精品解析：湖北省武汉市新洲区第一中学航天城校区2025-2026学年高一上学期九月求实考试数学试题（123班）

新洲一中航天城校区高一（上）九月求实考试 数学试题 考试时间：9：5——11：50 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算绝对值不等式得出集合B，再应用集合的并集定义计算求解. 【详解】集合， 因为，所以． 故选：B 2. 若：关于的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先化简两个条件，根据推出关系进行判断即可. 【详解】由可得，； 由关于的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，可得，即； ，易知，且不成立，故是的充分不必要条件， 故选：A. 3. 已知，则下列大小关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，运用作差法或特殊值法逐一计算判断各选项. 【详解】因为，则，， 所以 ，故A正确； 已知， 当时，，故B错误； 已知，则，， 所以，即，故C正确； 已知，则， 又， 所以， 所以，故D正确. 故选：B. 4. 和函数是同一函数的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同的函数定义域，对应法则，值域都相同可知ABC不符合要求，D满足. 【详解】的定义域为，值域为， 对于A，与的对应法则不同，故不是同一个函数； 对于B，的值域为，故不是同一个函数； 对于C，的定义域为，故不是同一个函数； 对于D, ，故与是同一个函数. 故选：D 5. 若，其中且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把不等式两边化为同底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果． 【详解】且 当时，函数是一个增函数，不等式恒成立， 当时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有，即 综上可知的取值是 故选：B 6. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角函数的定义，得到，再化简原式为，代入计算，即可求解. 【详解】由点在角的终边上，可得， 则． 故选：A. 7. 如图所示，有一圆形图案，小红准备在扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）涂上颜色，已知厘米，厘米，扇形环面区域面积为100平方厘米，圆心角为弧度．记扇环的周长为厘米，的最小值为（ ） A. 最小值为20厘米 B. 最小值为40厘米 C. 最小值为60厘米 D. 最小值为80厘米 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可求得的最小值. 【详解】依题意可得弧长，弧长， 所以扇环的周长的长度， 因为扇形的面积公式可得，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以扇环的周长的最小值为40米. 故选：B. 8. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】 ， 若是上的“完整函数”， 则在上存在，使得成立， 即， 又因为，所以， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知；所以只需保证即可， 解得. 综上可知. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】计算即可得出A；根据A判断范围，再利用齐次化思想得到，即可得出B. C；利用齐次化思想得到D. 【详解】由，得，所以，A正确； 因为，所以，，则， 而，得出或， 若，则，与矛盾. 故，故C错误； ，B正确； ，D错误． 故选：AB 10. 已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 关于x的不等式的解集是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合，利用赋值法依次求出即可判断；对于B，通过选项A中的函数值的规律即可判断；对于C，运用定义法证明函数在上的单调性，将代入后，运用函数单调性将其化成一元二次不等式求解即得；对于D，令，代入已知式，根据递推性质即可证明结论. 【详解】对于A，在中，， 取，可得，解得， 再取，可得， 再取，可得，故A正确； 对于B，由A项可知，，故B错误； 对于C， 不妨设，则， 设，则，因当时，，则有， 由可得，即函数在上是增函数. 取易得，则， 故等价于，故得，解得或， 故不等式的解集是，故C正确； 对于D，将都取为，则得， 故，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 的最小正周期是 C. 的对称中心， D. 若方程在上有且只有个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，可以由两个特值；得到和；对于B，利用函数周期性的定义可判断；对于C，利用正弦型函数的对称性可判断；对于D，结合图象列不等式，解不等式判断D． 【详解】对A，由图分析可知：，，得，或， 因为，所以， 由，得，即， 又，所以， 又， 所以，即得，， 又，所以，所以，故A正确； 对B，， 因为， ， 故函数的最小正周期不是，结合图象可知，函数的最小正周期为，故B错误； 对C，， 由可得， 因此，函数对称中心为，故C正确； 对D，由，得， 因为，所以， 令、、、、、， 解得、、、、、． 又在上有个根，则根从小到大为、、、、、． 再令，解得，则第个根为，，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知命题，若命题为假命题，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由命题为假命题，可得命题为真命题，根据恒成立问题即可求出实数的取值范围. 【详解】若命题为假命题，则命题为真命题， 即对恒成立，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 函数的最大值与最小值的和为___________ 【答案】 【解析】 【分析】将函数变形为，然后利用辅助角公式将其转化为一个三角函数形式，再结合三角函数的值域来求解的最大值和最小值. 【详解】由函数，得，化简整理得，所以， 又根据正弦函数，得，即， 解不等式得， 所以. 故答案为： 14. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合分段函数的性质，对的取值进行分类讨论，即可求解. 【详解】因为在区间内恰有6个零点， 当时，区间上，最多有2个零点，不符合题意； 当时，易知函数最多有2个零点， 所以当时，至少有4个零点. 由，得，所以， 又，所以，解得， 所以当时，函数的零点可以是，，，，，，，， 令①，得， （1）当，即时，方程①无解，即在时无零点， 所以，在时有6个零点，则，此不等式组无解，舍去； （2）当时，方程①有唯一解，即在时有1个零点3， 所以，在时有5个零点，由，所以， 所以，在时只有3个零点，显然矛盾，舍去； （3）当时，方程①的解为或，且， 若，则时，此时在时有2个零点， 所以，在时，函数有4个零点，所以，解得； 若，则，此时在时有1个零点， 所以，时，函数有5个零点，所以，解得； 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）， （2）2， 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式，化简的解析式，再分析其性质即可. （2）利用换元法，结合的性质，求函数的最大、最小值. 【小问1详解】 . 所以函数的最小正周期为． 由，所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 因为所以. 令， 则，在，即时，；在，即时，. 所以取得最小值；最大值． 16. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集，利用韦达定理即可解； （2）讨论和时，恒成立的条件，然后求解即可. 小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． 【小问2详解】 当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 17. 我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧（P为此圆弧的中点）和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧上．设OC与直径MN所成的角为． （1）试用分别表示矩形ABCD和的面积； （2）若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．（结果保留整数） 【答案】（1）矩形ABCD的面积为，的面积为； （2）当时，建造该观景区总费用最低，且最低费用约为20万元. 【解析】 【分析】（1）由题图知，根据矩形、三角形面积公式写出矩形ABCD和的面积； （2）由已知可得，，利用、关系，换元法及正弦型函数、二次函数性质求的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 由题意，，易得：． 所以矩形ABCD的面积为， 的面积为． 【小问2详解】 设建造观景区所需总费用为， 由题意，，， 即，， 令，， 设，则， 由， 从而． 当，即时，有． 所以最小值为（万元）． 故当时，建造该观该景区总费用最低，且最低费用约为20万元． 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间： （3）当时，已知的最大值为，求使成立时自变量x的集合. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，即可得最小正周期； （2）以为整体，结合正弦函数单调性分析求解； （3）以为整体，结合正弦函数最值可得，进而可得，列式求解即可. 【小问1详解】 由题意知 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 令，，解得，， 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 当，则，可得， 则，解得， 所以， 由，即，可得，解得， 所以使成立时自变量的集合为. 19. 将函数图象上各点向右平移个单位长度后得到函数的图象． （1）求曲线的对称轴方程； （2）若在上单调递减，在上单调递增，求的取值范围； （3）若关于的方程在上的三个根分别为，求。 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用平移变换求出，再利用正弦函数性质求解. （2）分别求出函数的递减区间、递增区间，再利用给定区间建立不等式组求解. （3）求出，利用积化和差求出目标值. 【小问1详解】 依题意，，由，得， 所以曲线的对称轴方程为． 【小问2详解】 由，得， 因此函数的单调递减区间为， 由，得， 函数单调递增区间为， 由，得，则， 由在上单调递减，在上单调递增，得， 解得，所以的取值范围为． 【小问3详解】 由，得，由，得， 则，于是，解得， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新洲一中航天城校区高一（上）九月求实考试 数学试题 考试时间：9：5——11：50 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若：关于的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则下列大小关系不正确的是（ ） A. B. C D. 4. 和函数是同一函数的是（　 ） A. B. C. D. 5. 若，其中且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 6. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，有一圆形图案，小红准备在扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）涂上颜色，已知厘米，厘米，扇形环面区域面积为100平方厘米，圆心角为弧度．记扇环的周长为厘米，的最小值为（ ） A. 最小值20厘米 B. 最小值为40厘米 C. 最小值为60厘米 D. 最小值为80厘米 8. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 关于x的不等式的解集是 D. 11. 已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 的最小正周期是 C. 的对称中心， D. 若方程在上有且只有个根，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知命题，若命题为假命题，则实数的取值范围为_______. 13. 函数的最大值与最小值的和为___________ 14. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间上的最大值和最小值． 16. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 17. 我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它边界是由圆O的半个圆弧（P为此圆弧的中点）和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧上．设OC与直径MN所成的角为． （1）试用分别表示矩形ABCD和的面积； （2）若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．（结果保留整数） 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间： （3）当时，已知的最大值为，求使成立时自变量x的集合. 19. 将函数图象上各点向右平移个单位长度后得到函数的图象． （1）求曲线的对称轴方程； （2）若在上单调递减，在上单调递增，求取值范围； （3）若关于的方程在上的三个根分别为，求。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $