精品解析：上海市建平中学西校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

上海市建平中学西校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 一、选择题 1. 已知线段a、b、c，求作第四比例线段x，下列作图正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中, 说法正确的是（ ） A. 所有菱形都相似 B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似 C. 三角形的重心到一个顶点的距离, 等于它到这个顶点对边距离的两倍 D. 斜边和直角边对应成比例, 两个直角三角形相似 5. 如图, 点 是线段 的中点, , 下列结论中, 说法错误的是（ ） A. 与 相似 B. 与 相似 C. D. 6. 如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 已知 , 那么 的值为______． 8. 在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为______千米． 9. 点C是线段的黄金分割点（），若，则_______ 10. 如果两个相似三角形周长之比为 , 那么这两个三角形的面积之比为_______． 11. 点是的重心，过点作边的平行线与边交于点，与边交于点，则______． 12. 如图，中，点、、分别在边、、上，且，，若，的面积为，则四边形的面积为_____________． 13. 如图，在平行四边形中，是边的中点，点在边上，且，与相交于点．则的值为____________． 14. 如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于________． 15. 定义: 在 中, 点 和点 分别在 边、 边上, 且DE//BC，点 点 之间距离与直线 与直线 间的距离之比称为 关于 的横纵比. 已知, 在 中, 上的高长为 关于 的横纵比为 , 则 _______． 16. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____． 17. 如图，在中，，，将绕点旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，如果点恰好在线段的延长线上，那么边的长等于_____． 18. 如图, 在 中，， 点 分别在 边和 边上，沿着直线 翻折 ，点 落在 边上，记为点 ，如果 ，则 _______． 三、解答题 19. 已知：，求的值． 20. 如图，是平行四边形的边上一点，交的延长线于点若，求的长． 21. 在梯形中，，、在、上，且． （1）求证：． （2）若，，，求的值． 22. 如图，已知，AD、BC相交于点E，，，，连接AC． （1）求线段CD的长； （2）如果，求线段AC的长． 23. 已知：如图，在中，，，垂足为点D，E为边AC上一点，联结BE交CD于点F，并满足．求证： （1）； （2）过点C作，交BE于点G，交AB于点M，求证：． 24. 已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足． （1）求证： （2）求证： 25. 如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接，与对角线、边分别交于点、．设，． （1）求证：； （2）求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接，当与相似时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市建平中学西校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷 一、选择题 1. 已知线段a、b、c，求作第四比例线段x，下列作图正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段， ∴， A、根据作图可知，故本选项错误； B、无法先作出线段x，故本选项错误； C、无法先作出线段x，故本选项错误； D、根据作图可知，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用． 2. 已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵是线段的黄金分割点，且， ∴， A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解决本题的关键是掌握黄金分割定义把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点)． 3. 如图，已知，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例可求得的长，则由线段的差即可求得结果． 【详解】， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键． 4. 下列命题中, 说法正确的是（ ） A. 所有菱形都相似 B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似 C. 三角形的重心到一个顶点的距离, 等于它到这个顶点对边距离的两倍 D. 斜边和直角边对应成比例, 两个直角三角形相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质，相似三角形的判定，三角形重心的性质逐项分析判断即可 【详解】解：A. 所有菱形不一定相似，故该选项不正确，不符合题意； B. 两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，故该选项不正确，不符合题意； C. 三角形的重心到一个顶点的距离, 等于它到这个顶点对边中点距离的两倍，故该选项不正确，不符合题意； D. 斜边和直角边对应成比例, 两个直角三角形相似，故该选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定，三角形重心的性质，掌握以上知识是解题的关键． 5. 如图, 点 是线段 的中点, , 下列结论中, 说法错误的是（ ） A. 与 相似 B. 与 相似 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据外角的性质可得，结合已知条件即可证明，从而判断A，进而可得，根据是中点，代换，进而根据两边成比例夹角相等可证，进而判断B，C，对于D选项，利用反证法证明即可． 【详解】解：， 又 故A选项正确 为的中点 又 故B、C选项正确 若 则 根据现有条件无法判断，故 故D选项不正确 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6. 如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 二、填空题 7. 已知 , 那么 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质求得，代入代数式求值即可 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 8. 在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为______千米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺正确进行计算并注意单位的转换是解题的关键．因为比例尺图上距离：实际距离，根据题意列出关系式即可得出实际的距离． 【详解】解：因为比例尺图上距离：实际距离， 设两地实际距离为厘米，得：， 所以相距5厘米的两地的实际距离是（厘米）（千米）， 故答案为：0.5． 9. 点C是线段的黄金分割点（），若，则_______ 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查黄金分割，根据黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴， 解得：，负值已舍去． 故答案为． 10. 如果两个相似三角形周长之比为 , 那么这两个三角形的面积之比为_______． 【答案】9:4## 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行求解即可 【详解】解：两个三角形的周长比为3:2， 两个三角形的相似比为3:2， 两个三角形的面积比即为9:4 故答案为：9:4． 【点睛】本题考查相似三角形的面积比，本题难度不大，主要是掌握相似三角形面积比等于边长的平方比． 11. 点是的重心，过点作边的平行线与边交于点，与边交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关知识是解题的关键．连接交于点，连结交于点，连结，由点是的重心，可得，，易证，可得，再由可得和，由相似三角形的性质及是的中点进而得到，从而得解． 【详解】解：如图，连接交于点，连结交于点，连结， 点是的重心， 点和点分别是和的中点， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ， 是的中点， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，中，点、、分别在边、、上，且，，若，的面积为，则四边形的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的面积比与相似比的关系解答有关三角形的面积问题．由，， 得到， ，从而得到，，根据，得到，，从而求出和的面积，最后根据求解即可． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ，， ， ，， ，， ． 故答案为： ． 13. 如图，在平行四边形中，是边的中点，点在边上，且，与相交于点．则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，过中点作平行线构造相似三角形是解题的关键．过点作交于点，可知，得到，结合是边的中点，得到， ，根据四边形为平行四边形， 得到， ，进而得到，从而证明，得到， 结合已知，，进行等量代换即可得解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ， ， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即的值为． 故答案为： ． 14. 如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一线三等角证明，列出比例式代入数值计算即可． 【详解】△ABC为等边三角形， ， ∠ADE＝60°， , BD：DC＝1：2，AD＝2， 设 则 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 定义: 在 中, 点 和点 分别在 边、 边上, 且DE//BC，点 点 之间距离与直线 与直线 间的距离之比称为 关于 的横纵比. 已知, 在 中, 上的高长为 关于 的横纵比为 , 则 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意作出图形，由平行可得相似，列出比例式，设，则，代入数值求解即可． 【详解】如图，于，交于点， ， ， 关于 的横纵比为 ， 设，则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，理解横纵比的定义是解题的关键． 16. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵D为AB中点， ∴，即， 取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，， ∴， 在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则， ∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠C=60°，BC＝， ∵DE1∥BC， ∴∠DE1E2=60°， ∴△DE1E2是等边三角形， ∴DE1＝DE2＝E1E2＝， ∴E1E2＝， ∵， ∴，即， 综上，的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键． 17. 如图，在中，，，将绕点旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，如果点恰好在线段的延长线上，那么边的长等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论，熟练掌握旋转的性质定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 将绕点旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，，，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图, 在 中，， 点 分别在 边和 边上，沿着直线 翻折 ，点 落在 边上，记为点 ，如果 ，则 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，设，则，，解直角三角形即可求得，即的值 【详解】解：如图，过点作于点 在 中，， ， 是等腰直角三角形 = 设，则， 沿着直线翻折，点落在边上，记为点， 在中， 即 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题 19. 已知：，求的值． 【答案】. 【解析】 【分析】设比值为k，用k表示出x、y、z，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：设，则x=2k，y=4k，z=5k， ∴. 考点：1.比例的性质；2. 待定系数法的应用． 20. 如图，是平行四边形的边上一点，交的延长线于点若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，要求AE的长，结合平行四边形的性质，只需求得AE：CD的值，根据平行线分线段成比例定理，可得AE：CD=AF：DF，从而进行计算． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴， 又∵，AB=4， ∴， ∴AE=. 【点睛】本题综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理，难度不大. 21. 在梯形中，，、在、上，且． （1）求证：． （2）若，，，求的值． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接并延长与的延长线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，等比的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相关知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接并延长与的延长线交于点，根据，得到，从而得到，结合已知，得到，再结合公共角相等且为夹角，从而证明，得到，根据同位角相等，两直线平行，从而得证结论； （2）由，得到，，由，可求解出的长，由，可求解出的长，最后根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ，即， ， ， ，即， ， ． 22. 如图，已知，AD、BC相交于点E，，，，连接AC． （1）求线段CD的长； （2）如果，求线段AC的长． 【答案】（1）CD=；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用线段的和差关系可求出CE的长，由AB//CD可得△ABE∽△DCE，根据相似三角形的性质即可得答案； （2）由AB、BE、BC的长可得，即可证明△ABE∽△CBA，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】∵BC=9，BE=4， ∴CE=5， ∵AB//CD， ∴△ABE∽△DCE， ∴，即， 解得：CD=． （2）∵，，， ∴=， ∵∠B为△ABE和△CBA的公共角， ∴△ABE∽△CBA， ∴，即， 解得：AC=． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 23. 已知：如图，在中，，，垂足为点D，E为边AC上一点，联结BE交CD于点F，并满足．求证： （1）； （2）过点C作，交BE于点G，交AB于点M，求证：． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∵， ∴∠BDC= ∴ ∵， ∴∠A+∠ABC=90°，∠DCB+∠ABC=90°， ∴∠A=∠DCB ∵∠CBD=∠CBD ∴ ∴． （2） 证明：∵ ∴∠A=∠CBE ∵ ∴∠DCB=∠CBE ∵∠AEB=∠CBE+∠BCE,∠CFM=∠CDA+∠FMD ∴∠AEB=∠CFM ∵CG⊥BE，CD⊥AB，∠CFD=∠DFB ∴∠MCF=∠FBD ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）由可得可得,然后再说明,即可证明结论； （2）说明即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解答本题的关键． 24. 已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足． （1）求证： （2）求证： 【答案】（1） 证明：∵DFBC， ∴ ， ∴， ∵AB⋅AF=DF⋅BC， ∴， ∴， ∵∠AFE=∠DFA， ∴△AEF∽△DAF， ∴∠AEF=∠DAF； （2） 证明：∵ABCD， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵DFBC，ABCD， ∴四边形DFBC是平行四边形， ∴DF=BC， ∴， ∵DFBC， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据DFBC，得，由AB⋅AF=DF⋅BC，得，∠AFE=∠DFA，可证△AEF∽△DAF，即可得答案； （2）根据ABCD，得，由，得，再证四边形DFBC是平行四边形，得，最后根据DFBC，即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，做题的关键是相似三角形性质的灵活运用． 25. 如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接，与对角线、边分别交于点、．设，． （1）求证：； （2）求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接，当与相似时，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形，，， ，，， ， ，即， ， ， ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及，利用同角的余角相等得到，从而可证明； （2）根据得到，从而用，表示出、、、，易证，得到，将对应线段长代入整理即可得解； （3）延长交于点，根据，得到，，进而得到，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，结合正切的定义，分别列出比例式求出的值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ， ， ，，， 在矩形中，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，延长交于点， ， ， ， ， ， ， 若， ， ，即， 化简得， ， ， 化简得， 解得或（舍去）， 若，则有， ， ， ，即， ， ， ， ， 又， ， ，即， 整理得：， ， ，整理得：， ，（不符合题意，舍去）； 综上，当与相似时，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，函数关系式，正切的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $