精品解析：吉林省长春市九台区第二十二中学2025-2026学年上学期第一次月考九年数学试卷

九年级第一次月考试卷数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：，被开方数是分数，不满足最简二次根式的被开方数是整数这一条件，所以不是最简二次根式，故不符合题意； B项：被开方数6是整数，且6不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，所以是最简二次根式，符合题意； C项：，被开方数32含有能开得尽方的因数16，不满足最简二次根式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这一条件，所以不是最简二次根式，故不符合题意； D项：被开方数是分数，不满足最简二次根式被开方数的因数是整数这一条件，所以不是最简二次根式，故不符合题意． 故选：B． 2. 下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； B、当时，方程不是一元二次方程，故不符合题意； C、方程化为，不一元二次方程，故不符合题意； D、方程即是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 3. 从“”中选择一种运算符号，填入算式“”的“”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别填入四个运算符号，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，结果为无理数，不符合题意； B、，结果为有理数，符合题意； C、，结果无理数，不符合题意； D、，结果为无理数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 4. 若是方程的一个根，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．将方程的根代入方程，通过计算求出的值． 【详解】解：把代入方程，得， ， ， ， 故选：D． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，逐一验证各选项的正确性解答即可． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 与的被开方数不同，无法合并，错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，正确，符合题意； D. ，错误，不符合题意， 故选：C． 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将移项配方即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， A. ，符合： B. ，不符合： C. ，不符合： D. ，不符合： 故选：A． 7. 初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．每两名成员之间互相赠送一张卡片，即每对成员之间交换两张卡片．总卡片数等于成员数乘以每人赠送的卡片数，再考虑互赠关系即可建立方程． 【详解】解：设兴趣小组有人，每名成员需要给其他人各赠送一张卡片，因此每人赠送张卡片．全组共有人，总赠送卡片数为． 根据题意，总卡片数为306张，故方程为， 故选：B． 8. 实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键．根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个相等的实数根． 【详解】解：由题可得：方程化为， 即， ∵， ∴方程没有实数根， 故选D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 一元二次方程的根的判别式的值是________． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．把，，直接代入计算即可． 【详解】解：∵方程中，，， ∴． 故答案为：28． 10. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，即几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，所以让的被开方数等于的被开方数，进而求解． 【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以， 解得． 故答案为：． 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为______（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了方程有根的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据题意，得，自主选择一个该范围内的数即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 故答案为：2（答案不唯一）． 12. 将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2， 化成的一般形式为， 一次项系数为， 故答案为：． 13. 如图，团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为，宽为长方形扇面，求这个长方形扇面的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的应用，根据长方形面积计算公式进行二次根式的乘法运算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 14. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义、根的判别式等知识，对每个说法逐一进行分析判断． 【详解】解：①若，则是方程的一个根，所以方程有实数根，故，①正确． ②若是方程的一个根，则，当时，；当时，，则不一定等于，②错误． ③若，则当时，，所以它有一个根是，③正确． ④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则，即．对于方程，其判别式，因为，，所以，故方程必有两个不相等的实数根，④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键．先分别根据二次根式的乘法法则和除法法则计算式子中的乘除部分，再进行减法运算． 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键；根据先算乘方，再算乘除，然后算加减的运算顺序求解即可． 【详解】解：原式 ． 17. 用因式分解法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法解方程，即可作答． 【详解】解： 即 解得， 18. 小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 【答案】不正确；见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，掌握其运算法则是关键，根据二次根式的除法运算法则，先算出括号里的式子，再算乘除，由此即可求解． 【详解】解：不正确，正确解答过程为： ． 19. 随着我国科技水平不断提升，新能源汽车在消费市场中的渗透率持续攀升．某品牌汽车去年第一季度的销量为万辆，第三季度的销量为万辆．求该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设平均季度增长率为，根据题意列出一元二次方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设平均季度增长率为． 根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率为． 20. 如图，长方形的长为，宽． （1）长方形的周长是多少? （2）在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 【答案】（1）长方形的周长为 （2）剩余部分的面积为 【解析】 【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式，利用二次根式混合运算顺序进行计算即可； （2）用长方形的面积减去正方形的面积列式，利用二次根式的混合运算进行计算即可． 【小问1详解】 长方形ABCD的周长为： 【小问2详解】 剩余部分的面积为： 21. 已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可； （2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程有实根， ， 即， ， ； 【小问2详解】 解：取最大整数， ， 原方程为， ∴， 解得：． 22. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边_____，_____； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子） 【答案】（1）20，40 （2）不能 【解析】 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用： （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设出高，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 故答案为：20；40； 【小问2详解】 解：设收纳盒高为， 依题意得： 整理得：， 解得：（不符合题意舍去） ∴收纳盒长、宽、高分别为， ∵， ∴玩具机械狗不能放入该收纳盒． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加1000个． （1）若售价下降1元，每月能售出_____个头盔，若售价下降x元，每月能售出_____个头盔； （2）为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价； （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 【答案】（1）800， （2）每个头盔的售价为37元 （3）月获利不能达到9600元，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个头盔降价x元，根据每个头盔的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【小问1详解】 ∵售价每下降5元，其月销售量就增加1000个 ∴售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降1元，每月能售出个头盔， 若售价下降x元，每月能售出个头盔； 故答案为：800，； 【小问2详解】 解：设每个头盔降价x元， ． 整理，得 解得，． 因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元， 但是实际销量要够卖，需小于等于1210个， 当时，（舍去） 当时，，可取， （元） 答：每个头盔的售价为37元． 【小问3详解】 月获利不能达到9600元，理由如下： 设每个头盔降价x元， 则． 整理，得 ∵．方程无实数根． 答:月获利不能达到9600元． 24. 在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒． （1）求的面积； （2）如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值； （3）如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）t的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据三角形的面积公式求出的面积， （2）根据题意可得，，然后再与的面积和是的面积的，列出方程、解方程即可解答； （3）根据不同时间段分三种情况进行解答即可． 【小问1详解】 中，，， ∴， 小问2详解】 ，， 与面积和， 与的面积和是的面积的， ， 解得，； 【小问3详解】 ，， ， ①如图，当时，， 解得： ， 不合题意，舍去， ②如图，当时， 解得： 不合题意，舍去， 不合题意，舍去， ③如图，当时， ， 解得： ， 不合题意，舍去， 综上，的值为或时，重叠面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次月考试卷数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 从“”中选择一种运算符号，填入算式“”的“”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的一个根，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A B. C. D. 7. 初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C D. 8. 实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 一元二次方程的根的判别式的值是________． 10. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为______（写出一个即可）． 12. 将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为___________． 13. 如图，团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为，宽为长方形扇面，求这个长方形扇面的面积为___________． 14. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是________（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 用因式分解法解方程：． 18. 小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 19. 随着我国科技水平不断提升，新能源汽车在消费市场中渗透率持续攀升．某品牌汽车去年第一季度的销量为万辆，第三季度的销量为万辆．求该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率． 20. 如图，长方形的长为，宽． （1）长方形的周长是多少? （2）在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 21. 已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 22. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边_____，_____； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子） 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加1000个． （1）若售价下降1元，每月能售出_____个头盔，若售价下降x元，每月能售出_____个头盔； （2）为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价； （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 24. 在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒． （1）求的面积； （2）如图①，过点作、交于点、若与面积和是的面积的，求的值； （3）如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $