精品解析：山东省淄博市周村第一中学（五四制）2025-2026学年上学期八年级9月月考数学试题

八年级数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列各式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列从左到右等式变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 将多项式因式分解，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 多项式因式分解时，应提取公因式为（ ） A. B. C. D. 7. 若实数x满足，则的值为（ ） A. B. C. 2024 D. 2025 8. 如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道： 形如式子称为完全平方式 小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小颖的思考，可以求得多项式的最大值，则该最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 13 9. 不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A. B. C. D. 10. 定义一个运算：，其中．若，则值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如果分式的值为0，那么的值为是_______． 12. 因式分解________． 13. 已知等腰的两条边长a，b满足，则等腰的周长为_______． 14. 已知，，则的值为_________． 15. 已知（且），，，，，则的值为_______________． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 因式分解： （1） （2） （3） 17. 因式分解： （1） （2） （3） 18. 计算： （1） （2） （3） 19. 计算： （1） （2） （3） 20. 先化简：÷（），再从﹣3＜x＜2的范围内选取一个你最喜欢的整数代入，求值． 21. 已知关于x的二次三项式有一个因式为，求另一个因式和m的值． 22. 【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 23. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列各式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式判断，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母．根据判断一个式子是分式的条件：①分子、分母是整式；②分母中含有字母，且分母不等于0，据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：分母中不含有字母，不是分式； 分母中不含有字母，不是分式； 符合分式的定义，是分式； 分母中不含有字母，不是分式；即属于分式的有1个， 故选：A． 2. 下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判定，理解定义是关键． 因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）． 【详解】解：A、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，等号右边是积的形式，符合定义，符合题意； C、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B ． 3. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义时，分母不等于零． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零． 4. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．根据最简分式的定义分别对每一项进行判断，即可得出答案． 详解】解：选项A、，不符合题意； 选项B、，不符合题意； 选项C、不能约分，符合题意； 选项D、，不符合题意， 故选：C． 5. 将多项式因式分解，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用十字相乘法分解因式即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 6. 多项式因式分解时，应提取的公因式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可找出公因式． 【详解】=（）因此多项式的公因式为 故选A 【点睛】本题主要考查公因式的确定．找公因式的要点是： （1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）字母取各项都含有的相同字母； （3）相同字母的指数取次数最低的． 7. 若实数x满足，则的值为（ ） A. B. C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由可得，，代入代数式，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道： 形如的式子称为完全平方式 小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小颖的思考，可以求得多项式的最大值，则该最大值为（ ） A. B. C. 5 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的应用，将化为，即可求解． 【详解】解： ， ∵ ∴，即的最大值为 故选：D． 9. 不改变分式值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即可求出答案． 【详解】解：原式＝． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，熟记性质内容是解此题的关键． 10. 定义一个运算：，其中．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义运算, 有理数的混合运算，根据所给新定义逐项列式计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如果分式的值为0，那么的值为是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式为条件，分式的分子为，分母不为是解题的关键． 根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案． 【详解】解：分式的值为0， ，且， ， 故答案为：2． 12. 因式分解________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 已知等腰的两条边长a，b满足，则等腰的周长为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，等腰三角形，利用完全平方公式进行化简，根据非负数的性质求出a、b，分类讨论a为腰和b为腰即可． 【详解】解：， ， ∵，， ， 解得． 当腰3时，由，不能构成三角形， 当腰是6时，由，能构成三角形， 故等腰周长为：． 故答案为：15． 14. 已知，，则的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】把因式分解后得到xy，再把，代入得到答案． 【详解】解： ＝ xy（） ＝xy 当，时， 原式＝ ＝ ＝9 故答案为：9 【点睛】本题考查了综合提公因式法和完全平方公式进行因式分解，解决本题的关键是熟记完全平方公式并整体代入求值． 15. 已知（且），，，，，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而得出答案． 【详解】∵， ∴； ； ； ； 可知三个数一个循环， ， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 因式分解： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式后再运用平方差公式进行分解即可； （2）原式两次运用平方差公式分解即可； （3）原式提取“”后运用完全平方公式进行分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 因式分解： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式分组后再运用平方差公式进行分解即可； （2）原式直接提取公因式分解即可； （3）原式去括号整理后运用完全平方公式进行分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式将除法转换为乘法后，约分可得结论； （2）原式通分后根据同分母分式加减法运算法则进行计算即可； （3）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后可得结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 19. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式根据同分母分式的减法运算法则进行计算即可； （2）原式直接通分，利用同分母分式的减法运算法则计算即可； （3）原式先计算括号内的分式加法运算，再把除法转换为乘法，约分后可得结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 20. 先化简：÷（），再从﹣3＜x＜2的范围内选取一个你最喜欢的整数代入，求值． 【答案】;取x=-2原式= 【解析】 【分析】首先将括号里面通分，进而将能因式分解的分子与分母因式分解，即可化简，再利用分式有意的条件得出即可. 【详解】解：原式= = = = ∵ ∴取x=-2 ∴原式= 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算． 21. 已知关于x的二次三项式有一个因式为，求另一个因式和m的值． 【答案】另一个因式为，m的值为 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的意义，设另一个因式是，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等求解即可． 【详解】解：设的另一个因式是， 则， 即， 那么，， 解得：，． 所以另一个因式为，m的值为． 22. 【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查分解因式的应用，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用十字相乘法因式分解得出，再将A还原即可； （2）设，则原式，再利用完全平方公式变形，将B还原即可； （3）先计算，同理（2）计算即可． 【小问1详解】 解：设， 原式， ． 【小问2详解】 解：设， 原式 ， ； 【小问3详解】 证明：原式 设， 原式， ． 为正整数， 为正整数． 代数的值一定是某个整数的平方． 23. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 【答案】（1）假分式 （2）或 （3）27 【解析】 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）化简，根据分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，得出，求出，代入中，得出，根据，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得：分式是假分式， 故答案为：假分式； 【小问2详解】 解：， ∵的值为整数，且为整数； 的值为或； ∴的值为或． 【小问3详解】 解： ， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为27． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $