第四章 7 第六节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象、性质及三角函数模型应用，按“概念-作图-变换-解析式-综合应用”逻辑架构梳理考点，通过考点梳理（表格化呈现简谐运动要素、五点法步骤）、方法指导（图象变换规则）、真题训练（全国卷真题解析）等环节，帮助学生构建知识网络，突破参数确定、图象变换等难点。 讲义采用“问题链驱动+分层训练”模式，如考点二通过五点法逆用结合2023年新课标Ⅱ卷真题案例，培养学生数学思维（逻辑推理）与数学眼光（几何直观）。设置基础自主检测、中档对点练、高考真题再现三级练习，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第六节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用 【课程标准】　1.结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+φ)的图象，观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.　2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 1.简谐运动的有关概念 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T= f== ωx+φ φ 2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － －+ ωx+φ 0 π 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 [微提醒]　(1)两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度. (2)变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看“角ωx+φ”的变化. 【常用结论】 (1)函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. (2)函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴由ωx+φ=kπ+，k∈Z确定；对称中心由ωx+φ=kπ，k∈Z确定其横坐标. 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A B．函数f(x)=sin 2x向右平移个单位长度后对应的函数g(x)=sin 学生用书⬇第103页 C．把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数解析式为y=sinx D．如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为 答案：ABC 2.函数y=2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2， B．2， C．2， D．2，，－ 答案：A 解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数y=2sin的振幅为2，频率为，初相为.故选A． 3.为了得到函数y=3sin的图象，只需把函数y=3sin的图象上所有的点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 答案：B 解析：将函数y=3sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得函数y=3sin的图象.故选B． 4.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则ω=　　　　.  答案：4 解析：由题图可知=π－=，所以周期T=，所以=，即ω=4. 5.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f=2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是　　　　m.  答案：1 解析：当t=12时，f=2sin=2sin=1，即12点时潮水的高度是1 m. 考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换师生共研 已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x+a，其最大值为2. (1)求a的值及f(x)的最小正周期； (2)画出f(x)在[0，π]上的图象. 解：(1)因为f(x)=sin 2x+2cos2x+a =sin 2x+cos 2x+1+a =2sin+1+a的最大值为2， 所以2+1+a=2，a=－1， f(x)的最小正周期为T==π. (2)由(1)知f(x)=2sin，列表： x 0 π 2x+ π 2π f(x)= 2sin 1 2 0 －2 0 1 描点，连线得f(x)在[0，π]上的图象如图所示. [变式探究] 1.(变问法)在本例条件下，将函数y=2cos 2x的图象向右平移　　　　个单位长度后得到y=f(x)的图象.  答案： 解析：将函数y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=2sin 2x的图象，再将y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=2sin的图象，综上可得，函数y=2sin的图象可以由函数y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到. 2.(变条件、变设问)在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，且y=g(x)是偶函数，求m的最小值. 解：由已知得y=g(x)=f=2sin =2sin是偶函数，所以2m－=+kπ，k∈Z， 解得m=+，k∈Z， 又因为m>0，所以m的最小值为. 学生用书⬇第104页 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法 五点法 设z=ωx+φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点连线后得出图象 图象变 换法 由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 注意：平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值. 对点练1.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：因为y=cos向左平移个单位长度所得函数为y=cos=cos=－sin 2x，所以f(x)=－sin 2x，而y=x－显然过与(1，0)两点， 作出f(x)与y=x－的部分大致图象如图， 考虑2x=－，2x=，2x=，即x=－，x=，x=处f(x)与y=x－的大小关系，当x=－时，f=－sin=－1，y=×=－<－1；当x=时，f=－sin =1，y=×=<1；当x=时，f=－sin=1，y=×=>1；所以由图可知，f(x)与y=x－的交点个数为3.故选C． 考点二　由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式师生共研 (1)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f=　　　　.  (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　　　　.  答案：(1)－　(2)－ 解析：(1)由题意可得，T==，所以T=π，ω==2，当x=时，ωx+φ=2×+φ=2kπ，k∈Z，所以φ=2kπ－π.令k=1可得φ=－，据此有f(x)=2cos，f=2cos=2cos=－. (2)设A，B，由|AB|=可得x2－x1=，由sin x=可知，x=+2kπ或x=+2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2+φ－(ωx1+φ)=π－=，即ω(x2－x1)=，所以ω=4.因为f=sin=0，所以+φ=kπ，即φ=－+kπ，k∈Z，所以f(x)=sin=sin，所以f(x)=sin或f(x)=－sin，又因为f(0)<0，所以f(x)=sin，所以f(π)=sin=－. 确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)的步骤和方法 1.求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A=，b=. 2.求ω.确定函数的最小正周期T，则ω=. 3.求φ常用的方法： (1)代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y=b的交点的坐标求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). (2)特殊点法：确定φ值，往往以寻找“最值点”为突破口. “最大值点”(即图象的“峰点”)：ωx+φ=+2kπ；“最小值点”(即图象的“谷点”)：ωx+φ=+2kπ. 对点练2.(1)(2024·江西九江模拟)设函数f(x)=cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)=cos B．f(x)=cos C．f(x)=cos D．f(x)=cos (2)(2024·河南新乡模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则f=(　　) A．0 B．2 C．1－ D．－1 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由图象知π<T<2π，即π<<2π，所以1<|ω|<2.因为图象过点，且此点在上升区间上，所以cos=0，所以－ω+=2kπ－，k∈Z，所以ω=－k+，k∈Z.因为1<|ω|<2，故k=0，ω=，所以f(x)=cos.故选B． (2)由题图可知A==2，b==1，所以f(x)=2sin(ωx+φ)+1.因为T===π，解得ω=2，将代入f(x)=2sin(2x+φ)+1得0=2sin+1，结合|φ|<及函数图象，解得φ=，所以f(x)=2sin+1，故f=2sin+1=1－.故选C． 学生用书⬇第105页 考点三　三角函数图象、性质的综合应用多维探究 角度1　图象与性质的综合应用 (1)(2022·天津卷)关于函数f(x)=sin 2x，给出下列结论： ①f(x)的最小正周期是2π； ②f(x)在区间上单调递增； ③当x∈ 时，f(x) 的取值范围为； ④f(x) 的图象可以由函数g(x)=sin的图象向左平移个单位长度得到. 其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(多选)已知函数f(x)=cos 2xcos φ－sin 2xsin φ(0<φ<)的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是(　　) A．直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴 B．函数f(x)在上单调递减 C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得到y=cos 2x的图象 D．函数f(x)在上的最小值为－1 答案：(1)A　(2)ABD 解析：(1)①f(x)的最小正周期为T==π，故①错误；②法一：当－+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，即x∈，k∈Z时，f(x)单调递增，又因为⊆，k∈Z，故f(x)在区间上单调递增，故②正确；法二：当x∈时，设t=2x∈，y=sin t在上单调递增，故②正确；③当x∈时，2x∈，f(x)∈，故③错误；④f(x)的图象可由函数g(x)=sin=sin 2的图象向右平移个单位长度得到，故④错误.故选A． (2)因为f(x)=cos 2xcos φ－sin 2xsin φ=cos(2x+φ)的图象的一个对称中心为，所以2×+φ=+kπ，k∈Z，所以φ=+kπ，k∈Z.因为0<φ<，所以φ=.则f(x)=cos.因为f=cos=cos π=－1，所以直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴，故A正确；当x∈时，2x+∈，所以函数f(x)在上单调递减，故B正确；函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到y=cos=cos的图象，故C错误；当x∈时，2x+∈，所以函数f(x)在上的最小值为cos π=－1.故D正确.故选ABD． 解决三角函数图象与性质的综合问题的关键 首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性). 角度2　函数零点(方程根)问题 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x+m－1=0在上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是　　　　.  答案：(－2，－1) 解析：方程2sin2x－sin 2x+m－1=0可转化为m=1－2sin2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin，x∈.设2x+=t，则t∈，所以题目条件可转化为=sin t，t∈有两个不同的实数根.即为y=和y=sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图所示， 观察图象知，的取值范围是， 故实数m的取值范围是(－2，－1). [变式探究] (变条件)本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则实数m的取值范围是　　　　.  答案：[－2，1) 解析：同例题知，的取值范围是， 所以－2≤m<1，所以实数m的取值范围是[－2，1). 巧用图象解决三角函数中的零点(方程根)问题 解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决. 角度3　三角函数的实际应用 (多选)(2024·河北石家庄模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图①)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图②).一半径为2米的筒车水轮如图③所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图③中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　) A．点P再次进入水中时用时30秒 B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D．点P第二次到达距水面米时用时25秒 答案：BCD 解析：由题意，角速度ω==(弧度/秒)，又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为，点P再次进入水中用时为=40(秒)，故A错误；当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×=(弧度)，而=，点P正好处于最低点，故B正确；建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H=Asin(ωt+φ)+B(A>0，ω>0)，由所以又角速度ω==(弧度/秒)，当t=0时，∠xOP0=，所以ω=，φ=－，所以点P距离水面的高度H=2sin+1，当水轮转动150秒时，将t=150代入，得H=2，所以此时点P距离水面2米，故C正确；将H=1+代入H=2sin+1中，得t－=2kπ+或t－=2kπ+，即t=60k+15或t=60k+25(k∈N).所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确.故选BCD． 学生用书⬇第106页 三角函数的实际应用类型及解题关键 1.已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系. 2.函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模. 对点练3.(1)(2024·陕西宝鸡模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．g为偶函数 B．g(x)的最小正周期是π C．g(x)的图象关于直线x=对称 D．g(x)在区间上单调递减 (2)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是　　　　米.  (3)已知函数f(x)=sin，若函数g(x)=f(x)－a(a∈R)在x∈上恰有三个零点x1，x2，x3(x1<x2<x3)，则x3－x1的值为　　　　.  答案：(1)B　(2)4　(3)π 解析：(1)由图知，A=2，f(0)=－1，则2sin φ=－1，即sin φ=－，因为－π<φ<－，所以φ=－.因为x=为f(x)的零点，则=kπ(k∈Z)，得ω=1+(k∈Z).由图知，<T=<2π，则1<ω<，所以k=1，ω=，从而f(x)=2sin.由题设g(x)=2sin=2sin，则g=2sin=2sin为非奇非偶函数，故A错误；g(x)的最小正周期T==π，故B正确；当x=时，2x－=≠+kπ，k∈Z，则g(x)的图象不关于直线x=对称，故C错误；当x∈时，2x－∈，则g(x)的图象不单调，故D错误.故选B． (2)以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，如图，连接O1P，设∠OO1P=θ，运动t秒后与地面的距离为f(t)，又周期T=12，所以θ=·2π=t，f(t)=3+2sin=3－2cost，当t=40时，f(t)=3－2cos=4(米). (3)因为当x∈时，2x+∈，且函数g(x)=f(x)－a(a∈R)在x∈上恰有三个零点x1，x2，x3(x1<x2<x3)，所以==，两式相减得x3－x1=π. [真题再现]　(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin，则下面结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 答案：D 解析：易知C1：y=cos x=sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin=sin的图象，即曲线C2.故选D． [教材呈现]　(湘教版必修一P197T3)不画图，直接写出下列简谐振动的振幅、周期与初相，并说明它们的图象可由正弦曲线经过怎样的变化而得到：(3)y=2sin. 点评：本题和教材习题考查角度相同，都属于三角函数图象的变换，解决此类问题的关键是熟练掌握其变换规则. 学科网（北京）股份有限公司 $