上海市华东师范大学第三附属中学2024-2025学年高三三模数学试题

华东师大三附中2024学年第三次模拟检测 高三数学试题 命题：陆敏杰 审题：陆小红 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1－6每题4分，7－12每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分． 1. 已知集合，，则______． 2. 复数的虚部是______． 3. 已知，则________． 4. 展开式中的常数项为__________. 5. 若，，且，则的最小值为______． 6. 圆柱轴截面是边长为4cm的正方形，则该圆柱的表面积为________． 7. 若向量在向量上投影向量为，则等于______． 8. 已知某个数据平均数为，方差为，现加入一个数据，此时这个数据的方差为________； 9. 若成等比数列，则实数__________. 10. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________． 11. 修建栈道是提升旅游观光效果一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米. 12. 已知三棱锥的体积为，，，，与的周长均为10，则______． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13－14每题4分，15－16每题5分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案． 13. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 14. 某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，） A. B. C. D. 15. 已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． （1）求证：平面平面； （2）当Q为中点时，求点B到平面的距离． 18. 如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． （1）已知，求的取值范围； （2）若方程存在实数解，求的取值范围． 19. 根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 （1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 20. 已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 21. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 华东师大三附中2024学年第三次模拟检测 高三数学试题 命题：陆敏杰 审题：陆小红 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1－6每题4分，7－12每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】2 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】4 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13－14每题4分，15－16每题5分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案． 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）可以，万元 （2）选择方案二 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【21题答案】 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $