精品解析：江苏省镇江市某重点高中2025-2026学年高二上学期阶段性学情调研（一）（9月）数学试题

高二数学阶段性学情调研（一） 一、单选题 1. 已知直线倾斜角为，且过，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆C经过A（5，2）， B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ） A. （x－2）2+y2= 13 B. （x+2）2+y2= 17 C. （x+1）2 +y2= 40 D. （x－1）2 +y2 = 20 5. 已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 在等腰直角三角形中， 点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经 反射后又回到原点 （如图）.若光线 经过 的重心，则 等于 A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，，则直线不通过第二象限 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线关于直线对称 D. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 11. 已知平行六面体的各棱长均为1，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 线段的长度为 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥的体积是平行六面体的体积的 三、填空题 12. 已知直线与直线平行，则与之间的距离是______． 13. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为_____. 14. 如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为______． 四、解答题 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 17. 四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，平面平面ABCD． （1）证明：； （2）若，且PA与平面ABCD成角为，点E在棱PC上，且，求平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值． 18. 已知圆过三点，直线． （1）求圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程； （3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 19. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，其中，，平面平面. （1）证明：； （2）若是棱上的动点，且与平面所成角的正切值为. （i）求二面角的余弦值； （ii）当直线与平面所成角最大时，求长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学阶段性学情调研（一） 一、单选题 1. 已知直线倾斜角为，且过，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程即可得解. 【详解】直线的斜率为，方程为，当时，， 所以在轴上的截距为. 故选：B 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程化为标准式即可计算求解. 【详解】解：方程可变形为， 因为方程表示圆，则，所以. 故选：D. 3. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体，空间向量的线性运算的几何意义，用已知向量表示出目标向量即可求解. 【详解】 . 故选：C. 4. 已知圆C经过A（5，2）， B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ） A. （x－2）2+y2= 13 B. （x+2）2+y2= 17 C. （x+1）2 +y2= 40 D. （x－1）2 +y2 = 20 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心坐标为，由圆心到距离相等求得，然后再求出半径后可得． 【详解】由题意，设圆心坐标为，则，解得， 圆半径为． 所以圆方程为． 故选：D． 5. 已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，数形结合求出直线的斜率的取值范围. 【详解】直线的方程化为，由，解得， 因此直线过定点，线的斜率，直线的斜率， 由直线与线段总有公共点，得直线的斜率有或， 又直线的斜率， 所以直线的斜率的范围为. 故选：A 6. 若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 7. 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，以为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得. 【详解】令四棱锥的各条棱长均为2，则，由是的中点，得, 显然不共面，，又， ， 因此， 所以则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 8. 在等腰直角三角形中， 点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经 反射后又回到原点 （如图）.若光线 经过 的重心，则 等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】建立如图所示的坐标系，可得， 故直线的方程为 ， 的重心为 ， 设，其中 ， 则点关于直线 的对称点， 满足， 解得，即 ， 易得关于 轴的对称点， 由光的反射原理可知 四点共线， 直线的斜率为， 故直线的方程为 ， 由于直线过的重心）， 代入化简可得， 解得，或 （舍去）， 故，故． 故选D． 考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 【思路点睛】建立坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于过 的重心，代入可得关于的方程，解之可得的坐标，进而可得的值．本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案. 【详解】对于A，当直线的截距不为零时，截距相等的直线可用方程，当截距是零时，不可用，故A错误； 对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确； 对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误； 对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为； 当时，方程可整理为；故D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，，则直线不通过第二象限 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线关于直线对称 D. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】选项，通过将直线的一般式转换成斜截式，从斜率和截距考虑直线走向；选项，通过选取直线上任意两点求出该直线的一个方向向量，再判断题中向量与该方向向量是否共线；选项，通过考虑两直线与第三直线的垂线的交点，距离第三条直线是否相等来判断第三条直线是否对称轴；选项，根据判断两直线平行的充要条件进行判断. 【详解】对于选项.因为，，故，，均不为0. 直线方程变形得，. 因，所以，又因，所以，即，所以. 因此该直线轴截距小于0，斜率大于0，故不经过第二象限.故选项正确. 对于选项.直线，当时，；当时，. 故该直线经过和.因此向量是该直线的一个方向向量. 而向量与向量并不共线，故向量不是该直线的方向向量.故选项错误. 对于选项.对于直线，变形得，，与该直线垂直的直线都可以表示为，. 该垂线与直线和直线分别交于和. 而此两交点距离直线的距离均为. 故两直线关于直线对称.选项正确. 对于选项.当时，直线与直线平行.因此前者是后者的充分条件. 当直线与直线平行时，，解得. 因此前者是后者的必要条件. 故“”是“直线与直线平行”的充分必要条件.选项错误. 故选： 11. 已知平行六面体的各棱长均为1，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 线段的长度为 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥的体积是平行六面体的体积的 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用空间基底来表示空间向量，利用向量的数量积运算可判断AB，利用线线垂直证明线面垂直和面面垂直，可得线面角的平面角，再用余弦定理可求角，来判断C，利用锥体的体积公式和柱体的体积公式求解即可判断D. 【详解】以为空间向量的基底来表示空间向量： ， 因为 所以，故B正确； 又由， 则，故A正确； 由底面是菱形，则， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面， 因为平面，平面平面， 所以直线与平面所成的角就是， 利用的菱形可得：， 再由余弦定理得：， 则，故C正确； 设平行六面体的高为，则三棱锥的体积为， 而平行六面体的体积为， 所以三棱锥的体积是平行六面体的体积的，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12. 已知直线与直线平行，则与之间的距离是______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以且， 解得， 所以两平行线间的距离， 故答案为： 13. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况，三条直线交于同一点，与平行,与平行，分别求出的值，得到答案. 【详解】当三条直线，，交于同一点时，不能构成三角形， 联立，解得，将代入得，解得； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 综上，实数所有可能的取值组成的集合为. 故答案为： 14. 如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，点，可得，根据点在圆上即可求出． 【详解】解：设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点在圆上运动， ， 即点的轨迹方程为． 故答案为： 四、解答题 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 16. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【小问1详解】 由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 17. 四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，平面平面ABCD． （1）证明：； （2）若，且PA与平面ABCD成角为，点E在棱PC上，且，求平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值． 【答案】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以 ，因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面PBD，因为平面PBD， 故 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直和面面垂直的条件可得线面垂直，故得线线垂直； （2）由（1）的结论，结合题设条件，建立空间直角坐标系，分别求出相关点的坐标，计算两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设，则O为AC、BD的中点， 由可得， 又因为平面PBD，平面PBD，所以， 因为，AC、平面ABCD， 所以平面ABCD， 故可以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 且为PA与平面ABCD所成角， 由于四边形ABCD为边长为，的菱形， 所以， 则，，，，， 由，∴， 得，且 设平面的法向量为， 则，,故可取， 又平面BCD的一个法向量为， 所以， 所以平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值为 18. 已知圆过三点，直线． （1）求圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程； （3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知； （2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程； （3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值. 【小问1详解】 设圆的方程为，代入， 则，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 设， 由对称关系可知，解得，所以， 又因为对称圆的半径不变， 所以的方程为； 【小问3详解】 因为， 由（2）可知关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，其中，，平面平面. （1）证明：； （2）若是棱上的动点，且与平面所成角的正切值为. （i）求二面角的余弦值； （ii）当直线与平面所成角最大时，求长. 【答案】（1）证明：因为，所以为正三角形， 所以， 又因为，所以， 在中，， 所以，所以， 所以，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系先证明，再根据面面垂直的性质定理证明平面，由此可知； （2）（i）先证明平面并求解出长度，然后建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面和平面的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出结果；（ii）设，由此表示出坐标，然后利用向量法表示出，再通过换元法以及二次函数性质分析何时取最大值，从而计算出坐标，则长可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为，，，平面， 所以平面，所以与平面所成角即为， 所以，所以； 以为原点，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示， 因为，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 取，则，所以， 取平面的一个法向量为， 设二面角的平面角大小为， 所以， 所以二面角的余弦值为； （ii）因为，即， 设，且， 因为，所以， 所以，所以， 设直线与平面所成角为， 所以 令，所以， 由二次函数性质可知，当，即，即时，有最大值，此时取最大值， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $