专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 三角函数的图象变换】 2 【题型2 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 3 【题型3 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】 4 【题型4 图象与性质的综合应用】 6 【题型5 函数的零点（方程的根）问题】 7 【题型6 三角函数模型】 8 【题型7 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 10 1、函数y=Asin(ωx+φ) 考点要求 真题统计 考情分析 (1)结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω,φ,A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响 (2)会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 2023年全国甲卷（文数）：第12题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第10题，5分 函数y=Asin(ωx+φ)是三角函数的重要内容，也是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及由部分图象求函数的解析式是高考考察的主要方向，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，难度不高. 知识点1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法 作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法：由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 2．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 知识点2 由部分图象确定函数解析式的解题方法 1．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 知识点3 三角函数图象、性质的综合应用的解题策略 1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧 研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题. 2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略 函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可. 3．三角函数模型 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题. 【方法技巧与总结】 1．函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2．由y= sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 【题型1 三角函数的图象变换】 【例1】（2025·海南·模拟预测）先将函数的图象向右平移个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山东临沂·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·江苏南京·二模）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．. 【变式1-3】（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【题型2 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 【例2】（2025·湖北恩施·模拟预测）要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【变式2-1】（2025·山西临汾·三模）为了得到函数的图象，只要把正弦函数上所有点（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式2-2】（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 【变式2-3】（2025·浙江温州·二模）已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型3 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】 【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式3-1】（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 【变式3-2】（2025·四川自贡·三模）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递减 D．当时， 【变式3-3】（2025·天津红桥·一模）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确个数有（    ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 图象与性质的综合应用】 【例4】（2025·海南·模拟预测）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ） A．的最小正周期为2 B．的图象关于点对称 C．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象 D．与的图象关于轴对称 【变式4-1】（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上有且仅有一个零点 【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：    ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（2025·天津·模拟预测）已知．给出下列判断： ①若，且，则； ②若在恰有9个零点，则的取值范围为； ③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称； ④若在上是增函数，则的取值范围为． 其中，判断正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5 函数的零点（方程的根）问题】 【例5】（2025·陕西咸阳·模拟预测）将函数（）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数，将图象上所有的点向左平移个单位长度后得到的曲线关于轴对称，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B． C．在上有两个零点 D．在上有无数个零点 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）函数的图像关于点中心对称，将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 三角函数模型】 【例6】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（    ） A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． 【变式6-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【变式6-2】（2024·山西·模拟预测）某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 【变式6-3】（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（    ） A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒 【题型7 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 【例7】（2025·河北邢台·三模）已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围. 【变式7-3】（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若，，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在区间上没有零点，求的取值范围. 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·三模）将函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于轴对称，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．5 2．（2024·北京·模拟预测）将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（    ） A．将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位 B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位 C．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍 D．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍 3．（2025·广东佛山·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的值域为 D．在上单调递增 4．（2025·河南·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数的图象向左平移得到的图象，其中点A是图象上的最高点，分别是，的图象与x轴的相邻交点（如图所示），若，的面积为10，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 8．（2025·辽宁大连·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．为奇函数 C．在上单调递增 D．函数在上有6个零点 二、多选题 9．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（   ） A． B． C．直线是函数图象的一条对称轴 D．在的值域为 10．（2025·福建·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则（    ） A．的最小值为 B．在上单调递增 C．直线是的图象的对称轴 D．的图象可由的图象向左平移个单位得到 11．（2025·山东泰安·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列结论正确的为（    ） A．函数为偶函数 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．若，则的值域为 D．是函数的一个单调递减区间 三、填空题 12．（2025·上海·三模）如图是函数的图象，则的值为 . 13．（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 . 14．（24-25高三下·上海静安·期中）设某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数近似满足．根据某一天的测量，港口水的深度在早上3点达到最大值18米，之后持续减少，并在上午9点达到最小值14米．则该港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数的近似表达式为 ． 四、解答题 15．（2025·云南昆明·模拟预测）小明同学用“五点法”作函数在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据如下表： 0 0 0 2 (1)求的解析式，并说明函数的图象由的图象经过怎样的变换得到？ (2)解不等式. 16．（2025·全国·二模）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值. 17．（2024·山西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及其对称轴方程； (2)由函数的图象经过怎样的平移变换能得到函数的图象？当时，求的值域. 18．（2024·海南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，点， (1)求的解析式； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值. 19．（2025·北京石景山·一模）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 三角函数的图象变换】 2 【题型2 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 4 【题型3 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】 7 【题型4 图象与性质的综合应用】 11 【题型5 函数的零点（方程的根）问题】 16 【题型6 三角函数模型】 18 【题型7 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 22 1、函数y=Asin(ωx+φ) 考点要求 真题统计 考情分析 (1)结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω,φ,A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响 (2)会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 2023年全国甲卷（文数）：第12题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第10题，5分 函数y=Asin(ωx+φ)是三角函数的重要内容，也是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及由部分图象求函数的解析式是高考考察的主要方向，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，难度不高. 知识点1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法 作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法：由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 2．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 知识点2 由部分图象确定函数解析式的解题方法 1．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 知识点3 三角函数图象、性质的综合应用的解题策略 1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧 研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题. 2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略 函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可. 3．三角函数模型 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题. 【方法技巧与总结】 1．函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2．由y= sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 【题型1 三角函数的图象变换】 【例1】（2025·海南·模拟预测）先将函数的图象向右平移个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的最小正周期，结合三角函数图象变换可求得函数的解析式. 【解答过程】函数的最小正周期为， 将函数的图象向右平移个最小正周期，可得到函数的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 故. 故选：A. 【变式1-1】（2025·山东临沂·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意写出的表达式，进一步列出关于的式子即可求解. 【解答过程】由题意是偶函数， 从而，解得. 故选：B. 【变式1-2】（2025·江苏南京·二模）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．. 【答案】B 【解题思路】求出把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数. 【解答过程】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用伸缩变换和平移变换即可求得. 【解答过程】函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到. 故选：D. 【题型2 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 【例2】（2025·湖北恩施·模拟预测）要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【解题思路】先利用诱导公式将化成，再利用平移变换即得结果. 【解答过程】因为， 由向左平移，即得. 故选：D. 【变式2-1】（2025·山西临汾·三模）为了得到函数的图象，只要把正弦函数上所有点（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【解题思路】利用函数图像的平移变换即可求解. 【解答过程】因为，所以将函数的图像向左平移个单位长度得， 故选：D. 【变式2-2】（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 【答案】A 【解题思路】由图象，根据正弦函数的图象与性质求得，结合三角函数图象的平移伸缩变换即可求解. 【解答过程】由图可知，，得， 又，由解得； 将点代入，得， 在函数单调减区间上，则，， 解得，又，所以，. 得. 将的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度， 得的图象. 故选：A. 【变式2-3】（2025·浙江温州·二模）已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】分析可知，若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，可判断AB选项；利用三角函数图象变换可判断CD选项. 【解答过程】若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等， 对于A选项，， 所以，函数的振幅为，函数的振幅为， 所以，这两个函数的振幅不相等，故与的图象不能通过平移重合，A错； 对于B选项，， ， 函数的振幅为，函数的振幅为， 所以，与的图象不能通过平移重合，B错； 对于C选项，因为，， 将函数的图象向左平移个单位长度可与函数的图象重合，C对； 对于D选项，， 函数与的图象不能通过平移重合，D错. 故选：C. 【题型3 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】 【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数图象得出周期进而得出，再根据点在图象上计算求出，最后结合特殊值求解. 【解答过程】由题图可知，，所以， 又因为，所以． 又因为，所以， 所以，又，令，可得， 所以，故． 故选：B． 【变式3-1】（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【解题思路】利用图像求出函数的解析式，对于A代入解析式即可判断，对于B利用诱导公式即可判断，对于C利用，得，即可求得的值域，进而即可判断，对于D利用图象的变换即可判断. 【解答过程】由图可知，所以， 且，所以， 又因为，所以只能，所以， 对于A， ，故A错误； 对于B．，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，若把图象上所有点右平移个单位，则所得函数是，故D错误． 故选：B. 【变式3-2】（2025·四川自贡·三模）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递减 D．当时， 【答案】D 【解题思路】根据函数图象，求出函数的解析式，代入检验法可判断；根据正弦函数的单调性可判断，根据三角函数的值域可判断. 【解答过程】由图知，， 所以，解得， 过点，所以， 即，又，所以， 所以， 对于：， 所以函数的图象关于点对称，故错误； 对于：， 所以函数的图象关于直线对称，故错误； 对于：， ， 所以， 取，得， 函数在上单调递减，故错误； 对于：，所以，所以， 所以，所以，故正确. 故选：. 【变式3-3】（2025·天津红桥·一模）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确个数有（    ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】先根据函数的图象确定函数的解析式，在逐项判断即可. 【解答过程】由函数的图象可知：，. 因为 ，又，所以. 因为 ， 所以，.所以，. 由图象可知： ，即 . 所以当时，. 所以. 对①：因为，所以的图象不关于对称，①错误； 对②：因为，所以的图象关于直线对称，②正确； 对③：当时，，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，③正确； 对④：当时，，所以，所以，④正确. 故选：C. 【题型4 图象与性质的综合应用】 【例4】（2025·海南·模拟预测）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ） A．的最小正周期为2 B．的图象关于点对称 C．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象 D．与的图象关于轴对称 【答案】D 【解题思路】根据相邻对称轴之间的距离求出周期后可判断A的正误，利用代入检验法可判断B的正误，利用平移变换的规律求出平移后图象对应的解析可判断C的正误，利用坐标变换可判断D的正误， 【解答过程】对于A，因为相邻对称轴之间的距离为，故的最小正周期为， 故A错误； 对于B，由A可得，故， 而，故的图象不关于点对称， 故B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位长度后， 所得图象对应的解析式为， 故的图象左平移个单位长度得不到的图象，故C错误； 对于D，， 而， 所以与的图象关于轴对称，故D正确； 故选：D. 【变式4-1】（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上有且仅有一个零点 【答案】D 【解题思路】根据题意，求得，结合正弦型函数的图象与性质，逐项分析求解，即可得到答案. 【解答过程】由是函数图象的一个对称轴， 可得，可得，即， 因为，所以，所以， 对于A中，由， 所以是函数图象的一个对称中心，所以A正确； 对于B中，将函数图象向左平移个单位长度得到，所以B正确； 对于C中，由，可得， 因为函数在上单调递减，所以在区间上递减，所以C正确； 对于D中，，可得， 当时，即时，可得，即是的一个零点； 当时，即时，可得，即是的一个零点， 所以函数在上有两个零点，所以D错误. 故选：D. 【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：    ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断即可． 【解答过程】由图可知，，即，则， 此时，又， 则，，即，， 又，所以，则. 对于①，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故①正确； 对于②，的图象向左平移得到，故②正确； 对于③，令，解得， 所以的对称轴为，故③错误； 对于④，当时，，则， 则，则在区间上的最小值为，故④正确. 故选：C. 【变式4-3】（2025·天津·模拟预测）已知．给出下列判断： ①若，且，则； ②若在恰有9个零点，则的取值范围为； ③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称； ④若在上是增函数，则的取值范围为． 其中，判断正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】首先对函数进行化简，然后分别针对每个判断，利用三角函数的周期、零点、对称轴以及单调性等性质和条件列出式子求解，判断正确性. 【解答过程】根据二倍角余弦公式，对进行化简可得： . 对于①： 已知，，且，则，为函数的周期. 根据正弦函数周期公式，由可得，解得，所以①错误. 对于②： 令，则（），解得（）. 若在恰有9个零点，令，则. 解第一个不等式： ，，，解得. 解第二个不等式： ，，，解得. 所以的取值范围是，②正确. 对于③： 的图象向右平移个单位长度后得到的图象. 若该图象关于轴对称，则（）， ，（）。 当时，，不存在满足条件，所以③错误。 对于④： 令（），解关于的不等式得： （）. 若在上是增函数，则 解第一个不等式得：，，； 解第二个不等式得：，，，又， 所以的取值范围是，④错误. 综上，只有②正确，正确的个数是1个，答案是A. 故选：A. 【题型5 函数的零点（方程的根）问题】 【例5】（2025·陕西咸阳·模拟预测）将函数（）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】现根据三角函数变换法则求得，结合正弦函数的性质列不等式求解即可. 【解答过程】由题知，. 当时， ， 因为在上恰有2个零点，所以，解得. 故选：C. 【变式5-1】（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数，将图象上所有的点向左平移个单位长度后得到的曲线关于轴对称，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B． C．在上有两个零点 D．在上有无数个零点 【答案】C 【解题思路】通过平移后的对称性确定，进而得到，再结合选项逐个判断即可. 【解答过程】向左平移个单位长度可得：， 因为得到的曲线关于轴对称， 所以，，又， 所以取，可得，B错， 所以， 对于A：因为， 所以的图象关于对称，所以在上不单调，A错误； 对于C，由得函数的零点为， 令，解得， 所以，即在上有两个零点，C正确；D错误， 故选：C. 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）函数的图像关于点中心对称，将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换 【解答过程】函数的图像关于点中心对称，，∴, 又，则． 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像, 令，得∴函数在区间内的零点有，共4个. 故选：D． 【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用三角函数图象的变换得出，再根据二次函数的性质得出在上有3个零点，法一、利用整体思想及正弦函数的性质得其零点为，根据定义域取值计算即可；法二、利用整体思想得，解不等式即可. 【解答过程】将函数的图像向左平移个单位长度， 得到函数，再将函数的横坐标变为原来的倍， 纵坐标不变，得到函数， 所以，因为当时，有2个零点， 所以要使在上有5个零点，则需在上有3个零点. 法一：令，则， 解得，当时，分别对应3个零点， 则，解得.故选A. 法二：因为，所以， 所以，则. 故选:A. 【题型6 三角函数模型】 【例6】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（    ） A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． 【答案】A 【解题思路】以轴心为坐标原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意，求得函数，令时，即可求解. 【解答过程】设座舱距离地面的最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 设函数表示游客离底面的高度， 因为摩天轮的最高点距离地面为，直径为，且转一周大约需要， 周期，，所以， 即， 当时，游客在点，其中以为终边的角为， 所以， 当时，可得 所以，摩天轮的座舱后距离地面高度约为. 故选：A. 【变式6-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【解题思路】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度. 【解答过程】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以 . 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D. 【变式6-2】（2024·山西·模拟预测）某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 【答案】C 【解题思路】根据正弦函数周期求判断A，根据特殊点求解判断B，根据正弦函数的单调性判断C，根据正弦函数值域判断D. 【解答过程】由已知函数图象得，函数的周期，所以，故A错误； 令，所以，又，所以， 因为，所以或. 又，所以，所以.故B错误； 由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，， 且在内单调递减，因为， 所以在上单调递减，故C正确； 由图象得该质点在内的路程为，故D错误. 故选：C. 【变式6-3】（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（    ） A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒 【答案】D 【解题思路】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案. 【解答过程】假设所在直线垂直于水面，且米，如下示意图， 由已知可得， 所以，处在劣弧时高度不低于米， 转动的角速度为/每秒， 所以水筒P距离水面的高度不低于的时间为秒， 故选：D. 【题型7 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 【例7】（2025·河北邢台·三模）已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据题意先求，再利用三角恒等变换化简，最后由图像的变换得即可求解. 【解答过程】因为函数的图象过点，所以， 所以， 将其图象向右平移个单位长度得到的图象， 令，，解得，. 故选：B. 【变式7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意，利用辅助角公式得，其中.根据题设知，为图象的一条对称轴，结合可求得，，，再根据关于轴对称，得到，，从而求得的最小值. 【解答过程】由题意，知，其中. 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以为图象的一条对称轴，所以，. 又，所以，，解得，，， 所以.将的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象. 由的图象关于轴对称，得，， 所以，， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式7-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，对称中心的坐标为 (2) 【解题思路】（1）通过三角恒等变换化简，进一步由周期公式以及整体代入法可得对称中心； （2）通过化简得到，分离参数可得，进一步由换元法即可求解. 【解答过程】（1） ，                         则的最小正周期为：，                                         ，， 所以的对称中心的坐标为：； （2）由题意可知，将函数的图像向右平移个单位得到，                            再向下平移1个单位得到，                                   再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到                                    即， ， ，                                     可得 ，                                  令， 在上单调递减， 所以，                                         在上有解，需， ， 的取值为. 【变式7-3】（2024·山西·模拟预测）已知函数. (1)若，，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在区间上没有零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，进一步由题意得、，结合两角和的余弦公式即可求解； （2）首先根据函数平移伸缩变换法则求得的表达式，根据题意列出不等式组即可求解. 【解答过程】（1）由题意知 ， 因为， 所以，令，则，， 因为，所以， 由，得，所以， 所以 . （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 得到函数. 令，得，解得， 又在区间上没有零点，所以， 解得，，又， 所以当时，；当时，， 即的取值范围是. 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·三模）将函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于轴对称，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】B 【解题思路】利用三角函数平移规律得到函数，由函数图象关于轴对称，推出函数为偶函数，求得，结合选项即得. 【解答过程】函数的图象向左平移个单位得到的函数为：， 依题意，函数是偶函数，故 ， 解得，又，结合选项，可得可以取1． 故选：B. 2．（2024·北京·模拟预测）将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（    ） A．将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位 B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位 C．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍 D．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍 【答案】C 【解题思路】根据三角函数的图象变换进行选择. 【解答过程】由的图象变换为的图象，有以下两种思路： （1）先将的图象向右平移个单位，得的图象， 再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得的图象，故C正确，D错误； （2）先将的图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得的图象，再把所得函数图象向右平移个单位， 得 的图象，故AB错误. 故选：C. 3．（2025·广东佛山·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的值域为 D．在上单调递增 【答案】C 【解题思路】首先根据平移规律求函数的解析式，根据奇函数的性质，判断A，利用代入法，判断BCD. 【解答过程】由题意知不是奇函数，故A错误． 不关于直线对称，故B错误． 由，得，则，故C正确． 当时，，而在上不单调， 所以在上不单调，故D错误． 故选：C. 4．（2025·河南·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦函数的单调性来确定参数的取值范围. 【解答过程】，则． 由，得． 因为在上单调，所以，得． 故选：A. 5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将点代入葫芦曲线的方程可得，再代入即可得解. 【解答过程】将点代入葫芦曲线的方程可得，即， 由，，可得，因此曲线方程为， 当时，可得， 所以交点的纵坐标为. 故选：C. 6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数的图象向左平移得到的图象，其中点A是图象上的最高点，分别是，的图象与x轴的相邻交点（如图所示），若，的面积为10，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设图象向左平移最小个单位，得到，再结合三角形的面积及，列出等式求解即可. 【解答过程】函数的图象向左平移最小个单位得到， 则， 又， 所以，即， 所以， 三角形的面积， 即， 又函数的周期为， 所以，联立， 解得：， 所以， 故选：A. 7．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】C 【解题思路】利用函数的图象过点，代入解析式中即可求得的值，判断A选项；根据的值可写出函数的解析式，再写出对称中心即可判断B选项；通过图象平移得到的解析式，进而可求得对称轴，判断C选项；利用的解析式写出的解析式，可判断单调性. 【解答过程】对于A选项，由图可知，函数的图象过点， ，， ，解得， ，，故A正确； 对于B选项，，令，则， 的图象关于 对称， 当时，函数关于对称，故B正确； 对于C选项，将向左平移个单位长度，得到， 则的对称轴为，故C错误； 对于D选项，函数， 当时，， 函数在上单调递减，故D正确. 故选：C. 8．（2025·辽宁大连·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．为奇函数 C．在上单调递增 D．函数在上有6个零点 【答案】C 【解题思路】首先根据题意先求出图象变换后的函数解析式，然后根据正弦函数余弦函数的性质对选项逐一判断. 【解答过程】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到： . 根据正弦函数的性质可知，最小正周期，所以A错误. ，则为偶函数，所以B错误. ， 当时，，此时函数单调递增，所以C正确. ，令，则 ，化简得：. 所以或. 解得或. 时，或；时，或；时，. 所以在上有5个零点，所以D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（   ） A． B． C．直线是函数图象的一条对称轴 D．在的值域为 【答案】ACD 【解题思路】根据函数图象可确定的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判断A，B；将代入验证，可判断C；利用正弦函数的值域可判断D. 【解答过程】由图象知 ， 解得 ，A正确； 将代入中得，则 ， 因为 ，B错误； 将代入中得，直线是函数图象的一条对称轴，C正确； 因为，所以， 即，D正确， 故选：ACD. 10．（2025·福建·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则（    ） A．的最小值为 B．在上单调递增 C．直线是的图象的对称轴 D．的图象可由的图象向左平移个单位得到 【答案】ABD 【解题思路】利用正弦型函数的基本性质可求出函数的解析式，利用正弦型函数的最值可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【解答过程】因为，最小正周期为，所以， 即. 对于A，由于，所以的最小值为，A正确； 对于B，当时，， 所以在上单调递增，B正确； 对于C，因为时，，所以C不正确； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：ABD. 11．（2025·山东泰安·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列结论正确的为（    ） A．函数为偶函数 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．若，则的值域为 D．是函数的一个单调递减区间 【答案】BC 【解题思路】首先根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可. 【解答过程】因为函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，所以. 对于A：， 因为，所以函数为奇函数，故A不正确； 对于B: ， 所以当时，函数有最小值，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B正确； 对于C: ，由，则，， 所以，故C正确； 故于D：当时，， 因为函数在上单调递增，所以在上也单调递增， 所以是函数的一个单调递增区间，故D不正确. 故选：BC. 三、填空题 12．（2025·上海·三模）如图是函数的图象，则的值为 . 【答案】2 【解题思路】由函数的图象可求得最小正周期为，进而可求得. 【解答过程】因为的图象过点，所以，所以， 所以，解得. 故答案为：. 13．（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 . 【答案】 【解题思路】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案. 【解答过程】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得， 即 故答案为：. 14．（24-25高三下·上海静安·期中）设某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数近似满足．根据某一天的测量，港口水的深度在早上3点达到最大值18米，之后持续减少，并在上午9点达到最小值14米．则该港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数的近似表达式为 ． 【答案】 【解题思路】根据函数的最值求出和周期，进而可求出，再利用待定系数法求出即可. 【解答过程】由题意可知，解得， ，所以，所以， 所以， 又当时，函数取得最大值， 所以，所以，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025·云南昆明·模拟预测）小明同学用“五点法”作函数在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据如下表： 0 0 0 2 (1)求的解析式，并说明函数的图象由的图象经过怎样的变换得到？ (2)解不等式. 【答案】(1)，答案见解析 (2). 【解题思路】（1）由五点作图，构造等式，，求解即可，结合伸缩平移变换即可求解； （2）由余弦函数的单调性得到，即可求解. 【解答过程】（1）由表格知，解得， 所以. 先把函数的图象向左平移个单位，得到的图象； 然后使曲线上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 得到函数的图象. （2）由（1）可得， 解得， 所以， 解得， 所以不等式的解集为. 16．（2025·全国·二模）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值. 【答案】(1)，； (2)2 【解题思路】（1）将代入解析式，求出，并求出，数形结合得到不等式，求出的取值范围； （2）在（1）基础上，得到，求出平移后的解析式，得到，结合求出最大值. 【解答过程】（1）将代入解析式得， 又，故，又，当时，， 因为在区间上恰有一个极大值和一个极小值， 故，解得； （2）是整数，又，故，所以， 的图象向右平移个单位长度得到， 所以， ， 又，故当，即时， 取得最大值，最大值为. 17．（2024·山西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及其对称轴方程； (2)由函数的图象经过怎样的平移变换能得到函数的图象？当时，求的值域. 【答案】(1)，对称轴方程为 (2)将函数的图象向左平移个单位， 【解题思路】（1）结合图象，由的最大值与周期求得，再代入特殊点求得，从而求得的解析式，进而求得其对称轴方程； （2）利用三角函数图象的平移规则解决第一问，再利用整体法，结合正弦函数的性质，求得的值域，从而得解. 【解答过程】（1）由图象与知，，设的最小正周期为， 则，又，则，解得， 则，又的图象经过点，故得， 则，故，又，得， 所以，故其对称轴方程为. （2）将函数的图象向左平移个单位 可得的图象， 当时，， 所以，即的值域为. 18．（2024·海南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，点， (1)求的解析式； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为1 【解题思路】（1）由图象可得，代入求出，由，结合图象可得，求出，求出函数解析式； （2）根据伸缩和平移变换得到，整体法求出函数在上的最值. 【解答过程】（1）由图象知. 因为的图象过点，所以， 又，所以，所以. 又的图象过点，由“五点作图法”可得， 所以.所以. （2）由题意知， 当时，， 所以， 则， 所以在区间上的最小值为，最大值为1. 19．（2025·北京石景山·一模）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【解题思路】（1）分析易得要使函数唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； 【解答过程】（1）①，由，得； ②，由是的对称中心，得， 则，； ③，由， 因为可以由函数平移得到， 则，. 由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③. 选①③，由上述可知，，，， 则，即， 所以或，， 则或，， 又，则，即. 选②③，由上述可知，，，，， 则，，即，， 又，则，即. （2）由，得， 则，则， 所以函数在上的最大值为2，最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$