精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三上期09月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 无数个 2. 设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前项和.若，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 4. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 5. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 10. 已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. ， C. D. 方程有唯一实数解 11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，在区间单调递减 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有2个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_________． 13. 若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是______． 14. 已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）若，求外接圆的半径； （2）若，求线段的长． 16. 近日，年江苏省城市足球联赛（被球迷称为＂苏超＂）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 29 96 女性 27 48 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注＂苏超＂赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加＂苏超＂赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人性别不同的概率． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：； 17. 如图1，在边长为4的等边中，点分别在边上，且，连，沿将折起得到四棱锥（图2），使. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上运动，是的重心，且点到点与到点的距离之和为． （1）求的方程； （2）设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （ⅰ）证明：直线过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个正零点且， （i）求证：； （ii）当时，不等式恒成立，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三上期09月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到集合A，由集合中元素个数判断子集个数. 【详解】解不等式，得，所以， 则集合的子集个数是. 故选：C. 2. 设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先表示复数，再根据其对应的点位于第四象限，列不等式组可求的取值范围. 【详解】由题意. 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 故选：D 3. 记为等差数列的前项和.若，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及前项和公式即可求解. 【详解】，，， . 故选：C. 4. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题干得到，然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可. 【详解】由题可知：，通项公式为， 令，所以常数项为. 故选：C 5. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求曲线的切线方程，再求两平行线间距离. 【详解】 如图所示，设曲线上一点，且在该点处切线斜率为， ，所以斜率， 解得，故切点为， 切线方程为，即， 两直线间距离为， 故选：B. 6. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出在上单调递增的值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】函数，求导得， 若函数在上单调递增，则对恒成立， 而当时，，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 7. 将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可取0,1,2，分别计算出概率，再用期望公式计算即可. 【详解】根据题意可取0,1,2， ，，， 所以， 故选：A. 8. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件可分别得到关于和的关系式，再利用将关系式变形得到和，最后借助函数的单调性即可求解. 【详解】是的根，，即，① 是的根，，即， 存在函数使得，，② 是定义在上的增函数，在上单调递增， 由①②可得， ， 又，即， ，即. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值. 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内， 所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 10. 已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. ， C. D. 方程有唯一实数解 【答案】BC 【解析】 【分析】由偶函数的性质结合导数的单调性和极值点逐一判断可得. 【详解】对于A，因为为偶函数，所以，故A错误； 对于B，由偶函数在对称区间上的单调性是相反的可知，时，函数为增函数，所以，故B正确； 对于C，由偶函数的对称性质可得1位于增区间，2位于减区间，所以，故C正确； 对于D，由函数图象结合偶函数性质可知，函数的极值点最少有两个且不相同， 所以方程最少有两个不同解，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，在区间单调递减 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有2个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】对A选项，当时，可选用特殊值代入判断；对B 选项，求导，再对求得的导数求导，根据正负判断单调性即可，进而判断原函数的单调性；对C选项，时，，求导，再根据函数的性质进行判断即可；对D选项，利用单调性可判断 【详解】当时，若，则有，此时∴A错误． 当时，，令， 当时，，，在上递减．∴B正确． 当时，，令， 则，令，则， 当时，，递增，又，所以在上存在唯一的零点， 则当递减，当递增， 是在区间上的唯一极小值点，∴C正确． 当时，，定义域为，，恒成立 在定义域内为增函数， 不可能有2个零点. 故选： 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】先由诱导公式求出，再弦化切即可计算求解. 【详解】由得即， 所以. 故答案为： 13. 若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答. 【详解】由，得， 令，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，取最大值，最大值为0； 又，，如下图， 令，显然函数在上单调递减，函数的值域为， 由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得， 因此，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系并确立关键点坐标，然后根据线面平行推导代数条件，最后根据条件分析边界直线并计算区域的面积最大值. 【详解】以D为顶点，DA、DC、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图， , 线段EF满足， 设，，， 设平面的法向量为， ，， ，令得，则， 因为平面， 所以，， 因为点Q在线段EF上，所以，，所表示的范围为多边形，其中，面积为， 所以区域的面积最大值是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）若，求外接圆的半径； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，即可由余弦定理求解， （2）根据向量的线性表示，结合模长公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 所以， 则由余弦定理得， 又，所以， 设外接圆的半径为， 则 【小问2详解】 由，得， 所以， 则 ， 所以． 16. 近日，年江苏省城市足球联赛（被球迷称为＂苏超＂）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 29 96 女性 27 48 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注＂苏超＂赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加＂苏超＂赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人性别不同的概率． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：； 【答案】（1）不能认为关注“苏超”赛事 与性别有关； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解； （2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 列联表如下： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 29 96 125 女性 27 48 75 合计 56 144 200 零假设为关注“苏超”赛事与性别无关， 则， 故依据小概率值的独立性检验，我们不能否定零假设， 即不能认为关注“苏超”赛事与性别有关. 【小问2详解】 由分层抽样可知，抽取男性市民2人，女性市民1人， 记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件， 则， ， ， 所以在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，2人性别不同的概率为. 17. 如图1，在边长为4的等边中，点分别在边上，且，连，沿将折起得到四棱锥（图2），使. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明： 在中，由余弦定理得， ， 所以，得， 如图1，在中，由余弦定理得， ， 所以在图2中，，得， 由平面平面， 得平面，又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及勾股定理求出，，再由线面垂直及面面垂直的判定定理进行求解； （2）以点为原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量进行求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由图1，可知, 所以，以点为原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则． 得， 设平面的法向量为， 则，取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，而， 则，取平面的一个法向量为， 所以， 因为平面与平面夹角不超过， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上运动，是的重心，且点到点与到点的距离之和为． （1）求的方程； （2）设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （ⅰ）证明：直线过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）定点， 由对称性可知直线经过的定点必在轴上且异于原点， 设定点为， 当直线的斜率不为0时， 设直线的方程为 联立，得， ， 则． 由（1）可得， 则直线的方程为， 直线的方程为， 由题意知直线与交于点，且点在直线上． 所以，即， 所以． 所以， 所以．① 当，即直线的斜率存在且不为0时， 由， 得， 代入①，得． 当时，上式恒成立，所以； 当，即直线的斜率不存在时， 若，则直线的方程为， 取，满足①式． 当直线的斜率为0时，直线，过点． 综上，直线过定点，且该定点的坐标为． （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，可得点的轨迹是长轴长为，焦距为的椭圆，又，得代入点的轨迹方程可得解； （2）（ⅰ）由对称性可知直线经过的定点必在轴上且异于原点，设定点为，设直线的方程与椭圆的方程联立，求出直线，的方程，根据它们的交点在直线上，求得，对于直线的斜率不存在时，也满足；（ⅱ）由（ⅰ）结合韦达定理可得，得，换元令，求得，从而四边形面积的最大值为，得解. 【小问1详解】 由题意设，设， 因为点到点与到点的距离之和为， 所以． 则点的轨迹是长轴长为，焦距为的椭圆，其方程为． 因为点是的重心，为的中点， 所以，则， 代入点的轨迹方程得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由题可知直线的斜率不为0， 由（ⅰ）可知直线过定点， 则， 所以， 令， 则， 因为函数在上单调递增， 所以． 则，所以， 所以四边形面积的最大值为. 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个正零点且， （i）求证：； （ii）当时，不等式恒成立，求证：. 【答案】（1） 函数 的定义域为 ，求导得 ， 当 时， ，所以函数 在 上单调递增； 当 时，令 ，解得 ， 当 时， ，函数 在 上单调递减， 当 时，，函数 在上 单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数 在上单调递减，在上单调递增． （2）由题意知方程有两个不同的正实根 ， 由（1）知 且 ，解得， 所以 ，，两边同时取自然对数，得 ， 两式相减得 ，即. （i）要证，只需证明 ， 令 ，只需证明 构造函数 ，求导得 ， 所以函数在上单调递增，于是 ， 所以不等式成立，于是原不等式 成立. （ii）结合以上分析可知当 时，； 当 时， ；当 时，． 所以要满足题意，则关于 的方程 的两根也是 ， 于是 ， 对比系数得 ， 所以 ． 【解析】 【分析】（1）利用导数并讨论参数 的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）函数有零点可转化为 ，从而求出 ，利用作差法得，分析法将问题转化为证明 ，利用换元法以及构造新函数，根据导数研究新函数的单调性即可得证；（ii）由（i）可讨论当时，的符号情况 ，分析可知要满足题意，则关于 的方程 的两根也是 ，等价代换得，通过对比系数可得证. 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $