求直线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合三角形的面积公式可得，再由椭圆的方程代入计算，即可得到结果； （2）由点差法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设，由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得，即点Q的横坐标的取值范围为； （2）设，， 则，两式相减作差可得， 即，即，即， 又，所以， 由直线的点斜式可得， 化简可得， 所以直线的方程为. 【突破提升训练・19】已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 【突破提升训练・20】已知椭圆. (1)求斜率为的平行弦中点的轨迹方程; (2)若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程; (3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【答案】(1)（）. (2)（）. (3). 【分析】（1）设弦的两端点为，线段的中点为，由点差法可得，代入可得方程，联立求轨迹范围，由此可得结论， （2）由（1），代入可得，联立求轨迹范围， （3）由（1），代入，可得，利用点斜式求直线方程. 【详解】（1）设弦的两端点为，线段的中点为， 则有，. 两式作差，得. 因为，，， 代入后求得　①. 所以，所以. 联立可得，或 故所求的轨迹方程为（） （2）由①式，得. 又因为，所以-. 整理得， 联立可得或， 故所求的轨迹方程为（）. （3）由①式，得弦所在的直线的斜率， 又，所以 所以其方程为，即. 【突破提升训练・21】已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程． 【答案】 【分析】 设双曲线的方程为，利用点差法求出的关系，再结合，求出，即可得解. 【详解】设双曲线的方程为，由题意可得， 设，， 由直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为， 得的中点为，则， 由且， 两式相减得， 则，即， 所以，联立，解得，， 故所求双曲线的方程为． 【突破提升训练・22】已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与椭圆，利用方程组与两个交点，求出的范围. （2）设交点，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）联立 的取值范围 （2）设 由得. 线段中点的横坐标为 【突破提升训练・23】已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，点，坐标原点 (1)求的值； (2)直线经过点，与的两条渐近线分别交于点.若的面积为，求直线的方程； (3)如图，直线交双曲线的右支于不同两点，，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倾斜角计算出斜率，由此可求的值； （2）联立直线与渐近线方程，得到的坐标并表示出，由求得结果； （3）设出以及的中点的坐标，通过点差法得到的坐标与的关系，结合在双曲线的右支内部以及在直线上求解出的范围. 【详解】（1）因为渐近线的倾斜角为，所以， 所以. （2）由题意可知直线的斜率存在，设，由（1）可知渐近线方程为， 联立，可得，不妨取，所以， 同理可得，所以， 所以，解得， 所以. （3）设，的中点为， 由题意可知的斜率绝对值大于渐近线斜率的绝对值，所以， 联立，可得，所以， 又因为，所以，即， 又因为，所以，所以，所以， 联立，可得，所以， 将代入双曲线方程中，可得，因为在双曲线的右支内部，所以， 又因为，所以，所以， 即. 【突破提升训练・24】已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案； （2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案. 【详解】（1）由题意知动点到点的距离等于到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为. （2）设，，则， 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 【突破提升训练・25】已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离求出，结合渐近线方程即可求出双曲线方程； （2）利用点差法求出直线的斜率，然后联立直线与双曲线的方程，求出弦长和点到直线的距离，即可求出的面积. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以， 故到渐近线的距离， 所以，又，所以， 故的方程为. （2）设点，因为是弦的中点，则 由于，所以两式相减得， 所以，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立消去并整理，得， 所以，且， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积为.    【突破提升训练・26】已知抛物线T：和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点． (1)若F恰是椭圆C的焦点，求的值； (2)若，且恰好被平分，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆方程求出，再由F恰是椭圆焦点，即可求得； （2）设直线 ，，，直线方程与椭圆方程联立，根据根与系数关系得出和，设的中点，得出，，设，，且直线MN的斜率为，由点差法得出，代入得出，根据由点G在椭圆内及，得出，根据计算的面积即可． 【详解】（1）在椭圆中，，所以， 由，得． （2）设直线l：，，， 联立方程，消去x得， ，则， 设的中点，则，， 设，，则直线MN的斜率为， ，， 相减得到，即， 即，解得， 由点G在椭圆内，得，解得， 因为， 所以p值是1， 所以面积． 【突破提升训练・27】已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到方程，求出答案； （2）设，，点差法得到直线的斜率，从而得到直线的方程，由焦点弦弦长公式得到，结合点到直线距离，得到三角形面积. 【详解】（1）设，，联立直线与抛物线得：， 消去x得到，∴，， ∴． 解得或－3（舍去）．∴． （2）设，， ∵A，B在抛物线C上，∴，， 两式作差得． ∵AB中点坐标为，∴，， ∴， ∴， ∴l：，整理得l：． 故l过的焦点，弦长． 又O到l的距离为． ∴． 【突破提升训练・28】已知是双曲线的右焦点，过点F的直线与E交于两点（不同于E的顶点），当直线过点时，C恰为的中点． (1)求E的方程； (2)设分别为E的左、右顶点，与交于点与交于点Q，若D为的中点，证明为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）设，代入方程利用点差法得，联立求解即可 （2）直线AB的方程为，联立方程，根据题意结合韦达定理可证均在直线上，求的坐标，利用向量的坐标运算可得，结合几何知识即可得的值. 【详解】（1）因为右焦点，所以， 设， 因为直线过点时，C恰为的中点， 由中点坐标公式得，， 又在双曲线上， 所以①，②，两式相减得， 所以， 因为直线的斜率为， 又，所以，所以， 故双曲线E的方程为. （2）由（1）知，且分别为E的左、右顶点，可知， 由题意可知：直线AB的斜率可以不存在，但不为0， 设直线AB的方程为，此时直线AB必与双曲线相交， 设，可知， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 因为直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 可得，则，即， 同理可得，即均在直线上， 则，， 可得 ， 可知，即， 可知，所以. 【突破提升训练・29】已知直线恰好经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，为的中点，当时，直线的斜率为1． (1)求双曲线的方程； (2)若直线经过且与直线垂直，与双曲线交于，两点，为的中点，证明：与的面积之比为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用点差法可求得，结合，求出，即可求出双曲线的方程； （2）直线与双曲线方程联立，求出点坐标，因为直线与垂直，所以用替换，得到点的坐标，求出直线的方程，即可得出恒过定点，即可得出与的面积之比 【详解】（1）依题意可知，设，， 则两式作差可得， 即，又当时，直线的斜率为1， 所以．又，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）联立直线与双曲线方程，得 消去整理得，则，， 则所以，，所以． 又因为直线与垂直，所以用替换，得到． 当，即时，直线的方程为，直线过点． 当且，时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，得，所以直线过点． 综上，直线恒过点． 所以与的面积之比为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $