专题4.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义+巩固训练-2026届新高考数学大一轮复习（新高考专用）

专题4.5 函数的图象及应用 基础巩固 一、单选题 1．用“五点法”作在的图象时，应取的五点为（    ） A． B． C． D． 2．为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 3．下列区间中，函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数 图象上相邻两条对称轴的距离为，把 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数（其中，）的图象如图所示，且满足，则（    ）    A． B． C． D． 6．函数（其中）的图象如图所示，下列4个命题中错误的是（    ） A．向左平移个单位长度后图象关于y轴对称 B．向右平移个单位长度后的图象关于坐标原点对称 C．是它的一个对称中心 D．单调递减区间是 7．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（   ）    A． B． C． D． 8．（2024�内蒙古包头�一模）已知函数的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D．0 二、多选题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，先将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（　　） A． B．的图象关于对称 C．的最小正周期为 D．在上单调递减 10．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则(    ) A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 11．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则（    ） A．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m B．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点 C．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒 D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面 三、填空题 12．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则 ． 13．函数在一个周期内的部分取值如下表： 则的最小正周期为 ； ． 14．（24-25高一下·河南·期中）已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 ． 四、解答题 15．已知函数f（x）＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2． （1）求f（x）的解析式； （2）作出f（x）在[0，π]上的图象(要列表)； （3）函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 16．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，其中，函数图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值． (1)求函数的解析式； (2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将其向左平移个单位，得到函数图象，求函数的单调递增区间和对称中心． 17．（24-25高三上�北京朝阳�阶段练习）已知函数，且的最小正周期为． (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，当时，求函数的值域． 18．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 19．（25-26高二上·河北保定·开学考试）已知向量，函数． (1)求函数的周期及对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围． 能力提升 一、单选题 1．（24-25高三上�江西南昌�开学考试）如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是图象的一个对称中心，若，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上�福建厦门�开学考试）已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．若，则在区间上的最大值为 4．（2024�山东日照�二模）已知函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在上单调递减 C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D．若圆的半径为，则 5．已知函数在区间和上单调递增，下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为3 B．方程在上至多有5个根 C．存在和使为偶函数 D．存在和使为奇函数 6．（24-25高二上�辽宁�开学考试）设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的取值范围是 C．在上单调递增 D．在上，方程的根有3个，方程的根有3个 7．（24-25高三上�江西�开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若这两函数图象的对称轴都相同，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．与的零点相同 D．与的单调递增区间相同 三、解答题-问答题 8．（23-24高一下�上海宝山�期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. (1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; (2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. (3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 题型1 函数的图象 4 考点1 “五点法”作图 4 考点2 函数的图象变换 5 题型2 由图象确定函数的解析式 7 题型3 函数的图象与性质 8 考向1 函数图象与性质的综合应用 8 考点2 函数零点（方程根）问题 11 题型4 三角函数模型的简单应用 12 高考真题演练 14 知识点一 ，，对函数的图象的影响 1．对的图象的影响 在同一直角坐标系中，作出函数 ，和在一个周期内的图象，如图所示. 观察图象可得:函数(其中)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). 即. 2．对的图象的影响 在同一直角坐标系中，作出函数，和在一个周期内的图象，如图所示. 观察图象可得:函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. 所有点纵坐标不变，横坐标 即. 3．对的图象的影响 在同一直角坐标系中，作出函数，和 在一个周期内的图象，如图所示. 观察图象可得：函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当时)或缩短(当时)到原来的倍(横坐标不变)而得. 即. 知识点二 由函数的图象得到函数的图象 1．(方法一) ①作出的图像; ②把正弦曲线向左(或右)平移个单位长度，得到函数的图像; ③将的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像; ④将的图像上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图像. 2．(方法二) ①作出的图像; ②把正弦曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像; ③将的图像上各点向左(或右)平移个单位长度，得到函数的图像; ④将的图像上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图像. 知识点三 作函数的图像方法 1．用“五点(画图)法” (1)列表.先由，，，，分别求出，再由的值求出的值，列出下表： (2)在同一直角坐标系中描出各点. (3)用光滑曲线连接这些点得到一个周期内的图像. (4)利用函数的周期性，通过左右平移得到整个图像. 2．由函数到函数的图像变换 先将函数的图像上的所有点向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度(纵坐标不变)，再将得到的图像上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，最后将得到的图像上所有点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，便可得到的图像； 或者先将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再沿轴向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度(纵坐标不变)，最后将所有点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，便可得到的图像. 这种变换对由函数到的图像变换与由函数到的图像变换都满足. 知识点四 函数和的性质 函数 定义域 值域 单调性 当，时,将视为整体，代入或相应的单调区间求解；当或时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当时为奇函数， 当时为偶函数. 当时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象对称性 将视为整体,代入或相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 题型1 函数的图象 考点1 “五点法”作图 1．已知函数． (1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)求的对称轴与对称中心； (3)当，求函数的值域. 2．已知函数． (1)根据“五点法”补全下表，并画出在上的图象； x 0 (2) 将的图象向下平移1个单位长度，横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． 3．（24-25高三上·江西赣州·期末）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 考点2 函数的图象变换 4．（2025·广东广州·模拟预测）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 6．已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（    ） A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度 B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度 C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度 D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度 7．设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（　　） A．先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度 D．先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 题型2 由图象确定函数的解析式 9．函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为 A． B． C． D． 10．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数的图象向左平移得到的图象，其中点A是图象上的最高点，分别是，的图象与x轴的相邻交点（如图所示），若，的面积为10，则（    ） A． B． C． D． 12．已知函数（ ，）的部分图象如图所示，、、分别是函数图象与轴交点、图象的最高点、图象的最低点．若，且．则的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型3 函数的图象与性质 考向1 函数图象与性质的综合应用 13．（24-25高三上�江苏常州�开学考试）已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 14．（多选）（2025·河南·二模）已知如图是函数的部分图象，则（   ） A． 的图象关于中心对称 B．在单调递增 C．在点处的切线方程为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 15．（多选）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则（     ） A．函数图像的一个对称中心为 B．函数图像的一条对称轴为直线 C．函数在区间上单调递增 D．将函数的图像向左平移个单位后的图像关于y轴对称 16．（多选）已知函数，且所有的正零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．的图象关于点对称 C．在上是增函数 D．当时，函数的值域是 17．（多选）（2025·山东泰安·模拟预测）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点， 为图象与轴的交点，点，且为正三角形，则下列说法正确的是（    ） A． B．当，函数的值域为 C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 D．若，且，则 18．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，下列说法：①函数的最小正周期是；②函数的图象关于点成中心对称；③点的坐标是，其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（多选）已知函数，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的值域为 D．方程最多有8个根，且这些根之和为 20．（24-25高三上�重庆�阶段练习）已知函数，直线和点是的一组相邻的称轴和对称中心，且在区间上单调递减，则 ． 考点2 函数零点（方程根）问题 21．已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知． (1)求的解析式及最小值； (2)若函数在区间上有且仅有1个零点，求t的取值范围． 条件①：函数的最小正周期为； 条件②：函数的图象经过点； 条件③：函数的最大值为． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分． 22．已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高三上�江苏�期末）设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是 . 题型4 三角函数模型的简单应用 25．（多选）2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图象近似函数的图象，而破碎的涌潮的图象近似（是函数的导函数）的图象．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则（    ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调 26．（多选）（25-26高三上·广东深圳·开学考试）水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 27．红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（    ） A． B．3 C． D． 28．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 一、单选题 1．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·全国乙卷·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 5．（2019·天津·高考真题）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2017·全国I卷·高考真题）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 7．（2018·天津·高考真题）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 二、填空题 8．（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 题型1 函数的图象 4 考点1 “五点法”作图 4 考点2 函数的图象变换 8 题型2 由图象确定函数的解析式 11 题型3 函数的图象与性质 15 考向1 函数图象与性质的综合应用 15 考点2 函数零点（方程根）问题 24 题型4 三角函数模型的简单应用 28 高考真题演练 33 知识点一 ，，对函数的图象的影响 1．对的图象的影响 在同一直角坐标系中，作出函数 ，和在一个周期内的图象，如图所示. 观察图象可得:函数(其中)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). 即. 2．对的图象的影响 在同一直角坐标系中，作出函数，和在一个周期内的图象，如图所示. 观察图象可得:函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. 所有点纵坐标不变，横坐标 即. 3．对的图象的影响 在同一直角坐标系中，作出函数，和 在一个周期内的图象，如图所示. 观察图象可得：函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当时)或缩短(当时)到原来的倍(横坐标不变)而得. 即. 知识点二 由函数的图象得到函数的图象 1．(方法一) ①作出的图像; ②把正弦曲线向左(或右)平移个单位长度，得到函数的图像; ③将的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像; ④将的图像上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图像. 2．(方法二) ①作出的图像; ②把正弦曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像; ③将的图像上各点向左(或右)平移个单位长度，得到函数的图像; ④将的图像上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图像. 知识点三 作函数的图像方法 1．用“五点(画图)法” (1)列表.先由，，，，分别求出，再由的值求出的值，列出下表： (2)在同一直角坐标系中描出各点. (3)用光滑曲线连接这些点得到一个周期内的图像. (4)利用函数的周期性，通过左右平移得到整个图像. 2．由函数到函数的图像变换 先将函数的图像上的所有点向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度(纵坐标不变)，再将得到的图像上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，最后将得到的图像上所有点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，便可得到的图像； 或者先将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再沿轴向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度(纵坐标不变)，最后将所有点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，便可得到的图像. 这种变换对由函数到的图像变换与由函数到的图像变换都满足. 知识点四 函数和的性质 函数 定义域 值域 单调性 当，时,将视为整体，代入或相应的单调区间求解；当或时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当时为奇函数， 当时为偶函数. 当时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象对称性 将视为整体,代入或相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 题型1 函数的图象 考点1 “五点法”作图 1．已知函数． (1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)求的对称轴与对称中心； (3)当，求函数的值域. 【答案】(1)见解析； (2)对称轴为，对称中心为； (3) 【知识点】五点法画余弦（型）函数的图象、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求cosx(型)函数的值域 【分析】（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数在一个周期上的简图； （2）令，可得对称轴，令，可得对称中心； （3）由，得，由三角函数性质可得的值域. 【详解】（1）列表 0 函数图像如图所示 （2）令，得对称轴：， 令，得，所以对称中心为； （3）由，得， 当，即时，； 当，即时，. 所以的值域为. 2．已知函数． (1)根据“五点法”补全下表，并画出在上的图象； x 0 (2)将的图象向下平移1个单位长度，横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． 【答案】(1)表格及作图见解析 (2)， 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、五点法画正弦（型）函数的图象、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）用“五点法”补全表格并画出图象即可； （2）利用图象平移规律求出，再用整体代入法求图象的对称中心和对称轴. 【详解】（1）补全表格如下： x 0 0 0 在上的图象如下： （2）将的图象向下平移1个单位长度，得到的图象， 横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向左平移个单位长度，得到的图象． 令得， 所以函数图象的对称中心． 令，得， 所以函数图象的对称轴为． 3．（24-25高三上·江西赣州·期末）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】五点法画余弦（型）函数的图象 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个. 故选：B. 考点2 函数的图象变换 4．（2025·广东广州·模拟预测）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解. 【详解】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到图象对应的函数解析式为， 再将所得图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为 . 故选：C． 5．（多选）为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】AC 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项． 【详解】正弦曲线先向右平移个单位长度，得到函数的图象， 再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，故A正确，B错误； 先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，再向右平移个单位长度， 得到函数的图象，故C正确，D错误． 故选：AC. 6．已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（    ） A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度 B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度 C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度 D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度 【答案】C 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】由三角函数的图象变换对各选项进行检验． 【详解】A. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，A错； B. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，B错； C. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，C正确； D. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，D错误； 故选：C． 7．设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换可得到变化后的函数解析式，结合所得的图象与图象重合，求得参数，，即得答案. 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度后，得到的图象， 再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 由于得到的函数的图象与图象重合， 故，， 所以，又，所以， 故选：C． 8．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（　　） A．先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度 D．先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据向量数量积的几何意义可得出的图象的两条相邻对称轴之间的距离，进而得出，再利用图象变换依次得出满足各个选项条件的解析式即可. 【详解】设在上的投影向量为，则， 因，则，， 因分别为的图象的两条相邻对称轴上的动点，则， 得， 故，， 将的图象按照各个选项的条件变化分别得到满足以下解析式的函数图象： A： B：， C：， D： ，故符合题意的只有B选项. 故选：B 题型2 由图象确定函数的解析式 9．函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【详解】由图可得 ，，则 将代入 函数的解析式为 故选 10．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【解析】由求出，由，再根据可得答案. 【详解】由函数的部分图象， 可得，， ， 函数， 令， 得得. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出，属于中档题. 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数的图象向左平移得到的图象，其中点A是图象上的最高点，分别是，的图象与x轴的相邻交点（如图所示），若，的面积为10，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】设图象向左平移最小个单位，得到，再结合三角形的面积及，列出等式求解即可. 【详解】函数的图象向左平移最小个单位得到， 则， 又， 所以，即， 所以， 三角形的面积， 即， 又函数的周期为， 所以，联立， 解得：， 所以， 故选：A 12．已知函数（ ，）的部分图象如图所示，、、分别是函数图象与轴交点、图象的最高点、图象的最低点．若，且．则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】设，，，根据，求出，即可求出，再根据，即可求出，从而得解. 【详解】解：设，函数的最小正周期为，则，， ，， ， ，整理得， ，所以，所以， ，可得，又，所以． ． 故选：A． 题型3 函数的图象与性质 考向1 函数图象与性质的综合应用 13．（24-25高三上�江苏常州�开学考试）已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）先化简，再利用相邻对称轴与对称中心的距离求出周期，再求出参数，然后利用复合函数同增异减方式求出单调递增区间即可； （2）先根据题意求出，然后求其值域即可. 【详解】（1）因为 ， 又由题，所以， 所以， 令，，则，， 所以函数的单调递增区间为，． （2）由（1），故由题意可得， ∵，∴， 故， 所以，即． 14．（多选）（2025·河南·二模）已知如图是函数的部分图象，则（   ） A．的图象关于中心对称 B．在单调递增 C．在点处的切线方程为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 【答案】BCD 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求图象变化前（后）的解析式、求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据函数图像上的点,求出函数参数,根据函数解析式判断各选项正误. 【详解】函数图形经过,代入得,解得,因为，. 过点,得,解得, 有图像可知,即，解得，则. 可得， 对称中心为,解得,所以A错误. 函数在上单增,解得 当时,增区间为,所以B正确. 可知,则, 切线方程为,化简得,所以C正确. 平移后得,是偶函数,所以D正确. 故选:BCD. 15．（多选）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则（     ） A．函数图像的一个对称中心为 B．函数图像的一条对称轴为直线 C．函数在区间上单调递增 D．将函数的图像向左平移个单位后的图像关于y轴对称 【答案】AC 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题 【分析】化简得到，根据对称中心对称轴判断A，B选项，根据单调性判断C选项，根据平移判断D选项. 【详解】 ，故A正确； 对选项B：当时，，故的图像不关于对称，B错误； ，函数在区间上单调递增，C正确； 将函数的图像向左平移个单位后得到，D错误. 故选: AC. 16．（多选）已知函数，且所有的正零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．的图象关于点对称 C．在上是增函数 D．当时，函数的值域是 【答案】BD 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式 【分析】化简可得，进而根据已知求出，.根据图象变换可得.求出即可判断A项；代入检验，结合正弦函数的性质，即可判断B、C、D. 【详解】因为. 由可得，. 由已知可得，，所以，. 将函数的图象沿轴向左平移个单位， 可得的图象， 横坐标伸长到原来的2倍得到函数的的图象，所以. 对于A项，因为，所以函数不是偶函数，故A项错误； 对于B项，因为，所以的图象关于点对称，故B项正确； 对于C项，因为，所以. 因为函数在上单调递增，在上单调递减，故C项错误； 对于D项，因为，所以. 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，，故D项正确. 故选：BD. 17．（多选）（2025·山东泰安·模拟预测）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点， 为图象与轴的交点，点，且为正三角形，则下列说法正确的是（    ） A． B．当，函数的值域为 C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 D．若，且，则 【答案】ABD 【知识点】二倍角的余弦公式、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据三角函数图象结合周期，特殊值得出函数解析式，再结合值域奇偶性及诱导公式判断各个选项即可. 【详解】对于选项A，由于的高为，则，所以函数的周期，即，所以. 又图象过点，结合五点作图法可知， 所以，所以，故A正确. 对于选项B，当，，所以函数的值域为，故B正确. 对于选项C，将函数的图象向右平移个单位长度后得到是一个奇函数，故C错误. 对于选项D，因为，，   由，所以， 故 ，故D正确. 故选：ABD. 18．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，下列说法：①函数的最小正周期是；②函数的图象关于点成中心对称；③点的坐标是，其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】三角函数图象的综合应用 【分析】①根据函数的图象以及圆的对称性，转化求解函数的周期，可判定①错误； ②由函数图象关于点对称，求得函数的对称中心，可判定②错误； ③求出函数的解析式，求得点的坐标，可判定③正确. 【详解】①中，根据函数的图象以及圆的对称性， 可得，两点关于圆心对称，所以， 于是，所以，解得，函数的周期为，所以①错误； ②中，由函数图象关于点对称，及周期知， 函数图象的对称中心为， 而不存在的解，所以②错误； ③中，由及的相位为0，得， 所以，，从而，所以③正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答熟记三角函数的对称性和函数的周期性的判定是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 19．（多选）已知函数，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的值域为 D．方程最多有8个根，且这些根之和为 【答案】BCD 【知识点】二倍角的余弦公式、判断或证明函数的对称性、复合函数的单调性、函数基本性质的综合应用 【分析】根据函数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决问题. 【详解】， ， 则是偶函数，图象关于轴对称. ， 是周期函数，周期. 又 且， ，即图象关于轴对称， 故直线都是的对称轴. 当时，， 则， 令，则可看成由与复合而成的函数， 单调递增， 当，则，单调递增，则单调递增； 当，则，单调递减，则单调递减； 且. 结合以上性质，作出函数的大致图象. 选项A，函数在区间上单调递减，故A项错误； 选项B，直线是函数图象的一条对称轴，故B项正确； 选项C，当时，函数的值域为，由函数周期，函数的值域为，故C项正确； 选项D，如图可知，方程最多有8个根，设为，不妨设， 当时，函数的图象关于对称， 则， 即这些根之和为，故D项正确. 故选：BCD. 20．（24-25高三上�重庆�阶段练习）已知函数，直线和点是的一组相邻的称轴和对称中心，且在区间上单调递减，则 ． 【答案】 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据题意求出周期，从而求出，又因为且在区间上单调递减从而求出，再由，即可求解. 【详解】根据题意可得周期，所以，所以， 则时单调递减，即， 又因为在区间上单调递减，所以 则，解得：， 又因为，所以， 又因为，解得， 所以. 故答案为：. 考点2 函数零点（方程根）问题 21．已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知． (1)求的解析式及最小值； (2)若函数在区间上有且仅有1个零点，求t的取值范围． 条件①：函数的最小正周期为； 条件②：函数的图象经过点； 条件③：函数的最大值为． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分． 【答案】(1)选择①②：，的最小值为；选择①③：， 的最小值为； (2)选择①②：的取值范围是；选择①③：的取值范围是. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简，然后根据条件①②或①③求其解析式即可，若选择②③，的取值有两个，舍去； （2）根据零点即是函数图像与轴的交点横坐标，令求出横坐标，即可判断的取值范围. 【详解】（1） 由题可知， ． 选择①②： 因为，所以． 又因为，所以． 所以． 当，，即，时，. 所以函数的最小值为． 选择①③： 因为，所以． 又因为函数的最大值为， 所以． 所以． 当，，即，时， ， 所以函数的最小值为． 选择②③： 因为，所以， 因为函数的最大值为，所以 的取值不可能有两个，无法求出解析式，舍去. （2）选择①②： 令， 则，， 所以，． 当时，函数的零点为， 由于函数在区间上有且仅有1个零点， 所以． 所以的取值范围是． 选择①③： 令， 则，，或，， 所以，，或，． 当时，函数的零点分别为， 由于函数在区间上有且仅有1个零点， 所以． 所以的取值范围是． 22．已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式，再分析在上的图象性质即可得解. 【详解】观察图象知，，函数的周期，， 由，得，而，则， 于是，当时，， 当，即，函数单调递减，函数值从减小到， 当，即时，函数单调递增，函数值从增大到， 显然函数的上的图象关于直线对称， 方程在上有两个不相等的实数根，即直线与函数在上的图象有两个公共点， 所以实数m的取值范围是. 故选：B 23．（24-25高三上�江苏�期末）设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据x的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案. 【详解】因为的图象经过点，所以，又，所以， 则函数，当时，， 因为在上恰有2个零点， 所以，所以，即实数ω的取值范围是. 故选：B. 24．已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数图象的综合应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】参变分离可得，再利用二倍角公式及辅助角公式将右边化简，得到，令，，根据正弦函数的性质求出函数的单调区间，依题意可得与在上有两个不同的交点，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：方程可转化为，， 令，，因为，所以， 当，即时单调递减，当即时单调递增， 又，，， 依题意关于的方程在上有两个不同的实数根， 即与在上有两个不同的交点，所以，即 故答案为： 题型4 三角函数模型的简单应用 25．（多选）2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图象近似函数的图象，而破碎的涌潮的图象近似（是函数的导函数）的图象．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则（    ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调 【答案】BC 【知识点】诱导公式五、六、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、求cosx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】对于A，由题意，求导建立方程，根据正切函数的性质，可得答案； 对于B，整理其函数解析式，代入值，利用和角公式，可得答案； 对于C，整理函数解析式，利用诱导公式，结合奇函数的性质，可得答案； 对于D，利用整体思想，整体换元结合余弦函数的性质，可得答案. 【详解】，则，由题意得，即，故，因为，所以，由则，，故选项A错误； 因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以， 则，故选项B正确； 因为，所以，所以为奇函数，则选项C正确； ，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上不单调，则选项D错误， 故选：BC. 26．（多选）（25-26高三上·广东深圳·开学考试）水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 【答案】ABC 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 【分析】从图象可以得到，，和最小正周期，确定函数解析式，再依次对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，从图象可以看出，m，A正确； B选项，点A运动一周所用的时间为秒，即1分钟，B正确； C选项，由图象可知，，， ，故， 将代入可得，即， 又，故，解得， 故初始状态时直线OA与水面所成的角为，C正确； D选项，，令，得， 即点A到水面的初始高度为5m，D错误. 故选：ABC 27．红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】解余弦不等式、三角函数在生活中的应用、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】先设出高度h与时间t的函数解析式为，利用三角函数的性质及特殊点求出解析式，通过解三角函数不等式得到答案.. 【详解】设点P距离地面高度h与时间t的函数 解析式为， 由题意，得，，， 所以， 又因为，所以， 所以， 令，即， 故，即在摩天轮转动的一圈内， 有分钟会有这种最佳视觉效果. 故选：C. 28．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 【答案】(1)， (2)5分钟或25分钟 【知识点】y=Asinx+B的图象、已知三角函数值求角 【分析】（1）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出； （2）根据（1）求出的表达式，将化简求得. 【详解】（1）设 由题意知：， ，故， 可取， 故解析式为：，. （2）令，则，即． 因为，则，所以或， 解得或， 故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米 一、单选题 1．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假． 【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确； 令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确； 由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确． 故选：A． 2．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象． 故选：D.          3．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 4．（2021·全国乙卷·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 5．（2019·天津·高考真题）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的图象变换 【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可． 【详解】因为为奇函数，∴； 又 ，，又 ∴， 故选C． 【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数． 6．（2017·全国I卷·高考真题）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【知识点】相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2， 故选D． 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数. 7．（2018·天津·高考真题）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知： 将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为： . 则函数的单调递增区间满足：， 即， 令可得一个单调递增区间为：. 函数的单调递减区间满足：， 即， 令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题 8．（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】/ 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】 当时 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 函数的图象及应用 基础巩固 一、单选题 1．用“五点法”作在的图象时，应取的五点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】五点法画余弦（型）函数的图象 【解析】取内五个关键点，即分别令x＝0，，，π，2π即可． 【详解】∵， ∴周期T＝2π． 由“五点法”作图可知: 应描出的五个点的横坐标分别是x＝0，，π，，2π．代入解析式可得点的坐标分别为，∴B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查五点法作图，取内五点即可，属于基础题． 2．为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】A 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据函数图象平移的性质即可求解. 【详解】为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点向右平行移动个单位长度， 故选：A 3．下列区间中，函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】先求出函数的递减区间，然后逐个分析判断即可 【详解】由，得 ， 当时，其递减区间为，当时，其递减区间为， 当时，其递减区间为， 所以在，，上不递减，在上单调递减， 故选：C 4．已知函数 图象上相邻两条对称轴的距离为，把 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】由周期求得，再由三角函数图像变换得出的表达式． 【详解】依题意，，所以，所以，解得，所以．把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，再把曲线向右平移个单位长度，得到曲线，即，故 故选：D． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换、诱导公式等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性． 5．已知函数（其中，）的图象如图所示，且满足，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】根据题意得到函数的最小正周期，然后利用三角函数的周期公式得到，再结合可得到，进而求解. 【详解】设的最小正周期为T，根据及函数图象的对称性知，，所以，得． 由，得，因为， 由图知，故． 故选：C． 6．函数（其中）的图象如图所示，下列4个命题中错误的是（    ） A．向左平移个单位长度后图象关于y轴对称 B．向右平移个单位长度后的图象关于坐标原点对称 C．是它的一个对称中心 D．单调递减区间是 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据图象求得解析式，然后结合三角函数图象变换、三角函数的对称性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据图象可知，， ， ， 根据的图象可知， 所以，. A选项，根据图象可知，关于直线对称， 所以向左平移个单位长度后图象关于y轴对称，A选项命题正确. B选项，向右平移个单位长度后得， 图象关于原点对称，B选项命题正确. C选项，，所以是的一个对称中心，C选项命题正确. D选项，， 所以的减区间为，D选项命题错误. 故选：D 7．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由题意可得相邻对称轴间距离求出周期得出排除BD，再由区分AC即可得解. 【详解】因为，， 所以相邻两对称轴间的距离，即周期，所以， 排除BD， 当时，代入，可得，满足题意， 代入，可得，不符合题意， 故A正确C错误. 故选：A 8．（2024�内蒙古包头�一模）已知函数的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用题目条件求出的解析式，然后讨论在上的单调性即可. 【详解】由条件知，，， 从而，， 所以，即， 又因为，故. 这说明，该函数在上递增，在上递减. 又，所以在区间上的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，先将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（　　） A． B．的图象关于对称 C．的最小正周期为 D．在上单调递减 【答案】BCD 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦函数的平移规则先求出函数的解析式，然后根据正弦函数的对称、周期、单调性等性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于A选项，将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍， 可得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，函数的最小正周期为C对； 对于D选项，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，D对． 故选：BCD. 10．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则(    ) A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 【答案】BCD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】对A，由图数据得边长，求出；对B，由点坐标求出；对C，代入验证最值；对D，由图象变换可得. 【详解】对于A：如图，因为为等边三角形，且高为， 所以边长为，所以，，，A错误； 对于B：因为点的坐标为，所以， 所以，，解得 又，所以，B正确； 对于C：由上知，而，C正确； 对于D：的图象向左平移个单位长度，解析式变为， 即所得图象与函数的图象重合，D正确. 故选：BCD. 11．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则（    ）      A．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m B．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点 C．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒 D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面 【答案】ABC 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、正、余弦型三角函数图象的应用、三角函数图象的综合应用、三角函数在生活中的应用 【分析】建立平面直角坐标系，设，结合题目条件求出，再对四个选项一一作出判断. 【详解】以为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建立平面直角坐标系， 如图，则m，则，故， 筒车按逆时针方向每分钟转2圈，故筒车转1圈的时间为30秒，即， 解得， 因为，故当秒时，筒车第一次到达最高点，此时，故B正确； 同理可得，当秒时，筒车第一次到达最低点，此时， 设， 则，解得， 故，又当时，， 故，解得，取， 故， A选项，当时，， 即当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m，A正确； C选项，令， 当时，盛水桶第二次距离水面4m，解得， 故盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒，C正确； D选项，令，解得，， 故盛水桶入水后至少需要10秒才可浮出水面，D错误.    故选：ABC 三、填空题 12．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用三角函数平移变换求出，然后根据奇偶性求出参数的值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得， 因为为偶函数，即为对称轴， 所以， 化简得， 因为，所以. 故答案为： 13．函数在一个周期内的部分取值如下表： 则的最小正周期为 ； ． 【答案】 /0.5 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先利用图表求出最小正周期，进而求出，得到，再将代入即可求出结果. 【详解】由图表知，当时，，当时，，所以，即, 又，，所以得到，又由，得到，又，所以， 故，所以， 故答案为：，. 14．（24-25高一下·河南·期中）已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 ． 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数图像求得的值，图像向左平移即可求得的解析式，代入求值即可. 【详解】因为，在函数图像上且纵坐标互为相反数， 结合图象可知，， 根据，解得.再代入代入， 解得，，因为，所以， 所以函数解析式为，将的图象向左平移个单位长度得： ，. 故答案为： 四、解答题 15．已知函数f（x）＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2． （1）求f（x）的解析式； （2）作出f（x）在[0，π]上的图象(要列表)； （3）函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 【答案】（1）＝2sin；（2）答案见解析；（3）答案见解析． 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】（1）根据函数f（x）的最小正周期是π，得到ω＝2．根据最大值2，得到A＝2，再由2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，求得φ即可. （2）由x∈[0，π]，得到2x＋∈[]，然后利用“五点法”作图即可. （3）利用三角函数的平移变换，将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，再利用伸缩变换将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，然后再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)即可. 【详解】（1）因为函数f（x）的最小正周期是π，所以ω＝2． 又因为当x＝时，f（x）取得最大值2．所以A＝2， 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， φ＝2kπ＋，k∈Z， 因为－<φ<，所以φ＝， 所以f（x）＝2sin． （2）因为x∈[0，π]，所以2x＋∈[]． 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f（x） 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象： （3）将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象， 再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象， 再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f（x）＝2sin的图象． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质以及“五点法”作图，三角函数的图象变换，还考查了数形结合的思想，属于中档题. 16．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，其中，函数图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值． (1)求函数的解析式； (2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将其向左平移个单位，得到函数图象，求函数的单调递增区间和对称中心． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，对称中心为 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据题设条件，直接求出，即可求解； （2）根据条件得，再利用的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）函数，其中， 由题知函数的最小正周期为，解得， 又函数在处取到最小值，则，且， 所以，得到 又，令，得， 所以． （2）函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得，再向左平移个单位，可得， 令，解得， 所以的单调递增区间为． 令，解得， 所以的对称中心为． 17．（24-25高三上�北京朝阳�阶段练习）已知函数，且的最小正周期为． (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，当时，求函数的值域． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的周期性求值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简得，即可利用周期公式求解，利用整体法即可求解单调区间； （2）根据函数图象平移可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）由 ， 由于的最小正周期为，故，解得， 则， 令，解得， 故单调递减区间为. （2）由题意可得， 当时，， 则，所以， 则函数的值域为． 18．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的周期性求值、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据条件，利用正弦的和角公式及倍角公式得，再结合条件，即可求解； （2）根据条件得，由可得或，再结合条件，即可求解. 【详解】（1） ， 又的最小正周期为，，则，所以. （2）由（1）知，所以， 由时，得到，所以或 即或， 因为在区间上有且仅有3个零点， 由，令，得；令，得； 由，令，得；，得； 所以， 故的取值范围是. 19．（25-26高二上·河北保定·开学考试）已知向量，函数． (1)求函数的周期及对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为 (2)的取值范围为 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、数量积的坐标表示 【分析】（1）先利用倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期的计算公式以及对称中心的求法即可求解； （2）先求解析式，然后将恒成立问题，参变量分离后，转化为最值问题即可求解. 【详解】（1） ． 所以， 令，． 所以对称中心为； （2）由（1）知，， 由题意，， 当时，，所以， 因为恒成立恒成立 所以． 所以， 所以的取值范围为. 能力提升 一、单选题 1．（24-25高三上�江西南昌�开学考试）如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是图象的一个对称中心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据平移关系可得，进而根据面积公式可得，利用勾股定理以及周期关系即可求解，进而可求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位得的图象， 由于分别是图象的一个对称中心，结合图象可知：, ,故， 由于所以， 进而可得,故，解得，， 故， 故选：D 2．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的周期、由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求得参数，即可得的解析式，进而求函数值即可. 【详解】如图，由正切函数的周期性可知，①和②面积相等， 故阴影部分的面积即为矩形的面积，易知，    设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即. 的图象过点，即， ，，解得， 则， . 故选：C. 二、多选题 3．（24-25高三上�福建厦门�开学考试）已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．若，则在区间上的最大值为 【答案】CD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】首先利用三角函数的性质求出和的关系，根据对称点距离和周期关系即可判断A；求出正弦型函数的对称轴和对称中心即可判断BC；利用整体法即可求出的最值. 【详解】由于函数是偶函数，所以， 由于将的图象向左平移个单位长度， 再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，则， 对于A，因为曲线的两个相邻对称中心之间的距离为， 故，解得，故A不正确； 所以函数，则或， ，则或， 对于B，令，解得，， 令，解得，则的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C,令，解得，， 所以当时，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，由A可得， 当时，即为偶数时，为奇数时， 故，此时时， 当时，， 所以在上单调递减，故函数的最大值为，故D正确； 故选：CD. 4．（2024�山东日照�二模）已知函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在上单调递减 C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D．若圆的半径为，则 【答案】ACD 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求sinx型三角函数的单调性 【分析】A选项，先求出点的横坐标，求出最小正周期，A正确；B选项，求出，得到特殊点的函数值得到，得到函数解析式，整体法得到在上不单调递减，B错误；C选项，求出向左平移个单位的解析式，代入检验得到C正确；D选项，由和勾股定理得到，代入求出，得到函数解析式. 【详解】A选项，由对称性可知点的横坐标为， 设的最小正周期为，则，解得，A正确； B选项，因为，所以， 点在图象上，即点在图象上，将其代入函数解析式得， 又，故，解得， 故， 当时，， 又，在上不单调， 故函数在上不单调递减，B错误； C选项，函数的图象向左平移个单位后得到， 其中，故关于直线对称，C正确； D选项，若圆的半径为，即， 又，故，解得， 所以将代入中得，，解得， 则，D正确. 故选：ACD 5．已知函数在区间和上单调递增，下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为3 B．方程在上至多有5个根 C．存在和使为偶函数 D．存在和使为奇函数 【答案】ABD 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、由正弦（型）函数的周期性求值、求sinx型三角函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用单调区间，求出周期最大和最小时的值，得的可能值．判断A，在周期最小，即最大时，作出函数和的图象，观察交点个数可判断B，利用区间上的单调性判断C，举特例判断D． 【详解】由函数在和上单调递增， 可知当周期最小时，令，则，，经检验符合题意；当周期最大时，令，则，，因为，则，经检验符合题意，则的可能取值为1，2，3，故选项A正确； 若方程在上的根最多，则函数的周期最小，即，画出两个函数的图象，由图中可知至多有五个交点，故选项B正确； 因为在上为增函数，故不可能存在和使为偶函数，故选项C错误； 当且时，为奇函数，满足题意，故选项D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期性､奇偶性､三角函数的图象与性质､对数函数的图象与性质､函数的零点，解题关键是掌握三角函数的图象与性质，解题中注意的技巧与方法：函数零点个数问题常常转化为函数图象交点个数，存在性命题为真只要举一个例子说明，为假则要证明． 6．（24-25高二上�辽宁�开学考试）设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的取值范围是 C．在上单调递增 D．在上，方程的根有3个，方程的根有3个 【答案】BC 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据零点个数可得，故可判断B的正误，根据的值可判断A的正误，根据结合正弦函数的性质可判断CD的正误. 【详解】由题设有，当时，， 因为已知在上有且只有5个零点，故， 故，故B正确. 对于A，，无法确定是否为，故A错误； 对于C，当时，， 而，故在上单调递增，故C正确. 对于D，当时，，而， 故在有3个不同的解，有2个或3个不同的解， 故D错误. 故选：BC. 7．（24-25高三上�江西�开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若这两函数图象的对称轴都相同，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．与的零点相同 D．与的单调递增区间相同 【答案】BC 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】求出函数，求出对称轴判断AB；探讨与的关系判断C；举例说明判断D. 【详解】对于AB，，函数图象的对称轴满足， 函数图象的对称轴满足，两式相减得， 因此，A错误，B正确； 对于C，，因此与的零点相同，C正确； 对于D，取，函数的递增区间为， 函数的递增区间为，D错误. 故选：BC 三、解答题-问答题 8．（23-24高一下�上海宝山�期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. (1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; (2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. (3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)，4,理由见解析 (3) 【知识点】对数函数图象的应用、正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、函数不等式恒成立问题 【分析】(1)由，得，即可求相应正格点的坐标； (2)作出两个函数图象，根据图象可得正格点交点只有一个点为，从而有，求得，得出交点的个数； (3)结合(2)的图象，分类讨论的情况. 【详解】（1）因为，所以，所以函数的正格点为，…，，… （2）作出两个函数图象．如图， 可知函数，与函数的图象只有一个“正格点”交点． ∴，又可得． 根据图象可知，两个函数图象的所有交点个数为4个． （3）由（2）知， 所以，所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，由下图可知， 由，解得. 所以实数a的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $