精品解析：四川省西充中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

高2024级7-9班高二上9月月考 数学试题 一､单选题 1. 下列说法一定正确的是（ ） A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B. 一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D. 随机事件发生的概率与试验次数无关 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件的相关概念一一判定即可. 【详解】“百发百中”说明投中的可能性比较大，但有可能出现三投不中的可能，即A错误； “”是事件发生的可能性，掷6次也可能不出现一次2，即B错误； 买彩票中奖的概率为万分之一，也是事件发生的可能性，买一万元的彩票也可能一元不中，即C错误； 随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关，D正确. 故选：D 2. 某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度，用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为（ ） A. 125 B. 100 C. 150 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽取比例相同运算求解. 【详解】由图可知高三年级学生人数占总人数的，抽取的样本中高三年级的学生有45人， 所以样本容量为． 故选：A. 3. 甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.68 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找出甲获胜的情况，然后利用古典概型的概率公式求解 【详解】由题意得甲获胜的情况有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13种， 所以估计甲获得冠军的概率为， 故选：C 4. 为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则下列结论不正确的是（ ） A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的众数大于乙得分的众数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知数据分别应用中位数，众数，平均数及方差定义分别计算判断各个选项. 【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下： 甲：，乙：， 甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确； 甲得分的众数，乙得分的众数为，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确； 甲得分的平均数，乙得分的平均数，所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故A错误； 由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确. 故选：A 5. 如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 6. 已知是两个不同的平面，的一个充要条件是（ ） A. 内有无数条直线平行于 B. 存在平面 C. 存在平面，且 D. 存在直线 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例说明A，B，C错误，根据线面垂直证明面面平行即可判断D正确． 【详解】对于A，由于内有无数条直线平行于，不一定得到，与也可能相交，如图所示，故A错误； 对于B，若存在平面，不一定得到，与也可能相交，如图所示，故B错误； 对于C，存在平面，且，不一定得到，与也可能相交，如图所示，故C错误； 对于D，存在直线，由垂直于同一直线的两个平面互相平行，可得，故D正确； 故选：D． 7. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 若与互斥，则， C. 若与相互独立，则， D. 若与相互独立，则， 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的基本性质和乘法公式计算即可. 【详解】若，则，，故A错； 若与互斥，则，，故B错； 若与相互独立，则，，故C错，D正确. 故选：D. 8. 在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天每天新增加疑似病例不超过人”.根据过去天甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A. 甲地总体均值为，中位数为 B. 乙地总体均值为，总体方差大于 C. 丙地中位数为，众数为 D. 丁地总体均值为，总体方差为 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值、方差、中位数以及众数的基本概念，结合所给数据逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人， 反例：､､､､､､､､､，满足中位数为，均值为， 与题意矛盾，A不正确； 对于B：当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小， 反例：､､､､､､､､､，满足均值为，方差大于， 与题意矛盾，B不正确； 对于C：中位数和众数也不能限制某一天的病例超过7人， 反例：､､､､､､､､､，满足中位数为，众数为， 与题意矛盾，C不正确； 对于D：将个数由小到大依次记为､､､､､､､､､， 假设，若均值为，则方差为， 矛盾，故， 假设不成立，故丁地没有发生规模群体感染，D正确. 故选：D. 二､多选题 9. 有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列选项正确的是（ ） A. 甲与乙不互斥 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】先分别计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，可判断B选项；直接由互斥事件的概念判断A选项；由独立事件概率公式判断C、D选项即可. 【详解】由题意可知，有放回地随机取两次，共计36个基本事件， 两点数和为6的所有可能为， 两点数和为7的所有可能为， 甲乙丙丁， 对于A选项，甲与乙可以同时发生，甲与乙不互斥，故选项A正确； 对于B选项，由上可知错误，故选项B错误； 对于C选项，（甲丁）（甲）（丁），甲与丁相互独立，故选项C正确； 对于D选项，（乙丙）（乙）（丙），乙与丙不相互独立，故选项D错误. 故选：AC. 10. 已知一组样本数据，其中为正实数.满足.下列说法正确的是（ ） A. 样本数据的第50百分位数为 B. 已知这组数据的极差是6，则数据的极差是11 C. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 D. 样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由百分位数求法可判断；对于B，根据极差变化可得数据的极差是12；对于C，根据频率分布直方图可判断；对于D，由可得，然后可得总和. 【详解】，样本数据的第50百分位数为，故A正确； 对于B，由题知，这粗数据的极差为， 则数据的极差为，故B错误； 对于C，若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”， 则样本数据的平均数小于中位数，故C正确； 对于D，，， 则，故D正确. 11. 已知圆柱的高为，为下底面圆的一条直径，为上底面圆周上任意一点，球内切于圆柱，则（ ） A. 球的体积为 B. 圆柱的表面积为 C. 直线与圆柱上底面所成的角为 D. 若直线，为异面直线，则平面与下底面所成角的正切值最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由球内切于圆柱得到球的半径可判断A、B；直接求线面角可判断C；通过证明直线与平面垂直，证明直线与直线的垂直关系，求得平面与下底面所成角，根据的范围即可求解进而判断D. 【详解】设球的底面半径为，因为圆柱的高为，且球内切于圆柱， 所以圆柱的底面半径与球的半径相等，且， 对于A，球的体积，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为平面， 所以即为直线与圆柱下底面所成的角，如图： 又，所以为等腰直角三角形，即， 因为圆柱的上下底面平行，所以直线与圆柱上底面所成的角为，故C正确； 对于D，过作垂直于底面于，过向作垂线，垂足为， 因为垂直于圆柱底面，圆柱底面，所以，又， ，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 所以平面与下底面所成角为，， 设，因为直线，为异面直线，所以 在中，有，， 所以当时，有最小值，故D正确. 故选：ACD 三､填空题 12. 已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】由于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 13. 小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则______，______．（用表示） 【答案】 ①. ## ②. （） 【解析】 【分析】根据题意由互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式求得，求出递推公式，即可得解. 【详解】由题意，前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以， 所以； 当时，其前进步是由两部分组成：第一部分先前进步，再前进1步，其概率为； 第二部分先前进步，再前进2步，其概率为，所以. 故答案为： ；（） 14. 如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质，结合球的截面性质确定球心位置，求出球半径即可求得球的表面积. 【详解】取中点，连接，由为正三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得是外接圆圆心，其半径， 三棱锥的外接球球心在直线上，而，设球半径为， 则，由，得，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 四､解答题 15. 如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. （1）求； （2）求CD的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 所以. 16. 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响， （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可得； （2）利用独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可得. 【小问1详解】 记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B， “丙家庭回答正确这道题”为事件C， 则，，， 即，， 所以，， 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，； 【小问2详解】 有3个家庭回答正确的概率为， 有2个家庭回答正确的概率为： ， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 17. 如图为正四棱锥为底面的中心． （1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积； （2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解. 【小问1详解】 正四棱锥满足且平面，由平面，则， 又正四棱锥底面是正方形，由可得，， 故， 根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥， 即圆锥的高为，底面半径为， 根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是 【小问2详解】 连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形， 由是中点，则，又平面， 故平面，即平面，又平面， 于是直线与平面所成角的大小即为， 不妨设，则，， 又线面角的范围是， 故.即为所求. 18. 2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和上四分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者： （i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率； （ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】（1）31.75岁；36.25 （2）（i）；（ii）10 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数的计算公式求解可得平均数；上四分位数即第百分位数，根据定义可构造方程求得结果； （2）（i）根据分层抽样原则可求得第四组和第五组抽取的人数，采用列举法可得样本点总数和满足题意的样本点个数，根据古典概型概率公式可求得结果； （ii）由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数，由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差. 【小问1详解】 设这人的平均年龄为，则 （岁） 设上四分位数（第75百分位数）为， ，， 位于第四组：内； 方法一：由，解得. 方法二：由，解得. 【小问2详解】 （i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为： ， 共15个样本点. 设事件“甲､乙两人至少一人被选上”，则 ， 共有9个样本点.所以，. （ii）设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为. 设第四组的宣传使者的年龄分别为，平均数为，方差为， 设第五组的宣传使者的年龄分别为，，平均数为，方差为， 则，，， ， 可得，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为． 则， 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为， 法一： . 法二： . 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为； 据此估计这人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为，方差约为． 19. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， （1）对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； （2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； （3）证明：对于中的任意两个元素，均有， 【答案】（1）①线性相关，②线性相关 （2）线性无关，理由：假设线性相关， 则存在不全为零的实数， 使得， 则， 因为线性无关， 所以，得，矛盾， 所以向量线性无关. （3）证明：设， 则， 所以， 又， 所以 ， 当且仅当同时成立时，等号成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）（2）利用维空间向量线性相关的定义进行列式判断即可得解； （3）利用维空间向量的数量积与模的公式，结合完全平方公式即可得证. 【小问1详解】 对于①，假设与线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，即， 可取，所以线性相关， 对于②，假设线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，得， 可取，所以线性相关. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用类比法，类比平面向量到维空间向量，利用平面向量的性质与结论列式推理，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级7-9班高二上9月月考 数学试题 一､单选题 1. 下列说法一定正确的是（ ） A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B. 一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D. 随机事件发生的概率与试验次数无关 2. 某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度，用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为（ ） A. 125 B. 100 C. 150 D. 120 3. 甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.68 4. 为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则下列结论不正确的是（ ） A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的众数大于乙得分的众数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 5. 如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两个不同的平面，的一个充要条件是（ ） A. 内有无数条直线平行于 B. 存在平面 C. 存在平面，且 D. 存在直线 7. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 若与互斥，则， C. 若与相互独立，则， D. 若与相互独立，则， 8. 在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天每天新增加疑似病例不超过人”.根据过去天甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A. 甲地总体均值为，中位数为 B. 乙地总体均值为，总体方差大于 C. 丙地中位数为，众数为 D. 丁地总体均值为，总体方差为 二､多选题 9. 有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列选项正确的是（ ） A. 甲与乙不互斥 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立 10. 已知一组样本数据，其中为正实数.满足.下列说法正确的是（ ） A. 样本数据的第50百分位数为 B. 已知这组数据的极差是6，则数据的极差是11 C. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 D. 样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 11. 已知圆柱的高为，为下底面圆的一条直径，为上底面圆周上任意一点，球内切于圆柱，则（ ） A. 球的体积为 B. 圆柱的表面积为 C. 直线与圆柱上底面所成的角为 D. 若直线，为异面直线，则平面与下底面所成角的正切值最小值为 三､填空题 12. 已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为______． 13. 小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则______，______．（用表示） 14. 如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______． 四､解答题 15. 如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. （1）求； （2）求CD的长. 16. 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响， （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 17. 如图为正四棱锥为底面的中心． （1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 18. 2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和上四分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者： （i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率； （ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 19. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， （1）对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； （2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； （3）证明：对于中的任意两个元素，均有， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $