精品解析：四川省成都市蒲江县2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

蒲江县2025～2026学年度上期高一年级第一学月调研考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T等于(　　) A. {0} B. {0,2} C. {-2,0} D. {-2,0,2} 3. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 若正实数x，y，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知a，，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，且，则的最小值为（ ）. A. . B. . C. . D. . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 集合的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，集合，则________. 13. 已知，且，则的最小值是__________. 14. 已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有___________个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知，. （1）若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 已知，． （1）若，求证：； （2）若，求的最小值； （3）若恒成立，求x的取值范围． 18. 已知集合及非空集合. （1）若，求的值； （2）是否存在实数，使得，若存在，求出与的值，若不存在，请说明理由. 19. 在三角形中，设a、b、c为其三边长，我们用∑表示循环求和，即：，，．我们尝试证明如下不等式：．在面对这种不等式时，为了剥离三角形三边长的关系对于不等式代数变形时的限制，我们常用的一种处理手段是“换元”.我们令，，，且x，y，z均为正实数，这样我们就剥离了三角形三边长的关系.有了上述操作手法，在面对涉及三角形三边长的不等式的问题时，我们便能够轻松化解. （1）计算当时，的值； （2）证明如下不等式：； （3）证明如下不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蒲江县2025～2026学年度上期高一年级第一学月调研考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定形式，即可得解 【详解】由特称命题的否定可知，命题的否定为“，”. 故选：C 2. 设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T等于(　　) A. {0} B. {0,2} C. {-2,0} D. {-2,0,2} 【答案】A 【解析】 【详解】集合运算问题需先对集合进行化简,明确集合中所含具体元素,因S={0,-2},T={0,2},所以S∩T={0}.故选A. 3. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】判断出、的真假，即可得出结论. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 4. 若正实数x，y，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助“1”的代换，利用基本不等式求最值可得. 【详解】若正实数x，y，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 5. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A、B，利用特殊值判断C，利用作差法判断D； 【详解】解：因为，所以，所以，故A错误，B正确； 令、，则，故C错误； 因为，所以，所以， 所以，故D错误； 故选：B 6. 设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】结合“好子集”的定义，分三种情况即可. 【详解】当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为,,,； 当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为,,； 当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述，的所有“好子集”的个数为8. 故选：B 7. 已知a，，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 由绝对值不等式的基本性质，集合充分必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由题意，a，，， 可得且，所以充分性是成立的； 反之，可得，即，所以必要性是成立的， 综上可得：a，，是成立的充要条件． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的基本性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，其中解答中熟练应用绝对值不等式的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 8. 已知，且，则的最小值为（ ）. A. . B. . C. . D. . 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用均值不等式消掉分母上的，然后利用齐次化（同时除以）最后换元求解即可. 【详解】， 设，，可以取等. 当且仅当（舍）或. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 集合的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合韦恩图表示，根据子集，交集，补集定义以及集合间的包含关系即可逐一判断. 【详解】由韦恩图知，是的子集，故A正确； 不是的子集，故B错误； 是的子集，故C正确； 因，故,显然，故D正确. 故选：ACD. 10. 若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，当且仅当时，等号成立，所以，则，所以，故A正确； 因为，当且仅当时，等号成立，所以，因为，所以，所以，故B正确； 由选项B可知，，故C错误； 因为，当且仅当时，等号成立，故D错误； 故选：AB 11. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】参数分离结合不等式的性质判断A；举反例判断B；由换元法结合基本不等式判断C；由，并运用两次基本不等式判断D. 【详解】对于选项A，由，，得，解得，A正确. 对于选项B，取，满足，此时，B不正确. 对于选项C，由，得，取，， 则，由，得，则，则， 当且仅当，时，等号成立，从而，C正确. 对于选项D，由，得， 则. 因为 ，当且仅当， 即时，等号成立， 所以的最小值为1，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，集合，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据集合的相等含义，易得，又由推得，即可代入求值. 【详解】由题意知，所以，则，又，所以，. 故. 故答案为：2. 13. 已知，且，则的最小值是__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值是. 故答案为：. 14. 已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有___________个. 【答案】1008 【解析】 【分析】根据题中条件先用表示出，得到，再由，求出范围，即可得出结果. 【详解】因为，且，所以， 即，整理得，所以， 故或（舍去），则，， 令，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1008. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据和，用表示出，再由集合满足的条件，求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得. （2）分类讨论和两种情况，分别求出对应的的取值范围即可； 【小问1详解】 当时，又， 所以，； 【小问2详解】 当时，由，解得，满足，符合题意； 当时，可得或，解得或． 综上，实数的取值范围是或． 16. 已知，. （1）若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解不等式，再根据，的真假，分类讨论，即可求得答案； （2）根据是的充分不必要条件，列出相应不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 由，得； 当时，由，得. 若，有且只有一个为真命题，则真假，或假真， 当真假时，或，得； 当假真时，或，解得， 综上，实数的取值范围为或. 【小问2详解】 由，得. 因为是的充分不必要条件，则，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 已知，． （1）若，求证：； （2）若，求的最小值； （3）若恒成立，求x的取值范围． 【答案】（1）证明:由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等式条件，对代数式进行换元，再根据基本不等式中的配凑法，证明不等式成立即可. （2）根据参数的范围，构造等式，再根据基本不等式中“1”的运用，求出最小值即可. （3）根据参数的范围，解出关于x的不等式，根据基本不等式，求出代数式的最小值，求出结果. 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为． 【小问3详解】 因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以，则. 故的取值范围为． 18. 已知集合及非空集合. （1）若，求的值； （2）是否存在实数，使得，若存在，求出与的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先根据C为非空集合得出，再应用判别式及根满足等式得出参数； （2）根据，得出且，再分和两种情况分别列式计算求解. 【小问1详解】 ，且C为非空集合， ， 即，则只有一个根为， 解得，； 【小问2详解】 由题意得， 由于， 且， ①当时，， 只需要满足集合C非空且即可， 则满足且当或时，， 即且； ②当时，， 若，则， 此时只需要满足集合C只有一个根为1或一个根为1，另一个根不为， 将代入得， 即满足题意； 若，则， 此时只需要满足集合C只有一个根为或一个根为，另一个根不为1， 将代入得， 令，解得或， 即满足题意； 综上：当，时满足题意；当时满足题意；当，时满足题意. 19. 在三角形中，设a、b、c为其三边长，我们用∑表示循环求和，即：，，．我们尝试证明如下不等式：．在面对这种不等式时，为了剥离三角形三边长的关系对于不等式代数变形时的限制，我们常用的一种处理手段是“换元”.我们令，，，且x，y，z均为正实数，这样我们就剥离了三角形三边长的关系.有了上述操作手法，在面对涉及三角形三边长的不等式的问题时，我们便能够轻松化解. （1）计算当时，的值； （2）证明如下不等式：； （3）证明如下不等式：． 【答案】（1） （2）证明：设，，， 则. 因为x，y，z均为正实数，所以，，， 当且仅当时取 “”. 所以. 即（当且仅当时取“”）. （3）证明：设，，， 则，，. 则转化成： . 因为，，（当且仅当时取“”） 各式相加得：. 所以成立（当且仅当时取“”）. 【解析】 【分析】（1）设，根据循环求和的定义求值即可. （2）利用换元法，结合基本不等式证明. （3）利用换元法，结合基本不等式证明. 【小问1详解】 设，则，，， 所以. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解循环求和的概念，列出循环求和的式子. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $