精品解析：上海市金山中学2024-2025学年高三下学期三模数学试卷

2024-2025学年上海市金山中学高三年级下学期三模数学试卷 2025.5 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 已知全集，集合，则__________． 2. 已知函数，其中，则__________． 3. 不等式的解集为______________． 4. 已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 5. 已知，则_______ 6. 若正数满足，则最大值为_________. 7. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 8. 若随机变量服从正态分布，，则____________. 9. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种__________. 10. 已知，分别是椭圆C：左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为______． 11. 我校南门有条长600米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有120个长5米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加__________个． 12. 已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 16. 对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上. （1）求证: AF⊥BE; （2）若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小. 18. 已知，函数． （1）求函数单调递增区间； （2）在中，若，且的面积为，求． 19. 有两个罐子，罐中放有3个白球和2个黑球，罐中放有5个白球． （1）若从罐有放回的摸2个球，求摸到相同颜色球的概率； （2）若从罐不放回的摸2个球，求第二次摸到白球的概率； （3）现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记罐中黑球的个数为，求的分布和数学期望． 20. 已知双曲线右焦点为． （1）求双曲线渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 21. 若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． （1）求证：函数是函数的“控制函数” （2）若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； （3）若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市金山中学高三年级下学期三模数学试卷 2025.5 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 已知全集，集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 2. 已知函数，其中，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据自变量的取值代入求值即可. 【详解】因为时，， 所以， 故答案为： 3. 不等式的解集为______________． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式等价转化为，然后解该二次不等式可得出结果. 【详解】不等式等价于，解得， 因此，不等式的解集为，故答案为. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，解题的关键就是将分式不等式化为标准形式，转化为整式不等式求解，考查运算求解能力，属于基础题. 4. 已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的底面直径得出圆锥的底面半径，再利用母线长和底面半径结合侧面积公式求解． 【详解】圆锥的底面直径， 圆锥的底面半径， 又母线长， ． 故答案为：． 5. 已知，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有：， 故答案为：. 6. 若正数满足，则的最大值为_________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求得. 【详解】为正数，，即 ， 则 ，当且仅当 ，即 时取等号. 故答案为：. 7. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 8. 若随机变量服从正态分布，，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 则 故答案为：. 9. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种__________. 【答案】186 【解析】 【详解】试题分析：设取红球个，白球个，则 ，取法为. 考点：古典概型. 10. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据条件求各边的长及，再在中用余弦定理求得与的关系，即可得解． 【详解】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率， 故答案为：． 11. 我校南门有条长600米，宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有120个长5米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加__________个． 【答案】71 【解析】 【分析】根据给定条件，结合直角三角形边角关系及同角公式求出，再求出距离最远的停车位边界点到的最大距离，列出不等式求解即得. 【详解】停车位相对道路倾斜的角度，， 依题意，， 则，而，于是， 整理得，又，因此， 化简得，由，得，则，， 设改造后停车位数量最大值为，过停车位顶点作射线垂线，垂足为，如图， 则顶点到线段距离， 由各矩形停车位大小相等，得，， 于是，而， 因此，，又， 则，由，得， 解得，即改造后最大停车位数量为， 所以改造后的停车位比改造前增加个. 故答案为：71 12. 已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知分析出中对应的轨迹圆，结合交集结果知两圆有交点，利用圆与圆的相交关系列不等式求参数范围. 【详解】由，， 所以的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部， 则的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部，如下图所示， 对于集合中，则，结合集合的描述知， 即的轨迹是以的轨迹上的每一点为圆心，半径为1的圆的并集， 对于集合中，即的轨迹是以原点为圆心，半径为a的圆， 由，即中对应的轨迹有交点，则能成立， 由上图知，，即， 所以，可得，即. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图的特征，结合相关系数的定义即可判断. 【详解】由散点图的趋势可知且接近1，，与绝对值较小， 所以最大. 故选：A． 14. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，是奇函数，且是增函数，故B正确； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 15. 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 【答案】D 【解析】 【分析】取线段的中点，求证平面平面，即可逐一分析选项. 【详解】取线段的中点，连接，则， 因点分别是棱的中点，则，则， 因平面，平面，则平面， 因，，，，则，， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 故欲使在正方形（包括边界）内，且平面， 则点必在线段上； A选项：当为时，无法得出平面，故A错误； B选项：当为的中点，无法得出平面，故B错误； C选项：的轨迹长度为，无法说明点在线段上， 但若平面，则的轨迹长度为， 则的轨迹长度为是平面的必要不充分条件，故C错误； D选项：为的中点，即点重合时，必有平面， 但平面时，不一定为的中点， 故为的中点是平面的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 16. 对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件，利用不等式，对各条件中的代数式进行放缩. 【详解】数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 对于命题①. 存在常数，对任意的，有 故 即数列具有性质.命题①为真命题. 对于命题②. 存在常数，对任意的，有 故数列具有性质.命题②为真命题. 故选： 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上. （1）求证: AF⊥BE; （2）若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，得证线线垂直； （2）设是中点，证明是直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角． 【小问1详解】 连接，则，又平面，而平面， ∴，又，平面， ∴平面，又∵平面， ∴. 【小问2详解】 设是中点，连接，因为点E是的中点，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面 是直线与平面所成的角. 设正方形的边长为，则，， ∴，∴， ∴与平面所成的角为． 18. 已知，函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，且面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，进而利用正弦函数的单调性求解； （2）由可求角，进而由可求的值，从而利用余弦定理求出的值. 【小问1详解】 由题意，， ∴ . 由，可得， 所以单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得， 因为，所以，所以，即. 因为，所以，得. 又，所以， 即， 所以 即． 19. 有两个罐子，罐中放有3个白球和2个黑球，罐中放有5个白球． （1）若从罐有放回的摸2个球，求摸到相同颜色球的概率； （2）若从罐不放回的摸2个球，求第二次摸到白球的概率； （3）现在从两个罐子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记罐中黑球的个数为，求的分布和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）分两次均为白和两次均为黑讨论，再根据独立事件的乘法公式和概率加法公式即可得到答案； （2）利用全概率公式即可得到答案； （3）首先分析知的取值为0，1，2，再分别计算对应概率值，再利用均值公式即可得到答案. 【小问1详解】 摸到相同颜色球的概率为． 【小问2详解】 根据全概率公式知第二次摸到白球的概率为． 【小问3详解】 的取值为0，1，2， 则， ， ， 则的分布为， 期望为． 20. 已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为． 【小问2详解】 ①当时，横坐标代入双曲线方程可得， 则； ②当时，设，∴， 则， 解得，则. 【小问3详解】 ①当斜率不存在时， ，∴； ②当斜率存在时，设为，则直线的方程为， 设，∴， 联立方程，可得， 由题可知①， 同理②， ①②式可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 则为定点． 21. 若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． （1）求证：函数是函数的“控制函数” （2）若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； （3）若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据控制函数的定义证明即可； （2）根据题意得出恒成立，分类讨论求出其最小值将问题转化为使得，即得，再利用导数求解不等式即可； （3）充分性：假设，根据为偶函数求出，再求证；必要性：根据以及得出即可. 【小问1详解】 因为，所以， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”； 【小问2详解】 ，则， 则， 因函数是函数的“控制函数”，则恒成立， 因， ①当时，，则在上单调递增， 当时，不符合题意舍去； ②当时，得；得， 则上单调递减，在上单调递增， 则恒成立即可， 则使得，则， 设，∴， 则得；得， 则在单调递减，在单调递增，则， 即，则，即， 即控制系数的取值范围是． 【小问3详解】 充分性：若存在常数使得恒成立， ∴，∴， 因为为偶函数，则， 可得，得，则，∴， 因，∴， 当时，恒成立，则充分性得证； 必要性：当时，， 则， 则偶函数， 又是偶函数，则， 当时，，∴，则， 则，即，则； 综上可得，当时，“”的充要条件是“为常值函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $