第一次月考复习冲刺（提高篇）（第10章整式的加减+第11章整式的乘除） 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺（提高篇） 一、选择题 1.下列判断正确的是（   ） A．的常数项是3 B．是单项式 C．的系数是2 D．是二次三项式 2.下列选项中，说法正确的是（    ） A．的次数是次 B．整式是四次三项式 C．的常数项为 D．不是整式 3.下列各组式子中，两个单项式是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4.下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5.下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6.若xm＝5，xn，则x2m﹣n＝（　　） A． B．40 C． D．100 7.已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b 8.要使整式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 9.下列整式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 10.的运算结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11.代数式的系数是 ． 12.已知，，，，，，…，第7个单项式是______； 13.若整式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 14.将整式按字母y的升幂排列为 ． 15.已知，则代数式的值是 ． 16.在横线上填入正确的整式让等式成立： ． 17.已知 ，则值为 ． 18.计算： ． 19.计算： ． 20.若，则x的值为 ． 21.若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 22.已知，．则的值是 ． 23.计算： ． 24.的计算结果是（   ） A． B． C． D． 25.计算： ． 26.已知，求x的值为 ． 27. ． 28.有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张． 29.如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为 ． 30.若，则值是 ． 3、 计算题 30.计算： 31.计算： 32.计算：． 33.计算：． 34.计算：． 35.计算： 36.计算：． 四、化简与求值 37.化简求值： (1)，其中． (2)已知，，求的值，其中，． 38.先化简再求值：，其中． 39.先化简，再求值：，其中，． 40.已知整式，整式，且的结果中不含的一次项，求值． 41.已知整式． (1)若整式的值与字母取值无关．写出、的值； (2)在（1）条件下求的值． 42.若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题： （1）如果2x•23＝32，求x的值； （2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值； （3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y． 43.小红准备完成题目：计算（x2  x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 五、应用题 44.为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 45.如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长x，宽y的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含的式子表示） 46.如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 六、阅读理解题 47.数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知，则代数式，请根据以上材料解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若整式的值是8，求整式的值； (3)当当时，整式的值是5，求当时，整式的值． 48．阅读下列材料： 我们把整式及叫做完全平方公式，如果一个整式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若整式，求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 7、 新定义压轴题 49．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知a、b是有理数， 定义一种新运算“”满足 (1)求的值； (2)求的值 50.定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)2与______是关于6的实验数：代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 51.规定两数a，b之间的一种运算，记作a※b：如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2 （1）根据上述规定，填空：2※16＝　　，　　※2， （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明： 设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 所以3x＝4，即3※4＝x， 所以3n※4n＝3※4． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：6※7+6※9＝6※63； ②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝　　※　　（结果化成最简形式）． 8、 综合压轴题 52．［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的整式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 53．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？ 54．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）图③可以解释为等式：　 　． （2）图④中阴影部分的面积为　 　．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　． （3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形； ①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b的代数式表示） ②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系． 55．在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ； (2)若，求代数式的值； (3)观察图， ①从图中得到 ； ②根据得到的结论，解决问题： 已 知 ，，，代 数 式的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺（提高篇） 一、选择题 1.下列判断正确的是（   ） A．的常数项是3 B．是单项式 C．的系数是2 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式和整式．直接利用单项式的次数与系数、整式的项数与次数确定方法分别分析得出答案． 【详解】解：A、的常数项是，故本选项错误，不符合题意； B、是整式，故本选项错误，不符合题意； C、的系数是，故本选项错误，不符合题意； D、是二次三项式，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2.下列选项中，说法正确的是（    ） A．的次数是次 B．整式是四次三项式 C．的常数项为 D．不是整式 【答案】D 【分析】根据单项式和整式的概念即可求解 【详解】A、的次数是次，故该选项错误，不符合题意； B、整式是二次三项式，故该选项错误，不符合题意； C、的常数项为，故该选项错误，不符合题意； D、不是整式，故该选项正确，符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式和整式的概念，掌握相关概念是解决问题的关键 3.下列各组式子中，两个单项式是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念逐项判断即可，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】解：、和所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故不符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故符合题意； 、与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故不符合题意； 、与所含字母不相同，不是同类项，故不符合题意； 故选：． 4.下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式去括号错误，不符合题意； B、，原式去括号错误，不符合题意； C、，原式去括号错误，不符合题意； D、，原式去括号正确，符合题意； 故选：D． 5.下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方和完全平方公式，熟记各运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方和完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、、不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 6.若xm＝5，xn，则x2m﹣n＝（　　） A． B．40 C． D．100 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵xm＝5，xn， ∴x2m﹣n＝（xm）2÷xn ＝25 ＝100． 故选：D． 7.已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b 【分析】将a、b、c转化为同底数形式，即可比较大小． 【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124； b＝2741＝（33）41＝3123； c＝961＝（32）61＝3122； ∴3124＞3123＞3122， 即a＞b＞c． 故选：A． 8.要使整式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法中的无关项问题，先根据整式乘以整式的计算法则求出的结果，再根据不含x的二次项，即含x的二次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ∵整式不含x的二次项， ∴， ∴， 故选：B． 9.下列整式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算判断即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； D、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：C． 10.的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式．变形后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 二、填空题 11.代数式的系数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 12.已知，，，，，，…，第7个单项式是______； 【答案】(1) 【详解】（1）解：由题意可知： 单项式的系数依次为： 的指数依次为： 故第7个单项式是： 13.若整式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了整式，熟练掌握一个整式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次整式是解题的关键． 根据题意得到，或，求出或，即可得到答案． 【详解】解：整式是一个关于x，y的三次三项式， ，或， 或， 故答案为：或． 14.将整式按字母y的升幂排列为 ． 【答案】 【分析】考查了整式，我们把一个整式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列整式各项时，要保持其原有的符号． 先分清整式的各项，然后按整式升幂排列的定义排列． 【详解】解：把整式按字母y升幂排列为：． 故答案为：． 15.已知，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，把原式化为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ． 故答案为：2． 16.在横线上填入正确的整式让等式成立： ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算．根据整式加减法则列出算式，计算即可． 【详解】解：根据题意： ， 则横线上应该填入：， 故答案为：． 17.已知 ，则值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了指数幂的运算性质，解题的关键是熟练运用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求式子转化为已知条件的形式进行计算．根据指数幂的运算性质，将分解为；再利用幂的乘方法则将转化为；最后代入已知的和进行计算． 【详解】已知． 根据指数幂的运算性质：． 由幂的乘方法则，可得：， 将，代入上式：， 故答案为：32． 18.计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法以及幂的乘方等知识点，解题的关键是准确掌握并运用幂的运算法则． 先根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算整个式子． 【详解】 故答案为：． 19.计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解： 故答案为：． 20.若，则x的值为 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．分三种情况讨论：当时；当为任意数时；当为偶数时；分别计算即可． 【详解】解：当时，，此时； 当为任意数时，，此时； 当为偶数时，，此时不合题意，舍去； 综上，x的值是0或1， 故答案为：0或1． 21.若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 所以， 故答案为：． 22.已知，．则的值是 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了求整式的值，完全平方公式的应用，非负数的和为零；将两个式子相减得，化为，即可求解；理解非负数的和为零的特征，能将式子化为完全平方和的形式是解题的关键． 【详解】解：①， ② ②①得： ， ， ， ，，，， ，，，， ； 故答案为：． 23.计算： ． 【答案】/ 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，再利用积的乘方的逆运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 24.的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方逆运算法则，解题的关键是注意掌握同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则，并会使用逆运算．先根据负数的偶次幂得正，处理好符号，再根据同底数幂的乘法的逆运算，把拆成，然后使用积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 25.计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 26.已知，求x的值为 ． 【答案】或或 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于． 直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴当且时， 解得：； 当时， 解得：； 当且为偶数时， 解得：； ∴的值为或或． 故答案为：或或． 27. ． 【答案】/ 【知识点】计算单项式除以单项式、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到答案． 【详解】解：原式， 故答案为： ． 28.有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张． 【答案】 2 3 7 【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量． 【详解】解：长为，宽为的矩形面积为： ， ∵A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为， ∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张． 故答案为：2；3；7． 29.如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算以及列代数式，先用、的代数式表示长、宽，再根据阴影部分的面积长方形的面积个小长方形的面积，利用长方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图， 由图形得：，， ． 故答案为：． 30.若，则值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘以整式，正确计算出是解题的关键． 根据整式乘以整式的计算法则把等式左边去括号得到m的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3、 计算题 31.计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 先去括号，再合并即可． 【详解】解： ． (2) （2）解：原式 ． 32.计算：． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查整式的运算，先计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 33.计算：． 【答案】 【详解】解： ． 34.计算：． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式．此题难度适中，注意首先把原式变形为：是解答此题的关键． 所求的式子可化成，然后利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解： ． 35.计算： 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、积的乘方运算、计算单项式乘单项式、幂的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再单项式乘以单项式，然后计算单项式除以单项式即可得． 【详解】解：原式 ． 36.计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式、整式的四则混合运算，解题关键是熟练掌握相关计算法则． 根据完全平方公式、整式的四则混合运算法则即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ． 四、化简与求值 37.化简求值： (1)，其中． (2)已知，，求的值，其中，． 【答案】(1)；5 (2)；−22 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）先去括号，再合并同类项，然后再把数据代入求值即可； （2）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解：∵，， ∴ ， 当，时， 原式． 38.先化简再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）直接运用整式的混合运算法则计算即可； （2）直接运用整式的混合运算法则计算即可； （3）先运用整式的混合运算法则计算，然后利用完全平方公式变形求出x，y的值，然后代数求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ； ， ， ， ， ∴， ∴， ∴原式． 39.先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算，先根据平方差公式和完全平方公式以及整式除法运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 40.已知整式，整式，且的结果中不含的一次项，求值． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减运算中的无关项问题，根据题意先计算，再根据题意令的一次项系数为，即可求解． 【详解】解：∵整式，整式， ∴ ， ∵的结果中不含的一次项， ∴， 解得：． 41.已知整式． (1)若整式的值与字母取值无关．写出、的值； (2)在（1）条件下求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，正确的去括号与合并同类项是解题的关键． （1）根据去括号，合并同类项，根据题意，令含的项系数为0，得出的值； （2）先去括号，裂项相减，合并同类项，然后将的值代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵整式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：； （2）解： ； 当时，原式． 42.若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题： （1）如果2x•23＝32，求x的值； （2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值； （3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可． 【解答】解：（1）∵2x•23＝32， ∴2x+3＝25， ∴x+3＝5， ∴x＝2； （2）∵2÷8x•16x＝25， ∴2÷23x•24x＝25， ∴21﹣3x+4x＝25， ∴1+x＝5， ∴x＝4； （3）∵x＝5m﹣2， ∴5m＝x+2， ∵y＝3﹣25m， ∴y＝3﹣（5m）2， ∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1． 43.小红准备完成题目：计算（x2  x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）根据整式的乘法进行计算即可； （2）设一次项系数为，计算，根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0，据此即可求得的值，即原题中被遮住的一次项系数． 【详解】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x） （2）设一次项系数为， 答案是不含三次项的 【点睛】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． 五、应用题 44.为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 【答案】(1)10月的电费是80元 (2)11月的电费是120元 (3)见详解 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，再结合10月用电量为160度，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，再结合11月用电量为230度，进行列式计算，即可作答． （3）理解题意，进行分类讨论，根据不同情况进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元） ∴10月的电费是80元； （2）解：依题意，（元） ∴11月的电费是120元； （3）解：依题意，当时，则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元． 45.如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长x，宽y的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含的式子表示） 【答案】(1)一扇这样窗户一共需要铝合金米 (2)一扇这样窗户一共需要玻璃平方米 【分析】本题考查列代数式的实际应用，整式加减运算的实际应用，解题的关键是掌握长方形及半圆的周长、面积公式． （1）先根据图形得出半圆的半径，再计算出窗框的周长即可； （2）将两个长方形的面积和半圆的面积求和即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 取3． 原式 各：一扇这样窗户一共需要铝合金米； （2）解：根居题意得： 取， ∴原式 答：一扇这样窗户一共需要玻璃平方米． 46.如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 【答案】(1)（平方米） (2) 【知识点】整式乘整式与图形面积、整式加减中的无关型问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积； （2）根据题意求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：原式 ， 代数式的值与的取值无关， ，， ， （平方米）， 绿化面积的值为． 六、阅读理解题 47.数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：已知，则代数式，请根据以上材料解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若整式的值是8，求整式的值； (3)当当时，整式的值是5，求当时，整式的值． 【答案】(1)9 (2)1 (3) 【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握整体代入法求代数式的值，准确进行计算，是解此题的关键． （1）将变形为，再整体代入，进行计算即可； （2）先由整式的值是8得到，再将变形为，整体代入，进行计算即可； （3）先根据当时，整式的值是5求出，再将代入得，最后整体代入，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵整式的值是8， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵当时，整式的值是5， ∴， ∴， ∴当时， ． 48．阅读下列材料： 我们把整式及叫做完全平方公式，如果一个整式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若整式，求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1) (2) (3)平方米 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负性，列代数式等知识点，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． （1）仿照阅读材料，利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，含、的项分别结合，根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，于是菜地的面积为，再利用配方法把原式进行变形，根据阅读材料解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为； 故答案为：； （2）解： ， 当且时，有最小值，的最小值为； （3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 菜地的面积为： ， 当时，有最大值，最大值为， 围成的菜地的最大面积为平方米． 7、 新定义压轴题 49．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知a、b是有理数， 定义一种新运算“”满足 (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减混合运算．掌握新定义运算法则是解题关键． （1）根据新定义运算法则结合有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则结合整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 50.定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)2与______是关于6的实验数：代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【答案】(1)4；； (2)a与b是关于6的实验数，理由见解析； (3) 【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键． （1）根据题中给出的定义计算即可； （2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是； （3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值． 【详解】（1）解：， ∴2与4是关于6的实验数； ， ∴与是关于6的实验数， 故答案为：4；； （2）解：a与b是关于6的实验数，理由： ， ∴a与b是关于6的实验数； （3）解：∵c与d是关于6的实验数，且 ∴， ． 51.规定两数a，b之间的一种运算，记作a※b：如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2 （1）根据上述规定，填空：2※16＝　　，　　※2， （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明： 设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 所以3x＝4，即3※4＝x， 所以3n※4n＝3※4． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：6※7+6※9＝6※63； ②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝　　※　　（结果化成最简形式）． 【分析】（1）规定：如果ac＝b，那么a※b＝c．即可进行求解． （2）①设6※7＝x，6※9＝y，则6x+y＝63，易得6※63＝x+y，即可得证． ②根据①中的结论：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※[（y+1）×（y﹣2）]＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）． 【解答】解：（1）∵24＝16， ∴2※16＝4， ∵， ∴6※2，（﹣6）※2， 故答案为：4，±6． （2）①设6※7＝x，6※9＝y， ∴6x＝7，6y＝9， ∴6x•6y＝6x+y＝7×9＝63， ∴6x+y＝63， ∴6※63＝x+y， ∵6※7+6※9＝6※63． ②根据①中的结论， 得（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※[（y+1）×（y﹣2）]＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）． 故答案为：（x﹣1），（y2﹣y﹣2）． 8、 综合压轴题 52．［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的整式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3) (4)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简整式，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： 关于的整式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， ∵的值与x无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 53．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？ 【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）155；（3）9；（4）42 【分析】（1）由大正方形等于9个长方形面积的和； （2）将所求式子转化为，代入已知条件即可； （3）将式子化简为，即可确定、、的值； （4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积． 【详解】解：（1）由图可知大正方形面积为，大正方形由9个长方形组成，则有； 故答案为； （2）由（1）可得， ，， ； 故答案为155； （3）， ，，， ； 故答案为9； （4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积， 即， ，， ． 【点睛】本题考查因式分解的应用；熟练掌握因式分解的方法，能够利用正方形与三角形面积灵活处理不规则图形面积是解题的关键． 54．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）图③可以解释为等式：　 　． （2）图④中阴影部分的面积为　 　．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　． （3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形； ①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b的代数式表示） ②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系． 【答案】（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2；（2）（a﹣b）2，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（3）①S＝4ab﹣4b+12a﹣b2；②3a＝b. 【分析】（1）根据图形面积可知（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2； （2）根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积， 得到（a-b）2=（a+b）2-4ab； （3）①大长方形的面积=（3a+b）（4+b）=7ab+4×3a+4×3a-S； ②设AB=m，大长方形的面积=（3a+b）（m+b）=7ab+3ma+3ma-S，3a-b=0； 【详解】解：（1）根据图可知长方形面积有（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2； 故答案为（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2； （2）④图中阴影部分面积是（a﹣b）2， 根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为（a﹣b）2，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （3）①∵AB＝4，长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S， ∴大长方形的面积＝（3a+b）（4+b）＝7ab+4×3a+4×3a﹣S， ∴S＝4ab﹣4b+12a﹣b2； ②设AB＝m， ∴大长方形的面积＝（3a+b）（m+b）＝7ab+3ma+3ma﹣S， ∴S＝4ab﹣b2+m（3a﹣b）， ∵若AB为任意值，且①中的S的值为定值， ∴3a＝b. 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式乘以整式的运算法则是解题的关键． 55．在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ； (2)若，求代数式的值； (3)观察图， ①从图中得到 ； ②根据得到的结论，解决问题： 已 知 ，，，代 数 式的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（）利用乘法公式计算即可求解； （）由乘法公式得，进而代入化简计算即可求解； （）①根据图形即可求解；②由①结论可得，进而可得，即得，再代入已知条件计算即可求解； 本题考查了完全平方公式在几何图形中的运用，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由乘法公式得，， 即， ∵， ∴， ∴； （3）解：①由图可得，， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $