专题复习1.3 第1章有理数单元复习（知识点总结+13种题型举一反三）2025-2026学年人教版数学七年级上册

第1章 有理数全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1. 有理数的概念 正负数：大于0的数为正数（“+”可省略），正数前加“-”的数为负数；0既不是正数也不是负数，是正负数的分界。 有理数分类： 按定义：有理数 = 整数（正整数、0、负整数）+ 分数（正分数、负分数，有限小数和无限循环小数属于分数）； 按符号：有理数 = 正有理数（正整数、正分数）+ 0 + 负有理数（负整数、负分数）。 相反意义的量：用正数和负数表示一对具有相反方向的量（如海拔“高于海平面为正，低于为负”、误差“超过为正，不足为负”）。 2. 数轴 三要素：原点、正方向（通常向右）、单位长度（统一），三者缺一不可。 关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定是有理数（如π）；数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数。 3. 相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数（如a与-a），0的相反数是0。 几何意义：数轴上关于原点对称的两点表示的数互为相反数（到原点距离相等）。 多重符号化简：正号可忽略，负号个数为奇数时结果为负，偶数时结果为正（奇负偶正）。 4. 绝对值 代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0（即）。 几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离（距离非负，故）。 非负性：若，则且（多个非负数和为0，各非负数均为0）。 5. 有理数大小比较 方法：数轴比较法（右大左小）、法则比较法（正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小）、作差法（）。 6. 有理数实际应用与规律探究 实际应用：误差判断（绝对值越小越接近标准）、行程位置（正负表示方向）、体重/视力标准（正负表示与标准的差值）。 规律探究：有理数排列规律（正负交替、循环）、数轴上点的动态规律（滚动、平移）、无限循环小数化分数（设x法）。 二、重难点突破 1. 重点 有理数的分类（尤其是“非负整数”“负分数”等易混概念）； 绝对值的化简（含字母的绝对值需结合符号判断）与非负性应用； 数轴与相反数、绝对值的结合（如两点距离计算：）。 2. 难点 含字母的绝对值化简（需分类讨论，根据绝对值内表达式正负划分区间）； 数轴上的动态问题（点的平移、滚动，结合距离与绝对值分析）； 有理数规律探究（从符号、数字部分提取规律，用n表示第n项）。 三、高频易错点警示 多重符号化简：漏数负号个数（如错算为4，实际负号个数为3，结果为-4）； 2. 带“非”字的分类：漏0（如“非负整数”=正整数+0，而非仅正整数；“非正数”=负数+0）； 3. 绝对值化简：忽略临界点（如化简时漏的情况，此时）； 4. 数轴画法：单位长度不统一、漏画原点或正方向； 5. 实际应用：混淆“超过”与“不足”的符号（如零件标准尺寸为10mm，超过记为正，不足记为负，易反写）。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】正负数的识别与相反意义的量 1. 知识点 正负数定义（正数>0，负数<0，0既非正也非负）； 相反意义的量：需明确基准量（如标准水位、标准质量），超过为正，不足为负。 2. 考点 识别给定数中的负数（如判断、-3、-25.8是否为负数）； 用正负数表示实际量（如海拔、误差、行程方向）。 3. 易错点 误将0归为正数或负数； 相反意义的量漏单位或方向（如“下降5米”记为-5，漏“米”）。 4. 解题技巧 识别负数：看数字前是否有“-”（注意“-0”仍为0，非负数）； 表示相反意义的量：先确定基准，再用“+”“-”区分方向（如“向北为正，则向南为负”）。 【例题1】．（2024-2025•东坡区校级开学）如果收入100元记作+100元，那么支出50元记作（　　） A．﹣50元 B．+50元 C．+100元 D．﹣100元 【答案】A． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果收入100元记作+100元，那么支出50元记作﹣50元． 故选：A． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【变式题1-1】．（2024-2025•长春模拟）如果一个物体向右移动2米记作移动+2米，那么这个物体又移动了﹣2米的意思是（　　） A．物体又向右移动了2米 B．物体又向右移动了4米 C．物体又向左移动了2米 D．物体又向左移动了4米 【答案】C 【分析】根据负数的意义，向右移动记作“+”，则向左移动记作“﹣”，所以这个物体又移动了﹣2米的意思是：物体又向左移动了2米． 【解答】解：如果一个物体向右移动2米记作移动+2米，那么这个物体又移动了﹣2米的意思是：物体又向左移动了2米． 故选：C． 【点评】此题主要考查了负数的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：向右移动记作“+”，则向左移动记作“﹣”． 【变式题1-2】．（2024-2025•信都区期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量即可得出答案． 【解答】解：∵|﹣3.4|＝3.4，|+2.2|＝2.2，|﹣0.6|＝0.6，|+0.8|＝0.8， ∴3.4＞2.2＞0.8＞0.6， ∴最接近标准质量的是“+0.6g”． 故选：C． 【点评】本题考查了正负数，读懂题意是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•旬阳市期末）下列各数中，属于负数的是（　　） A．﹣3 B．0 C． D．9 【答案】A． 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：A．﹣3＜0，是负数，符合题意； B．0既不是正数，也不是负数，不符合题意； C．0，是正数，不符合题意； D．9＞0，是正数，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 【题型2】有理数的分类 1. 知识点 有理数的定义：整数和分数统称为有理数，所有有理数都可以表示为（p、q为整数，q≠0）的形式。 有理数的两种分类方式： 按“定义”分类： 按“符号”分类： 特殊概念：①非负数：正数和0；②非正数：负数和0；③非负整数：正整数和0（即自然数）；④非正整数：负整数和0。 2. 考点 区分整数与分数（如判断、-0.5是否为负分数）； 将给定数填入对应集合（如负整数集合、非负数集合）。 3. 易错点 误将有限小数/无限循环小数排除在分数外（如-3.14是负分数）； 漏将0归入“非负整数”“非正有理数”等集合。 4. 解题技巧 先判断是否为有理数（排除无限不循环小数，如π）； 分类时遵循“不重不漏”，先标数的属性（如“-5”是负整数，“”是正分数）。 【例题2】．（2024-2025•平舆县校级期末）在﹣4，3.5，，，1，，1.2434434443…（两个3之间依次增加一个4）中，有理数的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据有理数包括整数和分数解答即可． 【解答】解：在﹣4，3.5，，，1，，1.2434434443…（两个3之间依次增加一个4）中，有理数有﹣4，3.5，，1，，共5个． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的定义是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•冷水滩区校级开学）最大的负整数是　﹣1　 ，最小的正整数是　1　 ． 【答案】﹣1 1 【分析】根据最大的负整数是﹣1，最小的正整数是1，进行作答即可． 【解答】解：∵根据有理数的定义可知，绝对值越大的负整数，其值越小，绝对值越大的正整数，其值越大． ∴最大的负整数为﹣1，最小的正整数为1． 故答案为：﹣1，1． 【点评】本题考查了有理数的概念，掌握正数、负数的定义及特点，注意总结． 【变式题2-2】．（2024-2025•马边县期末）下列关于有理数的描述 ①有限小数和循环小数都是有理数； ②0是非负有理数； ③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义和分类进行解答即可． 【解答】解：①有限小数和循环小数都是有理数，正确； ②0是非负有理数，正确； ③0既不是正数，也不是负数，但0是有理数，故错误； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，正确． 所以正确的个数是3个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了有理数，熟练掌握有理数的定义和分类是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•大武口区期末）把下列各数分别填在相应的集合内． 2024，﹣1，﹣2.3，，3.1415926，0，，5%，﹣90， （1）正有理数集合：{ 　2024，，3.1415926，5%　 …}； （2）负分数集合：{ 　　 …}； （3）整数集合：{ 　2024，﹣1，0，﹣90　 …}． 【答案】（1）2024，，3.1415926，5%； （2）； （3）2024，﹣1，0，﹣90． 【分析】根据有理数的分类即可求解． 【解答】解：2024，﹣1，﹣2.3，，3.1415926，0，，5%，﹣90，． （1）正有理数：2024，，3.1415926，5%， 故答案为：2024，，3.1415926，5%； （2）负分数：， 故答案为：； （3）整数：2024，﹣1，0，﹣90． 故答案为：2024，﹣1，0，﹣90． 【点评】本题主要考查了有理数的分类，有理数包括整数和分数，也可分为正有理数、负有理数和0．熟练掌握有理数的各种分类依据是解题的关键． 【题型3】数轴的识别与画法 1. 知识点 数轴三要素（原点、正方向、单位长度）； 有理数与数轴上点的对应关系（正数在右，负数在左）。 2. 考点 判断数轴画法是否规范（如是否漏原点、单位长度是否统一）； 在数轴上表示给定有理数（如表示-3、0、2.5）。 3. 易错点 单位长度不统一（如一段表示1，另一段表示2）； 负数在数轴上的位置画反（如-2画在-1右侧）。 4. 解题技巧 画数轴：先定原点，再标正方向（箭头向右），单位长度统一； 表示数：先找对应区间，再描点（如-1.5在-2与-1之间）。 【例题3】．（2024-2025•富锦市期末）四位同学画数轴如图所示，你认为正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答． 【解答】解：A、缺少原点，故选项错误； B、数轴没有正方向，故选项错误； C、数轴的单位长度不统一，故选项错误； D、正确． 故选：D． 【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记数轴的三要素． 【变式题3-1】．（2024-2025•梁山县期中）四位同学画的数轴如下，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，根据定义结合选项进行判断即可． 【解答】解：A中的数轴缺少原点，故不符合题意； B中的数轴出现右边的数比左边的数小，故不符合题意； C中的数轴有原点，单位长度，正方向，故符合题意； D中的数轴缺少正方向，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴的定义是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•临沭县校级月考）画出数轴，在数轴上表示下列各数． ﹣3，1.5，+3，﹣3.5，0，﹣2 【答案】 【分析】根据有理数在数轴上的表示方法求解即可． 【解答】解：在数轴上表示如下： 【点评】本题目主要考查有理数在数轴上表示，熟练掌握该知识点是关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•思明区校级期中）画出数轴，并数轴上表示下列有理数：，﹣1，2.5． 【答案】详见解答． 【分析】根据数轴表示数的方法进行解答即可． 【解答】解：数轴上表示下列有理数：，﹣1，2.5如图所示： 【点评】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【题型4】相反数的识别与求解 1. 知识点 相反数定义（只有符号不同的两个数，如2与-2）； 0的相反数是0，a的相反数是。 2. 考点 判断两个数是否互为相反数（如判断与-2024是否互为相反数）； 求一个数的相反数（含多重符号，如求的相反数）。 3. 易错点 求负数的相反数时符号错误（如认为-(-5)的相反数是-5）； 忽略0的相反数是0（误说“0没有相反数”）。 4. 解题技巧 求相反数：直接在数前加“-”号（如3的相反数是-3，-4的相反数是-(-4)=4）； 多重符号化简：先去正号，再数负号个数（奇负偶正）。 【例题4】．（2024-2025•清原县校级月考）﹣6的相反数是（　　） A．﹣6 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用相反数的定义判断即可． 【解答】解：﹣6的相反数是6， 故选：C． 【点评】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义． 【变式题4-1】．（2024-2025•玄武区月考）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣1.01和 B．和﹣3 C．和 D．和0.25 【答案】D 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【解答】解：A．﹣1.01和1.1不互为相反数，故该选项错误； B． 和﹣3不互为相反数，故该选项错误； C． 和不互为相反数，故该选项错误； D． 0.25和0.25互为相反数，故该选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了相反数的定义，掌握此知识是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•南京模拟）a+2和b﹣3互为相反数，那么a+b＝ 　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得：a+2+b﹣3＝0， ∴a+b＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•礼县期末）x+2的相反数是﹣3，那么x＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据相反数的定义进行解题即可． 【解答】解：由题意得：x+2＝3， 解得x＝1； 故答案为：1． 【点评】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 【题型5】绝对值的计算与基础化简 1. 知识点 绝对值的代数意义（正数绝对值是本身，负数是相反数，0是0）； 绝对值的非负性（）。 2. 考点 计算具体数的绝对值（如求、的值）； 比较两个数的绝对值大小（如比较与）。 3. 易错点 计算负数绝对值时符号错误（如）； 认为“绝对值等于本身的数是正数”（漏0）。 4. 解题技巧 计算绝对值：先判断数的正负，再按代数意义化简； 牢记“绝对值非负”：若结果为负，必为错误。 【例题5】．（2024-2025•攀枝花）2的绝对值是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．±2 【答案】B 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：|2|＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 【变式题5-1】．（2024-2025•兴平市期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b|的结果是（　　） A．﹣a﹣c B．2b﹣c C．2a﹣c D．﹣c 【答案】D 【分析】由数轴可得a＜b＜0＜c，即得a﹣b＜0，a﹣c＜0，再根据绝对值的性质化简即可求解，由数轴得到a﹣b、a﹣c、c的符号是解题的关键． 【解答】解：由数轴可得，a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|， ∴a﹣b＜0，a﹣c＜0， ∴|a﹣b|＝b﹣a，|a﹣c|＝c﹣a， ∴原式＝b﹣a﹣（c﹣a）+（﹣b） ＝b﹣a﹣c+a﹣b ＝﹣c， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数与数轴，绝对值的性质，整式的加减，由数轴得到a﹣b、a﹣c、c的符号是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•浦东新区校级三模）计算：|4﹣π|＝ 　4﹣π　 ． 【答案】4﹣π． 【分析】正数的绝对值是它本身，据此即可求得答案． 【解答】解：∵4﹣π＞0， ∴|4﹣π|＝4﹣π， 故答案为：4﹣π． 【点评】本题考查绝对值，熟练掌握其性质是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•汾阳市期末）如图a，b在数轴上的位置如图所示．化简：|c﹣a|+|a+b|﹣|b|结果是（　　） A．c B．c﹣2a C．﹣c D．c+2b 【答案】B 【分析】根据数轴上的点可得，a＜b＜0＜c，由此可得c﹣a＞0，a+b＜0，结合绝对值的性质即可求解． 【解答】解：根据a，b在数轴上的位置可知a＜b＜0＜c，c＞a， ∴c﹣a＞0，a+b＜0，b＜0， ∴|c﹣a|+|a+b|﹣|b| ＝c﹣a﹣（a+b）+b ＝c﹣2a， 故选：B． 【点评】本题考查了数轴的特点，绝对值的化简，理解数轴上点表示的字母的大小及符号，掌握绝对值的性质化简是解题的关键． 【题型6】有理数大小比较（提升） 1. 知识点 数轴比较法（右大左小）； 法则比较法（正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小）。 2. 考点 比较多个有理数的大小（如比较-1、0、2、-3的大小）； 比较两个负数的大小（如比较与）。 3. 易错点 比较两个负数时，直接看原数大小（如认为）； 用数轴比较时，混淆左右方向（左大右小）。 4. 解题技巧 多數比较：先分“正数、0、负数”三类，再分别比较（正数内部右大左小，负数内部绝对值大的反而小）； 两负数比较：先算绝对值，再比较绝对值（如，，故）。 【例题6】．（2024-2025•兴平市期末）今年12月份的某一天，西安、兴平、榆林、延安四个城市的最低气温分别是2℃，0℃，﹣16℃，﹣21℃，其中气温最低的是 　﹣21　 ℃． 【答案】﹣21． 【分析】有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：|﹣16|＝16，|﹣21|＝21， ∵16＜21， ∴﹣21＜﹣16， ∴﹣21℃＜﹣16℃＜0℃＜2℃， ∴其中气温最低的是﹣21℃． 故答案为：﹣21． 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小． 【变式题6-1】．（2024-2025•永善县期末）下列比较大小正确的是（　　） A．﹣|﹣5|＜+（﹣5） B． C． D． 【答案】B 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：A、﹣5＝﹣5，不符合题意； B、∵、分子相同，分母不同，且4＜5，∴，∴，符合题意； C、∵，，∴，不符合题意； D、∵﹣（﹣5）＝5，∴5，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•增城区校级开学）把，，87%，这四个数，按从大到小的顺序排列，结果是：　　 ＞　　 ＞　　 ＞　87%　 ． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先比较高位上的数字，如果高位上的数字相同，再比较低位数字，据此进行分析，即可作答． 【解答】解：∵，87%＝0.87， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，主要考查学生的理解能力． 【变式题6-3】．（2024-2025•蓬溪县校级期末）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a+b＞0 【答案】B 【分析】由数轴可知，a＜0＜b，|a|＞|b|，即可得到a+b＜0，逐一判断即可． 【解答】解：由题可得：a＜0＜b，|a|＞|b|， ∴a+b＜0， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数大小比较，数轴，熟练掌握相关运算法则以及不等式的性质结合点在数轴上的位置是解答本题的关键． 【题型7】数轴上两点距离计算（提升） 1. 知识点 数轴上两点距离公式：若两点表示的数为a、b，则距离为； 距离的非负性（距离≥ 0）。 2. 考点 求已知两点的距离（如点A表示2，点B表示-3，求AB距离）； 已知距离求点的位置（如点A表示-2，点B与A距离为4，求B表示的数）。 3. 易错点 忽略距离非负性（如计算）； 已知距离求点时漏解（如只算右侧点，漏左侧点）。 4. 解题技巧 求距离：直接代入公式，先算差值再取绝对值； 求点的位置：分“在已知点左侧”（a - 距离）和“右侧”（a + 距离）两种情况，如A表示-2，B为-2+4=2或-2-4=-6。 【例题7】．|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣1|＝3，这样的整数是 　﹣2、﹣1、0、1　 ． 【答案】﹣2、﹣1、0、1． 【分析】利用绝对值和数轴求解即可； 【解答】解：∵|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和， |x+2|+|x﹣1|＝3， ∴x为﹣2到1之间的整数，这样的整数有﹣2、﹣1、0、1， 故答案为：﹣2、﹣1、0、1． 【点评】本题考查绝对值的意义，数轴熟练掌握以上知识点是关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•集贤县期末）数轴上表示数a和a+4的点到原点的距离相等，则a为 　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据数轴上的点到原点的距离公式可得|a|＝|a+4|，然后分类讨论，求解即可获得答案． 【解答】解：由题意得|a|＝|a+4|， ∴a＝﹣（a+4）或a＝a+4， 解得a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查数轴上，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•邻水县期末）如图，点A在数轴上表示的数是3，点B到点A的距离是7个单位长度，则点B在数轴上表示的数是 　10或﹣4　 ． 【答案】.10或﹣4 【分析】根据数轴上两点的距离分析，分类讨论，即在A点的左侧和右侧都有一个点与A的距离为7，进而即可求得答案． 【解答】解：当点B在A点的右侧时，点B在数轴上表示的数是3+7＝10， 当点B在A点的左侧时，点B在数轴上表示的数是3﹣7＝﹣4， ∴点B在数轴上表示的数是10或﹣4． 故答案为：10或﹣4． 【点评】本题考查了数轴上两点的距离，理解题意是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•古蔺县校级期末）已知数轴上的两点A，B分别表示数﹣1，3，若点C与点A的距离为5个单位长度，则点C表示的数是　4或﹣6　 ． 【答案】4或﹣6． 【分析】根据两点间的距离公式，分点C在点A的左侧和右侧两种情况，列式计算即可． 【解答】解：数轴上的两点A，B分别表示数﹣1，3， 点C表示的数是﹣1+5＝4或﹣1﹣5＝﹣6； 故答案为：4或﹣6． 【点评】本题考查数轴上两点的距离，正确记忆相关知识点是解题关键． 【题型8】多重符号化简（提升） 1. 知识点 多重符号化简规则：正号可全部省略，负号个数为奇数时结果为负，偶数时结果为正（奇负偶正）； 化简顺序：从内层括号开始，逐层化简。 2. 考点 化简含多个“+”“-”的表达式（如化简、）。 3. 易错点 漏数负号个数（如错算为4，实际负号个数为3，结果为-4）； 受正号影响（如认为“”结果为正）。 4. 解题技巧 步骤：先去掉所有“+”号，再数剩余负号个数； 验证：化简后可通过相反数定义验证（如，5的相反数是-5，与内层一致）。 【例题8】．认真思考，把下列各数前面的括号去掉． （1）﹣（+2.3）＝　﹣2.3　 ； （2）﹣（﹣3.9）＝　3.9　 ； （3）+（+5）＝　5　 ； （4）﹣[﹣（﹣2）]＝　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据相反数的定义分别进行化简即可． 【解答】解：（1）﹣（+2.3）＝﹣2.3； （2）﹣（﹣3.9）＝3.9； （3）+（+5）＝5； （4）﹣[﹣（﹣2）]＝﹣2． 故答案为：﹣2.3；3.9；5；﹣2． 【点评】本题主要考查了利用相反数进行化简，熟记概念是解题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•鹿邑县月考）化简下列各数． （1）﹣[﹣（﹣3）]； （2）； （3）． 【答案】（1）﹣3； （2）； （3）． 【分析】根据同号为正，异号为负进行化简即可． 【解答】解：（1）﹣[﹣（﹣3）] ＝﹣（+3） ＝﹣3； （2） ； （3）原式 ． 【点评】本题主要考查了化简多重符号，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•南关区校级期中）化简： （1）﹣（+17）＝ 　﹣17　 ； （2） 　　 ； （3）+（+35）＝ 　35　 ； （4）+（﹣2.3）＝ 　﹣2.3　 ； （5）﹣[﹣（﹣9）]＝ 　﹣9　 ； （6）﹣[+（﹣75）]＝ 　75　 ． 【答案】（1）﹣17； （2）； （3）35； （4）﹣2.3； （5）﹣9； （6）75． 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据化简多重符号的方法和步骤即可解答． 【解答】解：（1）﹣（+17）＝﹣17， 故答案为：﹣17； （2）， 故答案为：； （3）+（+35）＝35， 故答案为：35； （4）+（﹣2.3）＝﹣2.3， 故答案为：﹣2.3； （5）﹣[﹣（﹣9）]＝﹣9， 故答案为：﹣9； （6）﹣[+（﹣75）]＝75， 故答案为：75． 【点评】本题主要考查了化简多重符号，解题的关键是熟练掌握化简多重符号的方法和步骤． 【变式题8-3】．（2024-2025•西工区校级月考）化简： （1）﹣|﹣3|； （2）﹣（）； （3）﹣|﹣（﹣7.5）|； （4）﹣[﹣（）]． 【答案】（1）﹣3；（2）；（3）﹣7.5；（4）． 【分析】根据相反数的定义化简即可． 【解答】解：（1）﹣|﹣3|＝﹣3； （2）﹣（）； （3）﹣|﹣（﹣7.5）|＝﹣7.5； （4）﹣[﹣（）]． 【点评】本题主要考查了绝对值、相反数和多重符号化简，正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【题型9】绝对值的非负性应用（提升） 1. 知识点 绝对值的非负性：（任何数的绝对值都不是负数）； 非负数性质：若，则且（多个非负数和为0，各非负数均为0）。 2. 考点 利用非负性求字母的值（如已知，求x、y）； 求代数式的值（如已知，求的值）。 3. 易错点 忽略绝对值非负性（如认为“有解”）； 多个非负数和为0时，漏求某个字母（如只求x，漏y）。 4. 解题技巧 识别非负表达式：含绝对值、平方的式子通常为非负； 列方程：若和为0，則每个非负部分均为0，列方程求解（如，）。 【例题9】．（2024-2025•垦利区校级月考）已知|x+1|+|y﹣3|＝0，求x和y的值． 【答案】x＝﹣1，y＝3． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+1|+|y﹣3|＝0， ∴x+1＝0，y﹣3＝0， ∴x＝﹣1，y＝3． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•马尾区校级期中）已知m，n满足|m﹣5|+|n﹣4|＝0，求m+n的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|m﹣5|+|n﹣4|＝0， ∴m﹣5＝0，n﹣4＝0， ∴m＝5，n＝4， ∴m+n＝9． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•高陵区月考）若|2a﹣4|+|b﹣1|＝0，求a+b的值． 【答案】3． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|2a﹣4|+|b﹣1|＝0， ∴2a﹣4＝0，b﹣1＝0， ∴a＝2，b＝1， ∴a+b＝2+1＝3． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•肇州县校级期中）已知：|x﹣2|+|y﹣3|＝0，求3x+4y的值． 【答案】18． 【分析】根据绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵|x﹣2|+|y﹣3|＝0，|x﹣2|≥0，|y﹣3|≥0， ∴x﹣2＝0，y﹣3＝0， 解得x＝2，y＝3， ∴3x+4y＝6+12＝18． 【点评】本题考查绝对值的非负性，理解绝对值的非负性是正确解答的前提． 【题型10】绝对值的分类讨论（培优） 1. 知识点 含字母的绝对值化简：需根据绝对值内表达式的正负性分类； 临界点：令绝对值内表达式为0，确定分类的分界点（如化简，临界点为x=3）。 2. 考点 化简含字母的绝对值（如化简，分x> -2、x=-2、x< -2）； 根据字母范围求绝对值表达式的值（如已知x<1，求）。 3. 易错点 漏找临界点（如化简时，只讨论x>2和x<2，漏x=2）； 分类区间重叠或遗漏（如将x> -2错写为x≥ -2）。 4. 解题技巧 步骤：①找临界点（令绝对值内表达式=0）；②分区间（按临界点划分3个区间：大于、等于、小于）；③定符号（每个区间内判断表达式正负，去绝对值）；④合并结果； 示例：化简：x> -2时，；x=-2时，；x< -2时，。 【例题10】．（2024-2025•复兴区期末）已知|x|＝3，y＝﹣（﹣2），求x+y的值． 【答案】5或﹣1． 【分析】利用绝对值的性质得出x的值、化简多重符号得y＝2，进而得出答案． 【解答】解：∵|x|＝3，y＝﹣（﹣2）， ∴x＝±3，y＝2， ∴当x＝3，y＝2时，x+y＝3+2＝5． 当x＝﹣3，y＝2时，x+y＝﹣3+2＝﹣1． 综上所述：x+y的值为5或﹣1． 【点评】本题考查绝对值、相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•湘桥区校级月考）已知|a|＝|﹣5|，|b|＝10，且b为负数，|c|＝﹣（﹣8）且c＞0求a，b，c的值． 【答案】a＝±5，b＝﹣10，c＝8． 【分析】根据绝对值的性质求解即可得． 【解答】解：由条件可知a＝±5，b＝±10， 又∵b为负数， ∴b＝﹣10， ∵|c|＝﹣（﹣8）＝8， ∴c＝±8， 又∵c＞0， ∴c＝8． 【点评】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•利津县期中）若|a|＝5，|b|＝3． （1）若ab＜0，求a+b的值； （2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值． 【答案】（1）2或﹣2；（2）8或2． 【分析】（1）若ab＜0，则a、b异号，求出a、b的值，再把它们相加即可． （2）若|a+b|＝a+b，则a+b≥0，求出a、b的值，再把它们相减即可． 【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝3， ∴a＝±5，b＝±3， （1）若ab＜0， 则a＝5，b＝﹣3或a＝﹣5，b＝3， ①a＝5，b＝﹣3时， a+b＝5﹣3＝2． ②a＝﹣5，b＝3时， a+b＝﹣5+3＝﹣2． （2）若|a+b|＝a+b， 则a+b≥0， ∴a＝5，b＝﹣3或3， ∴a﹣b＝5﹣（﹣3）＝8， 或a＝5，b＝3时，a﹣b＝5﹣3＝2． 故a﹣b＝8或2． 【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是分别求出a、b的值各是多少． 【变式题10-3】．（2024-2025•温宿县期中）若|a|＝4，|b|＝1， （1）求a+b的值． （2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据绝对值的性质求出a、b，然后分情况讨论计算即可得解； （2）根据非负数的绝对值等于它本身判断出a+b≥0，然后得到a、b的值，再相减计算即可得解． 【解答】解：（1）∵|a|＝4，|b|＝1， ∴a＝±4，b＝±1， a＝4，b＝1时，a+b＝4+1＝5， a＝4，b＝﹣1时，a+b＝4+（﹣1）＝3， a＝﹣4，b＝1时，a+b＝﹣4+1＝﹣3， a＝﹣4，b＝﹣1时，a+b＝﹣4+（﹣1）＝﹣5， 综上所述，a+b的值为±3，±5； （2）∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， ∴a＝4，b＝1或a＝4，b＝﹣1， ∴a﹣b＝4﹣1＝3， 或a﹣b＝4﹣（﹣1）＝5． 所以，a﹣b＝3或5． 【点评】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法和减法，熟记性质是解题的关键，难点在于确定a、b的对应情况． 【题型11】有理数实际应用综合（培优） 1. 知识点 误差判断：绝对值越小，越接近标准（如零件误差± 0.02mm，绝对值≤ 0.02为合格）； 行程与位置：正负表示方向，总里程取各段绝对值之和； 标准量问题：体重、视力等以标准为基准，正负表示与标准的差值。 2. 考点 判断实际量是否合格（如零件检测结果+0.031、-0.017，判断合格与否）； 计算总行程或总额（如出租车里程+9、-3，总里程为|+9| + |-3| + …）； 分析体重/视力是否达标（如视力与5.0的差值，绝对值>0.2需配镜）。 3. 易错点 混淆“超过”与“不足”的符号（如标准尺寸10mm，不足记为正）； 计算总里程时漏加绝对值（如将-3直接加，未取3）。 4. 解题技巧 误差判断：先算实际量与标准量的差值，再取绝对值，与允许误差比较（≤ 允许误差为合格）； 行程计算：总里程=各段里程的绝对值之和，总额=总里程× 单价； 标准量分析：先确定基准（如5.0为视力标准），再计算差值的绝对值，判断是否达标。 【例题11】．（2024-2025•尧都区期末）出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：km）如下： ﹣3，+5，﹣1，+1，﹣6，+2． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）若汽车耗油量为0.2L/km（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ （3）若出租车起步价为8元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.5元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】（1）鼓楼以北2km处； （2）3.6； （3）30.5． 【分析】（1）求出这些数的和，计算结果的符号表示方向，绝对值表示距离； （2）求出这些数的绝对值之和，再乘以每千米的耗油量即可； （3）根据起步价+超过3km部分的费用列式计算即可． 【解答】解：（1）﹣3+5﹣1+1﹣6+2＝﹣2． 答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在鼓楼以北2km处． （2）|﹣3|+|+5|+|﹣1|+|+1|+|﹣6|+|+2|＝18（km）， 0.2×18＝3.6（L）． 答：出租车共耗油3.6L． （3）8+1.5×（18﹣3）＝30.5（元）． 答：小李这天上午共得车费30.5元． 【点评】本题考查数轴、正数和负数，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 【变式题11-1】．（2024-2025•新安县期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 　22　 单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）判断出最大值，最小值求差即可； （2）求出表中数据的平均数，再加上标准数50即可； （3）根据工资的计算方法列式计算即可． 【解答】解：（1）送餐最多的一天比送餐最少的一天多送14﹣（﹣8）＝22（单）． 故答案为：22； （2）由题意，得： 50+[（﹣3）+（+4）+（﹣5）+（+14）+（﹣8）+（+7）+（+12）]÷7 ＝50+3 ＝53（单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （3）由题意，得： （50×7﹣3﹣5﹣8）×2+（4+7+10×2）×4+（4+2）×6+60×7 ＝668+124+36+420 ＝1248（元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1248元． 【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． 【变式题11-2】．（2024-2025•子洲县期末）数学课上，某小组调查了组内6位组员的身高，并以165厘米为标准，记录6位组员身高如表（超过165厘米记为“+”，不足165厘米记为“﹣”），请根据表中信息解决下列问题： 组员 1 2 3 4 5 6 组员身高与选定的身高标准的差/厘米 +5 ﹣12 +8 ﹣9 +6 ﹣4 （1）这6位组员中最高的是 　3　 号组员，最高的组员比最低的组员高 　20　 厘米； （2）根据以上数据，求这6位组员的平均身高． 【答案】（1）3，20；（2）164厘米． 【分析】（1）利用正数和负数的意义解答； （2）利用正数和负数的意义，有理数的混合运算法则计算． 【解答】解（1）8﹣（﹣12）＝20（厘米）， 这6位组员中最高的是 3号组员，最高的组员比最低的组员高 20厘米； 故答案为：3，20； （2）165+（5﹣12+8﹣9+6﹣4）÷6 ＝165+（﹣6）÷6 ＝165+（﹣1） ＝164（厘米）， 答：这6位组员的平均身高是164厘米． 【点评】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握正数和负数的意义． 【变式题11-3】．（2024-2025•盐边县期末）在互联网技术的影响下，幸福新村的村民小刘在网上销售蜜柚，原计划每天卖150千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +5 ﹣3 ﹣4 +12 ﹣6 +20 +5 （1）根据表中的数据可知前三天共卖出 　448　 千克； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ （3）若每千克按6元出售，每千克蜜柚的运费为1元，那么小刘本周一共收入多少元？ 【答案】（1）448； （2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克； （3）小刘本周一共收入5395元． 【分析】（1）求出前三天卖出的斤数，相加即可； （2）找出卖出最多的与最少的斤数，相减即可； （3）把表格中的数据相加，再根据题意列出算式，计算即可求出值． 【解答】解：（1）450+5﹣3﹣4＝448（千克）． 故前三天共卖出448千克； （2）20﹣（﹣6）＝26（千克）． 故销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克； （3）+5﹣3﹣4+12﹣6+20+5＝29＞0， 故本周实际销量达到了计划销量． （29+150×7）×（6﹣1） ＝1079×5 ＝5395（元）． 答：小刘本周一共收入5395元． 故答案为：448． 【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型12】有理数规律探究（培优） 1. 知识点 有理数排列规律：正负交替（如1、-1、1、-1…）、数字循环（如0.153153…）； 数轴规律：点的滚动（如圆周长4，滚动后点的位置循环）、平移（左减右加）； 无限循环小数化分数：设x法（如0.，设x=0.777…，10x=7.777…，相减得9x=7，x=）。 2. 考点 根据规律写第n个数（如1、-2、3、-4…，第n个数为）； 求循环小数对应的分数（如0.化为分数）； 数轴上点的规律位置（如圆滚动后，1949对应的点）。 3. 易错点 找不到规律核心（如正负交替忽略符号规律，只看数字）； 4. 解题技巧 数字规律：观察差值（等差）、比值（等比）或循环周期（如周期为3，用n÷ 3的余数判断）； 【例题12】．（2024-2025•金水区校级期末）正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是　C　 ． 【答案】C． 【分析】读懂题意，发现变化规律，利用数轴知识和发现的规律解答． 【解答】解：由题意可知A、B、C、D、E、F、A、B、C、D、E......对应的数分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11......， 6个数为一循环， 2025÷6＝337余数为3， ∴数轴上数2025所对应的顶点是C． 故答案为：C． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 【变式题12-1】．（2024-2025•兴宁区校级开学）数轴上有A对应的数是﹣1，一只蚂蚁从点A出发，第一次先沿数轴负方向爬2个单位，第二次沿正方向爬4个单位，第三次沿负方向爬6个单位，第四次沿正方向爬8个单位，按此规律，当蚂蚁爬完100次时，停在了点B处．如图，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A'落在点B的右边，且A'B＝8，则点C表示的数是 　53　 ． 【答案】53． 【分析】根据题意，发现蚂蚁第一次和第二次爬行后的位置变化是：沿正方向爬了2个单位，第三次和第四次爬行后的位置变化是：沿正方向爬了2个单位；因此当蚂蚁爬完100次后的位置变化是：沿正方向爬了100个单位，因此点B对应的数是﹣1+100＝99；则AB＝A'C+BC＝100，A'B＝A'C﹣BC＝8，解得A'C＝54，则点C表示的数是﹣1+54＝53． 【解答】解：根据题意，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬了2个单位，第三次和第四次爬行后的位置变化也是沿正方向爬了2个单位； 因此当蚂蚁爬完100次后的位置变化是：沿正方向爬了100个单位， 因此点B对应的数是﹣1+100＝99； 因此，AB＝A'C+BC＝100，A'B＝A'C﹣BC＝8， 解得A'C＝54， 则点C表示的数是﹣1+54＝53． 故答案为：53． 【点评】本题考查了数轴的有关内容，关键在于找到蚂蚁爬行位置的变化规律． 【变式题12-1】．（2024-2025•郸城县月考）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用． （1）应用一：①若数轴上有A，B，C三个点，表示的数分别是﹣4，﹣2，3， 则B，C两点之间的距离为 　5　 ，A，C两点之间的距离为 　7　 ； ②|x+2|在数轴上可以理解为 　数x到﹣2的距离　 ． （2）应用二： ①数轴上表示数a的点位于﹣3和2之间，则|a+3|+|a﹣2|的值为 　5　 ． ②对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值（请写清楚过程）；如果没有，请说明理由． （3）应用三： 如果在原点处有一只电子小青蛙，跳1步为1个单位长度．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，……，按此规律继续跳下去，那么第100次时，应再向 　右　 跳 　199　 步，此时落脚点表示的数是 　100　 ． 【答案】（1）①5，7；②数x到﹣2的距离；（2）①5 ②有，最小值为9；（3）右，199，100． 【分析】（1）①用靠近右边的数减去靠近左边的数计算即可； ②根据距离的意义解答即可． （2）①根据题意，得﹣3＜a＜2，化简绝对值解答即可． ②根据题意，x+3＝0，x﹣6＝0，根据方程的根，把数轴分成三部分，分类计算解答即可． （3）根据序号奇数次向左跳，序号偶数次，向右跳，且跳步数均为（2n﹣1）步，其中n是序号数，规定向左记作负数，向右记作正数，列式计算即可． 【解答】解：（1）①∵数轴上有A，B，C三个点，表示的数分别是﹣4，﹣2，3， ∴B，C两点之间的距离为3﹣（﹣2）＝5，A，C两点之间的距离为3﹣（﹣4）＝7， 故答案为：5，7； ②根据两点间的距离意义，得|x+2|在数轴上可以理解为数x到﹣2的距离． 故答案为：数x到﹣2的距离． （2）①根据题意，可知﹣3＜a＜2时，|a+3|+|a﹣2|＝a+3+2﹣a＝5， ∴|a+3|+|a﹣2|＝5． 故答案为：5． ②根据题意，x+3＝0，x﹣6＝0， 解得x＝﹣3，x＝6， 设﹣3表示的点为M，数6表示的点是N，数x表示的点为Q， 则MN＝6﹣（﹣3）＝9， 当x＜﹣3时即点Q在MN的外部，此时QM+QN＞MN＝9； 当x＞6时即点Q在MN的外部，此时QM+QN＞MN＝9； 当﹣3≤x≤6时即点Q在MN上，此时QM+QN＝MN＝9； 故|x+3|+|x﹣6|有最小值，且最小值为9． （3）根据题意，得序号奇数次向左跳，序号偶数次，向右跳，且跳步数均为（2n﹣1）步，其中n是序号数，规定向左记作负数，向右记作正数， 则第1跳为﹣1步，第2跳为3步，此时为位于﹣1+3＝2处； 第3跳为﹣5步，此时为位于﹣5+2＝﹣3处； 第4跳为7步，此时为位于﹣3+7＝4处； 故第199步，此时为位于100处； 故答案为：右，199，100． 【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，绝对值代数式的最小值，一元一次方程的解法，正负数的应用，规律的探索，熟练掌握距离，解方程，绝对值的最值是解题的关键． 【变式题12-3】．（2024-2025•辽中区期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，． 解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10 线段AB的中点表示的数为 当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t ∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）| 当时， ∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5 解得，t＝1或t＝3 ∴当t为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求当t为何值时，； 【综合运用】 （2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合； 【拓展提升】 （3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用含t的代数式表示出点M，N运动t秒时表示的数，利用题干中的方法列出关于t的方程，解方程即可得出结论； （2）利用线段中点的关系式求得点C表示的数，列出关于t的方程，解方程即可得出结论； （3）用线段中点的关系式求得点E，F表示的数，利用题干中的方法求得EF的长度，化简即可得出结论． 【解答】解：（1）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t， ∴MN＝|﹣2+3t﹣8+4t|＝|﹣10+7t|； 又∵AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10且MNAB， ∴|﹣10+7t|＝5， 解得：t或t． ∴当t为或秒时，． （2）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t， ∴线段MN的中点C表示的数为， 由题意得：3， ∴t＝12． ∴当t为12秒时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合． （3）点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5．理由： ∵当点M运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8， ∴MA的中点E表示的数为，MB的中点F表示的数为， ∴EF＝||＝|﹣5|＝5． ∴点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5． 【点评】本题主要考查了数轴的简单应用，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 【题型13】有理数新定义（培优） 【例题13】．（2024-2025•庐江县校级期末）定义[a]表示不超过a的最大整数，如[2.1]＝2，[﹣3.8]＝﹣4，定义b＝a﹣2[a]． （1）当a＝5.5时，b＝　﹣4.5　 ． （2）当2.5＜a≤3.5时，b的范围是　﹣1.5＜b＜﹣1或﹣3≤b≤﹣2.5　 ． 【答案】（1）﹣4.5；（2）﹣1.5＜b＜﹣1或﹣3≤b≤﹣2.5． 【分析】（1）根据定义[a]表示不超过a的最大整数，可得出[5.5]＝5，再代入b＝a﹣2[a]，即可得出答案； （2）根据新定义可知2.5＜a≤3.5有两种情况，分别是当2.5＜a＜3时和3≤a≤3.5时，得出不同范围的[a]，再代入b＝a﹣2[a]，即可得出b的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝5.5时，[5.5]＝5， ∴b＝a﹣2[a]＝5.5﹣2×5＝﹣4.5， 故答案为：﹣4.5； （2）当2.5＜a＜3时，[a]＝2， ∴b＝a﹣2[a]＝a﹣2×2＝a﹣4， ∴2.5﹣4＜a﹣4＜3﹣4，即﹣1.5＜a﹣4＜﹣1， ∴﹣1.5＜b＜﹣1， 当3≤a≤3.5时，[a]＝3， ∴b＝a﹣2[a]＝a﹣6， ∴﹣3≤a﹣6≤﹣2.5， ∴﹣3≤b≤﹣2.5， 综上所述，b的取值范围为﹣1.5＜b＜﹣1或﹣3≤b≤﹣2.5， 故答案为：﹣1.5＜b＜﹣1或﹣3≤b≤﹣2.5． 【点评】本题考查了新定义的有理数大小比较以及分类讨论思想，理解新定义是解题的关键 【变式题13-1】．（2024-2025•祁东县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a﹣b|﹣|a+b|，当a，b在数轴上的位置如图所示时，则a⊙b＝　2a　 ． 【答案】2a． 【分析】根据有理数a，b在数轴位置，去掉绝对值符号即可． 【解答】解：∵b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a﹣b＞0，a+b＜0， ∴a⊙b＝|a﹣b|﹣|a+b|， ＝a﹣b﹣[﹣（a+b）]， ＝a﹣b+a+b， ＝2a， 故答案为：2a． 【点评】本题考查了绝对值的定义与性质，数形结合思想，熟练掌握绝对值的相关知识是解决问题的关键． 【变式题13-2】．（2024-2025•漳平市期中）若定义：μ{a，b}＝（a，﹣b），v[m，n]＝（﹣m，n）， 例如μ{1，2}＝（1，﹣2），v[3，4]＝（﹣3，4）， 则μ{ν[2，﹣3]} 　（﹣2，3）　 ． 【答案】（﹣2，3）． 【分析】根据新定义先求出v[2，﹣3]＝（﹣2，﹣3），然后根据μ的定义解答即可． 【解答】解：∵v[m，n]＝（﹣m，n）， ∴v[2，﹣3]＝（﹣2，﹣3）， ∴μ{ν[2，﹣3]}＝μ{﹣2，﹣3}， ∵μ{a，b}＝（a，﹣b）， ∴μ{ν[2，﹣3]}＝μ{﹣2，﹣3}＝（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）． 【点评】本题考查了新定义，相反数的计算，读懂题目信息，掌握新定义的运算规则是解题的关键． 【变式题13-3】．（2024-2025•昆都仑区期末）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道|4﹣2|表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离：|4+2|＝|4﹣（﹣2）|，所以|4+2|表示4与﹣2在数轴上对应的两点之间的距离；|4|＝|4﹣0|，所以|4|表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|． 回答问题： （1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离是 　7　 ；数轴上表示x与2的两点之间的距离是 　|x﹣2|　 ； （2）若|m﹣2|＝3，求m的值； （3）若|n﹣2|+|n+3|＝5，写出整数n的值； （4）若代数式|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，请直接写出a的值． 【答案】（1）7；|x﹣2|； （2）m＝﹣1或5； （3）n＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2； （4）a＝﹣5或a＝3． 【分析】（1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值； （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据绝对值几何意义得出x的取舍范围，进而得出结果； （4）根据绝对值的几何意义列出式子，即可求出a． 【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离是5﹣（﹣2）＝7；数轴上表示x与2的两点之间的距离是|x﹣2|， 故答案为：7；|x﹣2|； （2）|m﹣2|＝3表示m与2的距离为3，则m＝﹣1或5； （3）|n﹣2|+|n+3|＝5，数轴上表示n与2和n与﹣3两点之间的距离之和为5， 则n在数轴上的位置在﹣3与2之间， ∴﹣3≤n≤2， ∵n为整数， ∴n＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2； （4）∵|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，即当x在1和﹣a之间时，|x﹣1|+|x+a|＝4， ∴﹣a＝5或﹣a＝﹣3， ∴a＝﹣5或a＝3． 【点评】本题考查了数轴，绝对值，两点间的距离公式，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A B A． B B 一．选择题（共6小题） 1．若悉尼时间比北京时间早2小时，记为+2时．则巴黎时间比北京时间晚7小时，应记为（　　）时． A．+9 B．﹣9 C．+7 D．﹣7 【答案】D 【分析】由“早于北京时间记为正”可推出“晚于北京时间记为负”，结合巴黎时间比北京时间晚7小时，得出对应记法． 【解答】解：∵悉尼时间比北京时间早2小时，记为+2时， ∴巴黎时间比北京时间晚7小时，应记为﹣7时． 故选：D． 【点评】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握正数和负数的意义． 2．﹣2025的相反数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【答案】A 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：﹣2025的相反数是2025． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a+b＞0 【答案】B 【分析】由数轴可知，a＜0＜b，|a|＞|b|，即可得到a+b＜0，逐一判断即可． 【解答】解：由题可得：a＜0＜b，|a|＞|b|， ∴a+b＜0， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数大小比较，数轴，熟练掌握相关运算法则以及不等式的性质结合点在数轴上的位置是解答本题的关键． 4．下列各数中，属于负数的是（　　） A．﹣3 B．0 C． D．9 【答案】A． 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：A．﹣3＜0，是负数，符合题意； B．0既不是正数，也不是负数，不符合题意； C．0，是正数，不符合题意； D．9＞0，是正数，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 5．如图所示，数轴上点A，M，B分别表示数a+b，a，2a，若AM＞BM，则下列运算结果一定是正数的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|+b 【答案】B 【分析】根据A，M，B分别表示的数及它们在数轴上的位置，分别表示出AM、BM，再根据AM＞BM判断a、b的大小关系，从而根据不等式的基本性质逐项判断正误即可． 【解答】解：AM＝a﹣（a+b）＝﹣b＞0， BM＝2a﹣a＝a＞0， ∵AM＞BM， ∴﹣b＞a， ∴﹣b﹣a＞0，即﹣（a+b）＞0， ∴a+b＜0， ∴A不符合题意； ∵﹣b＞a， ∴a﹣b＞2a， ∵a＞0， ∴a﹣b＞0， ∴B正确，符合题意； ∵﹣b＞0， ∴b＜0， ∵a＞0， ∴ab＜0， ∴C不符合题意； ∵a＞0， ∴|a|+b＝a+b， ∵a+b＜0， ∴|a|+b＜0， ∴D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查数轴、正数和负数，判断a、b的大小关系，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 6．如图，数轴上的点A，B对应有理数a，b，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．﹣a＜b C．|a|＞b D．a＜﹣b 【答案】B 【分析】由a，b两数在数轴上表示点的位置，可以得出a、b的符号和绝对值的大小，进而逐项进行判断即可． 【解答】解：由a，b两数在数轴上表示点的位置，可知， a＜0＜b，且|a|＜|b|， ∴a＜b，因此选项A错误，不符合题意； ﹣a＜b，因此选项B正确，符合题意； |a|＜b，因此选项C错误，不符合题意； a＞﹣b，因此选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查数轴，绝对值，由a，b两数在数轴上表示点的位置判断a、b的符号和绝对值是解题关键． 二．填空题（共4小题） 7．若某次数学考试标准成绩定为85分，规定高于标准记为正，小王同学的成绩记作：+8分，则他的实际得分为　93　 分． 【答案】93． 【分析】根据题意可知小王同学比标准分高8分，则用标准分加上8即可得到答案． 【解答】解：由题意得：85+8＝93（分）， ∴小王同学的实际得分为93分， 故答案为：93． 【点评】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键． 8．已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　4　 ． 【答案】4． 【分析】根据绝对值都是非负数，可得答案． 【解答】解：∵|a﹣2|≥0， ∴当a＝2时，|a﹣2|+4的最小值是4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，利用非负数最小时和最小． 9．比较大小： 　＞　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算||，||，然后根据负数的绝对值越大，这个数反而越小即可得到它们的关系关系． 【解答】解：∵||，||， 而， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小． 10．若|x|＝5，则x＝　±5　 ． 【答案】±5． 【分析】根据绝对值的定义进行计算． 【解答】解：因为|±5|＝5， 所以x＝±5． 故答案为：±5． 【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键． 三．解答题（共8小题） 11．有理数a、b、c在数轴上的位置如图． （1）判断正负，用“＜”或“＞”填空：a﹣b 　＜　 0；a+c 　＞　 0；c﹣b 　＞　 0； （2）化简：|a﹣b|+|a+c|﹣2|c﹣b|． 【答案】（1）＜，＞，＞； （2）3b﹣c． 【分析】（1）根据数轴的性质可得a＜0＜b＜c，|a|＜|c|，再根据有理数的加减法即可得； （2）根据（1）的结果，先化简绝对值，再计算整式的加减即可得． 【解答】解：（1）由数轴可得：a＜0＜b＜c，|a|＜|c|，则a﹣b＜0；a+c＞0；c﹣b＞0 故答案为：＜，＞，＞； （2）原式＝﹣（a﹣b）+a+c﹣2（c﹣b） ＝b﹣a+a+c﹣2c+2b ＝3b﹣c． 【点评】本题考查了数轴、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 12．在互联网技术的影响下，幸福新村的村民小刘在网上销售蜜柚，原计划每天卖150千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +5 ﹣3 ﹣4 +12 ﹣6 +20 +5 （1）根据表中的数据可知前三天共卖出 　448　 千克； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ （3）若每千克按6元出售，每千克蜜柚的运费为1元，那么小刘本周一共收入多少元？ 【答案】（1）448； （2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克； （3）小刘本周一共收入5395元． 【分析】（1）求出前三天卖出的斤数，相加即可； （2）找出卖出最多的与最少的斤数，相减即可； （3）把表格中的数据相加，再根据题意列出算式，计算即可求出值． 【解答】解：（1）450+5﹣3﹣4＝448（千克）． 故前三天共卖出448千克； （2）20﹣（﹣6）＝26（千克）． 故销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克； （3）+5﹣3﹣4+12﹣6+20+5＝29＞0， 故本周实际销量达到了计划销量． （29+150×7）×（6﹣1） ＝1079×5 ＝5395（元）． 答：小刘本周一共收入5395元． 故答案为：448． 【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具150个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为“+”、减产记为“﹣”，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 增减产值 +10 ﹣6 ﹣4 +8 ﹣1 （1）根据记录的数据可知，小明妈妈星期三生产玩具 　26　 个； （2）根据记录的数据，求小明妈妈本周实际生产玩具多少个？ （3）该厂实行每日计件工资制，每生产一个玩具可得工资8元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，求小明妈妈这一周的工资总额是多少？ （4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，那么小明妈妈这一周的工资与原来相比 　减少了　 （填“增加了”、“减少了”或“不变”）． 【答案】（1）26； （2）小明妈妈本周实际生产玩具157个； （3）小明妈妈这一周的工资总额是1288元； （4）减少了． 【分析】（1）根据正负数的意义可知该天生产的玩具比30个少4个； （2）用计划完成的150个加上每天生产个数出入数字的和即可； （3）根据整周生产的玩具数所得钱数再加上总超出任务数所得钱数即可； （4）根据整周生产的玩具数所得钱数再加上每天将或罚所得钱数即可 【解答】解：（1）30+（﹣4）＝30﹣4＝26（个）， 故答案为：26； （2）150+（+10﹣6﹣4+8﹣1） ＝150+7 ＝157（个）， 答：小明妈妈本周实际生产玩具157个； （3）8×157+3×（10+8）﹣2×（|﹣6|+|﹣4|+|﹣1|） ＝1256+3×18﹣2×11 ＝1256+54﹣22 ＝1288（元）， 答：小明妈妈这一周的工资总额是1288元； （4）157×8+3×（157﹣150） ＝1256+3×7 ＝1256+21 ＝1277（元）， ∵1277＜1288， ∴明妈妈这一周的工资与原来相比减少了， 故答案为：减少了． 【点评】此题考查了运用正负数的概念和绝对值解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 14．在数轴上表示出下列各数，并用“＜”号比较这四个数的大小． 3，﹣4，0.5，0． 【答案】﹣4＜0＜0.5＜3， 【分析】在数轴上表示有理数，解题时注意：比较有理数的大小可以利用数轴，从左到右的顺序，即从小到大的顺序． 【解答】解：如图所示：从左到右的顺序，即从小到大的顺序． ∴﹣4＜0＜0.5＜3． 【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，正确进行计算是解题关键． 15．给出下列各数：﹣1.5，0，﹣|﹣3|，，﹣（﹣2），3 （1）在这些数中，分数有　　 ，非负数有　0，﹣（﹣2），3　 ； （2）在数轴上表示这些数，并用“＜”把它们连接起来． 【答案】（1）；0，﹣（﹣2），3； （2）有理数表示在数轴上，． 【分析】（1）根据有理数的分类即可求解； （2）根据数轴上的点表示有理数，再根据数轴的特点从左往后依次增大即可求解． 【解答】解：（1）， 分数是：；非负数是：0，﹣（﹣2），3； 故答案为：；0，﹣（﹣2），3； （2）在数轴上表示这些数如图：， ∴． 【点评】本题主要考查有理数的分类，数轴的特点，掌握有理数的分类，数轴上点表示有理数是解题的关键． 16．数学课上，某小组调查了组内6位组员的身高，并以165厘米为标准，记录6位组员身高如表（超过165厘米记为“+”，不足165厘米记为“﹣”），请根据表中信息解决下列问题： 组员 1 2 3 4 5 6 组员身高与选定的身高标准的差/厘米 +5 ﹣12 +8 ﹣9 +6 ﹣4 （1）这6位组员中最高的是 　3　 号组员，最高的组员比最低的组员高 　20　 厘米； （2）根据以上数据，求这6位组员的平均身高． 【答案】（1）3，20；（2）164厘米． 【分析】（1）利用正数和负数的意义解答； （2）利用正数和负数的意义，有理数的混合运算法则计算． 【解答】解（1）8﹣（﹣12）＝20（厘米）， 这6位组员中最高的是 3号组员，最高的组员比最低的组员高 20厘米； 故答案为：3，20； （2）165+（5﹣12+8﹣9+6﹣4）÷6 ＝165+（﹣6）÷6 ＝165+（﹣1） ＝164（厘米）， 答：这6位组员的平均身高是164厘米． 【点评】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握正数和负数的意义． 17．已知数轴上的点A、B、C、D分别表示﹣3、﹣1.5、0、4． （1）请在数轴上标出A、B、C、D四个点； （2）B、D两点之间的距离是　5.5　 ； （3）如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点A、C、D分别表示的数是　﹣1.5，1.5，5.5　 ． 【答案】（1）见解析；（2）5.5；（3）﹣1.5，1.5，5.5． 【分析】（1）在数轴上描出四个点的位置即可； （2）根据两点之间的距离公式可求B、D两点的距离； （3）原点取在B处，相当于将原数加上1.5，从而计算即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）AD＝4﹣（﹣1.5）＝5.5． 故答案为：5.5． （3）把数轴的原点取在点B处，则： 点A表示的数为：﹣1.5， 点C表示的数为：1.5， 点D表示的数为：5.5， 故答案为：﹣1.5，1.5，5.5． 【点评】本题考查了数轴，用数轴上的点表示数是关键． 18．某日一辆交通巡逻车从甲地出发，在东西向的马路上巡逻，约定向东为正，向西为负，巡逻车从出发至收工所走的路线记录如下（单位：千米）：﹣8，+3，﹣6，+4，﹣9，+10，﹣3，+10，+5，﹣1． （1）收工时巡逻车距甲地多远？在甲地的什么位置？ （2）巡逻车在巡逻过程中，离开甲地最远是 　16　 千米； （3）若每千米耗油0.2升，该车这一次巡逻中共耗油多少升？ 【答案】（1）收工时距甲地5千米，在甲地的东面； （2）16； （3）该车这一次巡逻共耗油11.8升． 【分析】（1）将所有记录相加，根据结果判断即可； （2）分别计算出每次行走后距离甲地的路程，再判断； （3）将所有的记录的绝对值相加，再乘以每千米的耗油，可得结果． 【解答】解：（1）将所有记录相加可得：﹣8+3﹣6+4﹣9+10﹣3+10+5﹣1＝5（千米）， 答：收工时距甲地5千米，在甲地的东面； （2）（2）第一次：﹣8千米； 第二次：﹣8+3＝﹣5千米； 第三次：﹣5﹣6＝﹣11千米； 第四次：﹣11+4＝﹣7千米； 第五次：﹣7﹣9＝﹣16千米； 第六次：﹣16+10＝﹣6千米； 第七次：﹣6﹣3＝﹣9千米； 第八次：﹣9+10＝1千米； 第九次：1+5＝6千米； 第十次：6﹣1＝5千米； ∴巡逻车在巡逻过程当中，离开甲地最远是16千米； 故答案为：16； （3）将所有的记录的绝对值相加，再乘以每千米的耗油可得： （8+3+6+4+9+10+3+10+5+1）×0.2 ＝59×0.2 ＝11.8（升）， 答：该车这一次巡逻共耗油11.8升． 【点评】本题主要考查了正数和负数的意义，有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是根据每一问的问题列出相应算式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1. 有理数的概念 正负数：大于0的数为正数（“+”可省略），正数前加“-”的数为负数；0既不是正数也不是负数，是正负数的分界。 有理数分类： 按定义：有理数 = 整数（正整数、0、负整数）+ 分数（正分数、负分数，有限小数和无限循环小数属于分数）； 按符号：有理数 = 正有理数（正整数、正分数）+ 0 + 负有理数（负整数、负分数）。 相反意义的量：用正数和负数表示一对具有相反方向的量（如海拔“高于海平面为正，低于为负”、误差“超过为正，不足为负”）。 2. 数轴 三要素：原点、正方向（通常向右）、单位长度（统一），三者缺一不可。 关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定是有理数（如π）；数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数。 3. 相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数（如a与-a），0的相反数是0。 几何意义：数轴上关于原点对称的两点表示的数互为相反数（到原点距离相等）。 多重符号化简：正号可忽略，负号个数为奇数时结果为负，偶数时结果为正（奇负偶正）。 4. 绝对值 代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0（即）。 几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离（距离非负，故）。 非负性：若，则且（多个非负数和为0，各非负数均为0）。 5. 有理数大小比较 方法：数轴比较法（右大左小）、法则比较法（正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小）、作差法（）。 6. 有理数实际应用与规律探究 实际应用：误差判断（绝对值越小越接近标准）、行程位置（正负表示方向）、体重/视力标准（正负表示与标准的差值）。 规律探究：有理数排列规律（正负交替、循环）、数轴上点的动态规律（滚动、平移）、无限循环小数化分数（设x法）。 二、重难点突破 1. 重点 有理数的分类（尤其是“非负整数”“负分数”等易混概念）； 绝对值的化简（含字母的绝对值需结合符号判断）与非负性应用； 数轴与相反数、绝对值的结合（如两点距离计算：）。 2. 难点 含字母的绝对值化简（需分类讨论，根据绝对值内表达式正负划分区间）； 数轴上的动态问题（点的平移、滚动，结合距离与绝对值分析）； 有理数规律探究（从符号、数字部分提取规律，用n表示第n项）。 三、高频易错点警示 多重符号化简：漏数负号个数（如错算为4，实际负号个数为3，结果为-4）； 2. 带“非”字的分类：漏0（如“非负整数”=正整数+0，而非仅正整数；“非正数”=负数+0）； 3. 绝对值化简：忽略临界点（如化简时漏的情况，此时）； 4. 数轴画法：单位长度不统一、漏画原点或正方向； 5. 实际应用：混淆“超过”与“不足”的符号（如零件标准尺寸为10mm，超过记为正，不足记为负，易反写）。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】正负数的识别与相反意义的量 1. 知识点 正负数定义（正数>0，负数<0，0既非正也非负）； 相反意义的量：需明确基准量（如标准水位、标准质量），超过为正，不足为负。 2. 考点 识别给定数中的负数（如判断、-3、-25.8是否为负数）； 用正负数表示实际量（如海拔、误差、行程方向）。 3. 易错点 误将0归为正数或负数； 相反意义的量漏单位或方向（如“下降5米”记为-5，漏“米”）。 4. 解题技巧 识别负数：看数字前是否有“-”（注意“-0”仍为0，非负数）； 表示相反意义的量：先确定基准，再用“+”“-”区分方向（如“向北为正，则向南为负”）。 【例题1】．（2024-2025•东坡区校级开学）如果收入100元记作+100元，那么支出50元记作（　　） A．﹣50元 B．+50元 C．+100元 D．﹣100元 【变式题1-1】．（2024-2025•长春模拟）如果一个物体向右移动2米记作移动+2米，那么这个物体又移动了﹣2米的意思是（　　） A．物体又向右移动了2米 B．物体又向右移动了4米 C．物体又向左移动了2米 D．物体又向左移动了4米 【变式题1-2】．（2024-2025•信都区期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-3】．（2024-2025•旬阳市期末）下列各数中，属于负数的是（　　） A．﹣3 B．0 C． D．9 【题型2】有理数的分类 1. 知识点 有理数的定义：整数和分数统称为有理数，所有有理数都可以表示为（p、q为整数，q≠0）的形式。 有理数的两种分类方式： 按“定义”分类： 按“符号”分类： 特殊概念：①非负数：正数和0；②非正数：负数和0；③非负整数：正整数和0（即自然数）；④非正整数：负整数和0。 2. 考点 区分整数与分数（如判断、-0.5是否为负分数）； 将给定数填入对应集合（如负整数集合、非负数集合）。 3. 易错点 误将有限小数/无限循环小数排除在分数外（如-3.14是负分数）； 漏将0归入“非负整数”“非正有理数”等集合。 4. 解题技巧 先判断是否为有理数（排除无限不循环小数，如π）； 分类时遵循“不重不漏”，先标数的属性（如“-5”是负整数，“”是正分数）。 【例题2】．（2024-2025•平舆县校级期末）在﹣4，3.5，，，1，，1.2434434443…（两个3之间依次增加一个4）中，有理数的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式题2-1】．（2024-2025•冷水滩区校级开学）最大的负整数是　 　 ，最小的正整数是　 　 ． 【变式题2-2】．（2024-2025•马边县期末）下列关于有理数的描述 ①有限小数和循环小数都是有理数； ②0是非负有理数； ③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题2-3】．（2024-2025•大武口区期末）把下列各数分别填在相应的集合内． 2024，﹣1，﹣2.3，，3.1415926，0，，5%，﹣90， （1）正有理数集合：{ 　 　 …}； （2）负分数集合：{ 　 　 …}； （3）整数集合：{ 　 　 …}． 【题型3】数轴的识别与画法 1. 知识点 数轴三要素（原点、正方向、单位长度）； 有理数与数轴上点的对应关系（正数在右，负数在左）。 2. 考点 判断数轴画法是否规范（如是否漏原点、单位长度是否统一）； 在数轴上表示给定有理数（如表示-3、0、2.5）。 3. 易错点 单位长度不统一（如一段表示1，另一段表示2）； 负数在数轴上的位置画反（如-2画在-1右侧）。 4. 解题技巧 画数轴：先定原点，再标正方向（箭头向右），单位长度统一； 表示数：先找对应区间，再描点（如-1.5在-2与-1之间）。 【例题3】．（2024-2025•富锦市期末）四位同学画数轴如图所示，你认为正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式题3-1】．（2024-2025•梁山县期中）四位同学画的数轴如下，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式题3-2】．（2024-2025•临沭县校级月考）画出数轴，在数轴上表示下列各数． ﹣3，1.5，+3，﹣3.5，0，﹣2 【变式题3-3】．（2024-2025•思明区校级期中）画出数轴，并数轴上表示下列有理数：，﹣1，2.5． 【题型4】相反数的识别与求解 1. 知识点 相反数定义（只有符号不同的两个数，如2与-2）； 0的相反数是0，a的相反数是。 2. 考点 判断两个数是否互为相反数（如判断与-2024是否互为相反数）； 求一个数的相反数（含多重符号，如求的相反数）。 3. 易错点 求负数的相反数时符号错误（如认为-(-5)的相反数是-5）； 忽略0的相反数是0（误说“0没有相反数”）。 4. 解题技巧 求相反数：直接在数前加“-”号（如3的相反数是-3，-4的相反数是-(-4)=4）； 多重符号化简：先去正号，再数负号个数（奇负偶正）。 【例题4】．（2024-2025•清原县校级月考）﹣6的相反数是（　　） A．﹣6 B． C．6 D． 【变式题4-1】．（2024-2025•玄武区月考）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣1.01和 B．和﹣3 C．和 D．和0.25 【变式题4-2】．（2024-2025•南京模拟）a+2和b﹣3互为相反数，那么a+b＝ 　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025•礼县期末）x+2的相反数是﹣3，那么x＝　 　 ． 【题型5】绝对值的计算与基础化简 1. 知识点 绝对值的代数意义（正数绝对值是本身，负数是相反数，0是0）； 绝对值的非负性（）。 2. 考点 计算具体数的绝对值（如求、的值）； 比较两个数的绝对值大小（如比较与）。 3. 易错点 计算负数绝对值时符号错误（如）； 认为“绝对值等于本身的数是正数”（漏0）。 4. 解题技巧 计算绝对值：先判断数的正负，再按代数意义化简； 牢记“绝对值非负”：若结果为负，必为错误。 【例题5】．（2024-2025•攀枝花）2的绝对值是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．±2 【变式题5-1】．（2024-2025•兴平市期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a﹣c|+|b|的结果是（　　） A．﹣a﹣c B．2b﹣c C．2a﹣c D．﹣c 【变式题5-2】．（2024-2025•浦东新区校级三模）计算：|4﹣π|＝ 　 　 ． 【变式题5-3】．（2024-2025•汾阳市期末）如图a，b在数轴上的位置如图所示．化简：|c﹣a|+|a+b|﹣|b|结果是（　　） A．c B．c﹣2a C．﹣c D．c+2b 【题型6】有理数大小比较（提升） 1. 知识点 数轴比较法（右大左小）； 法则比较法（正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小）。 2. 考点 比较多个有理数的大小（如比较-1、0、2、-3的大小）； 比较两个负数的大小（如比较与）。 3. 易错点 比较两个负数时，直接看原数大小（如认为）； 用数轴比较时，混淆左右方向（左大右小）。 4. 解题技巧 多數比较：先分“正数、0、负数”三类，再分别比较（正数内部右大左小，负数内部绝对值大的反而小）； 两负数比较：先算绝对值，再比较绝对值（如，，故）。 【例题6】．（2024-2025•兴平市期末）今年12月份的某一天，西安、兴平、榆林、延安四个城市的最低气温分别是2℃，0℃，﹣16℃，﹣21℃，其中气温最低的是 　 　 ℃． 【变式题6-1】．（2024-2025•永善县期末）下列比较大小正确的是（　　） A．﹣|﹣5|＜+（﹣5） B． C． D． 【变式题6-2】．（2024-2025•增城区校级开学）把，，87%，这四个数，按从大到小的顺序排列，结果是：　 　 ＞　 　 ＞　 　 ＞　 　 ． 【变式题6-3】．（2024-2025•蓬溪县校级期末）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a+b＞0 【题型7】数轴上两点距离计算（提升） 1. 知识点 数轴上两点距离公式：若两点表示的数为a、b，则距离为； 距离的非负性（距离≥ 0）。 2. 考点 求已知两点的距离（如点A表示2，点B表示-3，求AB距离）； 已知距离求点的位置（如点A表示-2，点B与A距离为4，求B表示的数）。 3. 易错点 忽略距离非负性（如计算）； 已知距离求点时漏解（如只算右侧点，漏左侧点）。 4. 解题技巧 求距离：直接代入公式，先算差值再取绝对值； 求点的位置：分“在已知点左侧”（a - 距离）和“右侧”（a + 距离）两种情况，如A表示-2，B为-2+4=2或-2-4=-6。 【例题7】．|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣1|＝3，这样的整数是 　 　 ． 【变式题7-1】．（2024-2025•集贤县期末）数轴上表示数a和a+4的点到原点的距离相等，则a为 　 　 ． 【变式题7-2】．（2024-2025•邻水县期末）如图，点A在数轴上表示的数是3，点B到点A的距离是7个单位长度，则点B在数轴上表示的数是 　 　 ． 【变式题7-3】．（2024-2025•古蔺县校级期末）已知数轴上的两点A，B分别表示数﹣1，3，若点C与点A的距离为5个单位长度，则点C表示的数是　 　 ． 【题型8】多重符号化简（提升） 1. 知识点 多重符号化简规则：正号可全部省略，负号个数为奇数时结果为负，偶数时结果为正（奇负偶正）； 化简顺序：从内层括号开始，逐层化简。 2. 考点 化简含多个“+”“-”的表达式（如化简、）。 3. 易错点 漏数负号个数（如错算为4，实际负号个数为3，结果为-4）； 受正号影响（如认为“”结果为正）。 4. 解题技巧 步骤：先去掉所有“+”号，再数剩余负号个数； 验证：化简后可通过相反数定义验证（如，5的相反数是-5，与内层一致）。 【例题8】．认真思考，把下列各数前面的括号去掉． （1）﹣（+2.3）＝　 　 ； （2）﹣（﹣3.9）＝　 　 ； （3）+（+5）＝　 　 ； （4）﹣[﹣（﹣2）]＝　 　 ． 【变式题8-1】．（2024-2025•鹿邑县月考）化简下列各数． （1）﹣[﹣（﹣3）]； （2）； （3）． 【变式题8-2】．（2024-2025•南关区校级期中）化简： （1）﹣（+17）＝ 　 　 ； （2） 　 　 ； （3）+（+35）＝ 　 　 ； （4）+（﹣2.3）＝ 　 　 ； （5）﹣[﹣（﹣9）]＝ 　 　 ； （6）﹣[+（﹣75）]＝ 　 　 ． 【变式题8-3】．（2024-2025•西工区校级月考）化简： （1）﹣|﹣3|； （2）﹣（）； （3）﹣|﹣（﹣7.5）|； （4）﹣[﹣（）]． 【题型9】绝对值的非负性应用（提升） 1. 知识点 绝对值的非负性：（任何数的绝对值都不是负数）； 非负数性质：若，则且（多个非负数和为0，各非负数均为0）。 2. 考点 利用非负性求字母的值（如已知，求x、y）； 求代数式的值（如已知，求的值）。 3. 易错点 忽略绝对值非负性（如认为“有解”）； 多个非负数和为0时，漏求某个字母（如只求x，漏y）。 4. 解题技巧 识别非负表达式：含绝对值、平方的式子通常为非负； 列方程：若和为0，則每个非负部分均为0，列方程求解（如，）。 【例题9】．（2024-2025•垦利区校级月考）已知|x+1|+|y﹣3|＝0，求x和y的值． 【变式题9-1】．（2024-2025•马尾区校级期中）已知m，n满足|m﹣5|+|n﹣4|＝0，求m+n的值． 【变式题9-2】．（2024-2025•高陵区月考）若|2a﹣4|+|b﹣1|＝0，求a+b的值． 【变式题9-3】．（2024-2025•肇州县校级期中）已知：|x﹣2|+|y﹣3|＝0，求3x+4y的值． 【题型10】绝对值的分类讨论（培优） 1. 知识点 含字母的绝对值化简：需根据绝对值内表达式的正负性分类； 临界点：令绝对值内表达式为0，确定分类的分界点（如化简，临界点为x=3）。 2. 考点 化简含字母的绝对值（如化简，分x> -2、x=-2、x< -2）； 根据字母范围求绝对值表达式的值（如已知x<1，求）。 3. 易错点 漏找临界点（如化简时，只讨论x>2和x<2，漏x=2）； 分类区间重叠或遗漏（如将x> -2错写为x≥ -2）。 4. 解题技巧 步骤：①找临界点（令绝对值内表达式=0）；②分区间（按临界点划分3个区间：大于、等于、小于）；③定符号（每个区间内判断表达式正负，去绝对值）；④合并结果； 示例：化简：x> -2时，；x=-2时，；x< -2时，。 【例题10】．（2024-2025•复兴区期末）已知|x|＝3，y＝﹣（﹣2），求x+y的值． 【变式题10-1】．（2024-2025•湘桥区校级月考）已知|a|＝|﹣5|，|b|＝10，且b为负数，|c|＝﹣（﹣8）且c＞0求a，b，c的值． 【变式题10-2】．（2024-2025•利津县期中）若|a|＝5，|b|＝3． （1）若ab＜0，求a+b的值； （2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值． 【变式题10-3】．（2024-2025•温宿县期中）若|a|＝4，|b|＝1， （1）求a+b的值． （2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值． 【题型11】有理数实际应用综合（培优） 1. 知识点 误差判断：绝对值越小，越接近标准（如零件误差± 0.02mm，绝对值≤ 0.02为合格）； 行程与位置：正负表示方向，总里程取各段绝对值之和； 标准量问题：体重、视力等以标准为基准，正负表示与标准的差值。 2. 考点 判断实际量是否合格（如零件检测结果+0.031、-0.017，判断合格与否）； 计算总行程或总额（如出租车里程+9、-3，总里程为|+9| + |-3| + …）； 分析体重/视力是否达标（如视力与5.0的差值，绝对值>0.2需配镜）。 3. 易错点 混淆“超过”与“不足”的符号（如标准尺寸10mm，不足记为正）； 计算总里程时漏加绝对值（如将-3直接加，未取3）。 4. 解题技巧 误差判断：先算实际量与标准量的差值，再取绝对值，与允许误差比较（≤ 允许误差为合格）； 行程计算：总里程=各段里程的绝对值之和，总额=总里程× 单价； 标准量分析：先确定基准（如5.0为视力标准），再计算差值的绝对值，判断是否达标。 【例题11】．（2024-2025•尧都区期末）出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：km）如下： ﹣3，+5，﹣1，+1，﹣6，+2． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）若汽车耗油量为0.2L/km（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ （3）若出租车起步价为8元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.5元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【变式题11-1】．（2024-2025•新安县期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 　 　 单； （2）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （3）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【变式题11-2】．（2024-2025•子洲县期末）数学课上，某小组调查了组内6位组员的身高，并以165厘米为标准，记录6位组员身高如表（超过165厘米记为“+”，不足165厘米记为“﹣”），请根据表中信息解决下列问题： 组员 1 2 3 4 5 6 组员身高与选定的身高标准的差/厘米 +5 ﹣12 +8 ﹣9 +6 ﹣4 （1）这6位组员中最高的是 　 　 号组员，最高的组员比最低的组员高 　 　 厘米； （2）根据以上数据，求这6位组员的平均身高． 【变式题11-3】．（2024-2025•盐边县期末）在互联网技术的影响下，幸福新村的村民小刘在网上销售蜜柚，原计划每天卖150千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +5 ﹣3 ﹣4 +12 ﹣6 +20 +5 （1）根据表中的数据可知前三天共卖出 　 　 千克； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ （3）若每千克按6元出售，每千克蜜柚的运费为1元，那么小刘本周一共收入多少元？ 【题型12】有理数规律探究（培优） 1. 知识点 有理数排列规律：正负交替（如1、-1、1、-1…）、数字循环（如0.153153…）； 数轴规律：点的滚动（如圆周长4，滚动后点的位置循环）、平移（左减右加）； 无限循环小数化分数：设x法（如0.，设x=0.777…，10x=7.777…，相减得9x=7，x=）。 2. 考点 根据规律写第n个数（如1、-2、3、-4…，第n个数为）； 求循环小数对应的分数（如0.化为分数）； 数轴上点的规律位置（如圆滚动后，1949对应的点）。 3. 易错点 找不到规律核心（如正负交替忽略符号规律，只看数字）； 4. 解题技巧 数字规律：观察差值（等差）、比值（等比）或循环周期（如周期为3，用n÷ 3的余数判断）； 【例题12】．（2024-2025•金水区校级期末）正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是　 　 ． 【变式题12-1】．（2024•兴宁区校级开学）数轴上有A对应的数是﹣1，一只蚂蚁从点A出发，第一次先沿数轴负方向爬2个单位，第二次沿正方向爬4个单位，第三次沿负方向爬6个单位，第四次沿正方向爬8个单位，按此规律，当蚂蚁爬完100次时，停在了点B处．如图，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A'落在点B的右边，且A'B＝8，则点C表示的数是 　 　 ． 【变式题12-2】．（2024-2025•郸城县月考）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用． （1）应用一：①若数轴上有A，B，C三个点，表示的数分别是﹣4，﹣2，3， 则B，C两点之间的距离为 　 　 ，A，C两点之间的距离为 　 　 ； ②|x+2|在数轴上可以理解为 　 　 ． （2）应用二： ①数轴上表示数a的点位于﹣3和2之间，则|a+3|+|a﹣2|的值为 　 　 ． ②对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值（请写清楚过程）；如果没有，请说明理由． （3）应用三： 如果在原点处有一只电子小青蛙，跳1步为1个单位长度．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，……，按此规律继续跳下去，那么第100次时，应再向 　 　 跳 　 　 步，此时落脚点表示的数是 　 　 ． 【变式题12-3】．（2024-2025•辽中区期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，． 解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10 线段AB的中点表示的数为 当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t ∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）| 当时， ∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5 解得，t＝1或t＝3 ∴当t为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求当t为何值时，； 【综合运用】 （2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合； 【拓展提升】 （3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长． 【题型13】有理数新定义（培优） 【例题13】．（2024-2025•庐江县校级期末）定义[a]表示不超过a的最大整数，如[2.1]＝2，[﹣3.8]＝﹣4，定义b＝a﹣2[a]． （1）当a＝5.5时，b＝　 　 ． （2）当2.5＜a≤3.5时，b的范围是　 　 ． 【变式题13-1】．（2024-2025•祁东县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a﹣b|﹣|a+b|，当a，b在数轴上的位置如图所示时，则a⊙b＝　 　 ． 【变式题13-2】．（2024春•漳平市期中）若定义：μ{a，b}＝（a，﹣b），v[m，n]＝（﹣m，n）， 例如μ{1，2}＝（1，﹣2），v[3，4]＝（﹣3，4）， 则μ{ν[2，﹣3]} 　 　 ． 【变式题13-3】．（2024-2025•昆都仑区期末）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道|4﹣2|表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离：|4+2|＝|4﹣（﹣2）|，所以|4+2|表示4与﹣2在数轴上对应的两点之间的距离；|4|＝|4﹣0|，所以|4|表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|． 回答问题： （1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离是 　 　 ；数轴上表示x与2的两点之间的距离是 　 　 ； （2）若|m﹣2|＝3，求m的值； （3）若|n﹣2|+|n+3|＝5，写出整数n的值； （4）若代数式|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，请直接写出a的值． 同步练习 一．选择题（共6小题） 1．若悉尼时间比北京时间早2小时，记为+2时．则巴黎时间比北京时间晚7小时，应记为（　　）时． A．+9 B．﹣9 C．+7 D．﹣7 2．﹣2025的相反数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a+b＞0 4．下列各数中，属于负数的是（　　） A．﹣3 B．0 C． D．9 5．如图所示，数轴上点A，M，B分别表示数a+b，a，2a，若AM＞BM，则下列运算结果一定是正数的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|+b 6．如图，数轴上的点A，B对应有理数a，b，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．﹣a＜b C．|a|＞b D．a＜﹣b 二．填空题（共4小题） 7．若某次数学考试标准成绩定为85分，规定高于标准记为正，小王同学的成绩记作：+8分，则他的实际得分为　 　 分． 8．已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　 　 ． 9．比较大小： 　 　 ． 10．若|x|＝5，则x＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 11．有理数a、b、c在数轴上的位置如图． （1）判断正负，用“＜”或“＞”填空：a﹣b 　 　 0；a+c 　 　 0；c﹣b 　 　 0； （2）化简：|a﹣b|+|a+c|﹣2|c﹣b|． 12．在互联网技术的影响下，幸福新村的村民小刘在网上销售蜜柚，原计划每天卖150千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +5 ﹣3 ﹣4 +12 ﹣6 +20 +5 （1）根据表中的数据可知前三天共卖出 　 　 千克； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ （3）若每千克按6元出售，每千克蜜柚的运费为1元，那么小刘本周一共收入多少元？ 13．小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具150个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为“+”、减产记为“﹣”，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 增减产值 +10 ﹣6 ﹣4 +8 ﹣1 （1）根据记录的数据可知，小明妈妈星期三生产玩具 　 　 个； （2）根据记录的数据，求小明妈妈本周实际生产玩具多少个？ （3）该厂实行每日计件工资制，每生产一个玩具可得工资8元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，求小明妈妈这一周的工资总额是多少？ （4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，那么小明妈妈这一周的工资与原来相比 　 　 （填“增加了”、“减少了”或“不变”）． 14．在数轴上表示出下列各数，并用“＜”号比较这四个数的大小． 3，﹣4，0.5，0． 15．给出下列各数：﹣1.5，0，﹣|﹣3|，，﹣（﹣2），3 （1）在这些数中，分数有　 　 ，非负数有　 　 ； （2）在数轴上表示这些数，并用“＜”把它们连接起来． 16．数学课上，某小组调查了组内6位组员的身高，并以165厘米为标准，记录6位组员身高如表（超过165厘米记为“+”，不足165厘米记为“﹣”），请根据表中信息解决下列问题： 组员 1 2 3 4 5 6 组员身高与选定的身高标准的差/厘米 +5 ﹣12 +8 ﹣9 +6 ﹣4 （1）这6位组员中最高的是 　 　 号组员，最高的组员比最低的组员高 　 　 厘米； （2）根据以上数据，求这6位组员的平均身高． 17．已知数轴上的点A、B、C、D分别表示﹣3、﹣1.5、0、4． （1）请在数轴上标出A、B、C、D四个点； （2）B、D两点之间的距离是　 　 ； （3）如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点A、C、D分别表示的数是　 　 ． 18．某日一辆交通巡逻车从甲地出发，在东西向的马路上巡逻，约定向东为正，向西为负，巡逻车从出发至收工所走的路线记录如下（单位：千米）：﹣8，+3，﹣6，+4，﹣9，+10，﹣3，+10，+5，﹣1． （1）收工时巡逻车距甲地多远？在甲地的什么位置？ （2）巡逻车在巡逻过程中，离开甲地最远是 　 　 千米； （3）若每千米耗油0.2升，该车这一次巡逻中共耗油多少升？ 学科网（北京）股份有限公司 $