精品解析：黑龙江省牡丹江市第一高级中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

2023级高三学年上学期九月份月考 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算先计算，再由复数的概念即可求解. 【详解】由题意有， 所以的虚部是. 故选：A. 2. 已知，：“”，：“”，则是的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得或， 所以：“或”， 故由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以是的必要但不充分条件. 故选：B 3. 的展开式中的系数为15，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式定理展开式的通项，根据的系数即可求得. 【详解】由题，可得展开式的通项为， ，则，解得. 故选：B. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解. 【详解】由，，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为． 故选：C. 5. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】将根式表示为分数指数幂，得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】，所以， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 6. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设向量与向量的夹角为，根据投影向量的定义求出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】设向量与向量的夹角为，因为， 所以向量在向量上的投影向量为，则， 所以 . 故选：D. 7. 已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数，接着研究其奇偶性和单调性，进而再利用奇偶性和单调性将所求不等式转化成解不等式即可计算求解. 【详解】令， 则， 所以函数为奇函数， 因为， 所以恒成立，当且仅当时， 所以函数在上单调递增， 所以解不等式，等价于解不等式， 即解不等式，即， 所以. 故选：C 8. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为，连接，显然， 所以 . 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用辅助角公式化简，得到，再结合正弦型图象与性质，三角函数图象的平移变换逐项判断即可. 【详解】由，得， 对于：最小正周期为，所以正确； 对于：将函数的图象上所有点向右平移， 所得图象的函数解析式为， 而为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以错误； 对于：令，，化简得， 当时，，又因为， 所以函数在单调递减，所以正确； 对于选项：因为，所以， 所以，所以， 即得，也就是， 所以正确. 故选：． 10. 已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出为中点，为上靠近点的四等分点，对选项进行判断，得出答案. 【详解】 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以， 所以，即，所以 ，故B正确； 对于C选项，设， 由（1）得，所以， 又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误； 对于D，，设，则， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为中点，所以，故D正确， 故选：ABD. 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D. 【详解】对于A，因为，所以，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确； 对于C，若为锐角三角形，则，， 则，则，即， 由正弦定理可知：，故C错误； 对于D，若D为边上的中点，则， 所以 由余弦定理知，得， 又，所以， 当且仅当时取得等号， 所以， 即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知锐角满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式和同角的关系公式化简即得解. 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵为锐角，∴， ∴，即， ∴. 故答案为：. 13. 多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正八面体的结构特征确定球心位置，令正八面体的棱长为2，有外接球半径，再由等体积法求得内切球的半径，即可得. 【详解】由正八面体的结构特征易知，其外接球和内切球的球心重合，且为体对角线的交点， 令正八面体的棱长为2，外接球和内切球的半径分别为，则外接球半径， 各侧面积，构成正八面体的两个正四棱锥的高为， 所以正八面体的体积，可得， 所以外接球和内切球的表面积比为. 故答案为： 14. 已知函数在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数单调区间以及零点个数求出周期的范围，即可解得的取值范围. 【详解】不妨设函数的周期为， 因为在区间上单调，可得，解得； 又，可得且，解得； 又在区间上恰有5个零点，所以，解得 综上可得，所以， 解得，即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，角所对的边分别为已知. （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若且，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角； （2）由正弦定理可得，将转化为关于的三角函数，利用三角函数的性质求出取值范围. 【详解】解：（1） 由正弦定理，，即 由余弦定理，， 又 （2）因为且，由正弦定理得， ， 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于中档题. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线； （2）讨论的单调性； 【答案】（1） （2）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，进行求解函数的单调性. 【小问1详解】 当时，函数，则，切点坐标为， ，则曲线在点处的切线斜率为， 所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ，函数定义域为R， ， ①，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ③，恒成立，在上单调递增. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 17. 某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 58 60 63 64 件数（单位：件） 5 25 45 20 5 （1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； （2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件． （ⅰ）求抽取的零件为废品的概率； （ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率． 参考数据：若随机变量，则，， 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用正态分布曲线的对称性求解；（2）（ⅰ）利用全概率公式求解；（ⅱ）利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 由题意可知:， 则， 所以 【小问2详解】 （i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， 事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，，， 所以； （ii）因为， 所以， 所以． 18. 已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定. （1）求的值； （2）若不等式在区间内有解，求的取值范围. 条件①：； 条件②：的图象可由的图象平移得到； 条件③：在区间内无极值点，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）选条件②或③，； （2）. 【解析】 【分析】（1）选条件①，由的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可. （2）由（1）求出函数的解析式，再借助不等式有解列式求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 选条件①，由，得，即， 于是或，显然的值不唯一， 因此函数不唯一，不符合题意. 选条件②，的图象可由的图象平移得到， 因此的最小正周期为函数的最小正周期，而，则， 所以. 选条件③，在区间内无极值点，且， 则，即函数分别在时取得最大值､最小值， 于是的最小正周期， 由在区间内无极值点，得的最小正周期， 因此，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， 由不等式在区间内有解，即在区间内有解， 则有，解得， 所以的取值范围是. 19. 已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”． （1）判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由； （2）证明：函数在上为“伴和函数”； （3）若函数在上为“1伴和函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1） 不存在，理由如下： 若，则，整理得， 因为，该方程无实数解， 所以不存在实数，使得函数为“伴和函数”； （2） 若函数在上为“伴和函数”，则， 得，整理得， 设， 因为在内连续，且，则， 所以在内存在零点，所以在内存在零点， 即方程在内存在实根， 故在上为“伴和函数”． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义得到，利用判别式判断是否存在实根，即可得结论； （2）根据已知可得，令并应用零点存在定理判断零点的存在性，即可证结论； （3）根据题设有，令，问题化为有解，结合对勾函数性质求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若函数在上为“1伴和函数”，则， 即， 整理得， 令，则， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：根据函数新定义，应用方程法、零点存在性定理及函数在给定区间内有解求解证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三学年上学期九月份月考 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，：“”，：“”，则是的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 的展开式中的系数为15，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 6. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 若，则 10. 已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知锐角满足，则______. 13. 多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为______． 14. 已知函数在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，角所对的边分别为已知. （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若且，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线； （2）讨论的单调性； 17. 某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 58 60 63 64 件数（单位：件） 5 25 45 20 5 （1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； （2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件． （ⅰ）求抽取的零件为废品的概率； （ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率． 参考数据：若随机变量，则，， 18. 已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定. （1）求的值； （2）若不等式在区间内有解，求的取值范围. 条件①：； 条件②：的图象可由的图象平移得到； 条件③：在区间内无极值点，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”． （1）判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由； （2）证明：函数在上为“伴和函数”； （3）若函数在上为“1伴和函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $