精品解析：黑龙江大庆景园中学2025-2026学年九年级（五四制）上学期开学检测数学试题

大庆市景园中学2025—2026学年度第一学期假期验收 初四年级 数学试题 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置 2、答题注意事项： （1）答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． （2）回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑． （3）非选择题答案用黑色中性笔写在答题卡上． 3、考试时间120分钟 4、全卷共三道大题，26小题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 每一条对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 4. 某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来162元涨到200元，设平均每次涨价的百分比为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 菱形的一个内角是，边长是，则这个菱形的较长的对角线长是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，都在反比例函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作的位似图形，与相似比为，若点A的坐标为，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点О在原点，A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数图象交AB边于点D，交BC边于点E，连接EO并延长，交的图象于点F，连接DE，DO，DF，若，，则k的值等于（ ） A. 3 B. 4.6 C. 6 D. 8 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若2x＝3y，且x≠0，则的值为____． 12. 已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是____． 13. 若关于x的一元二次方程的一个根为1，则k的值为__________. 14. 如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于E、F，则阴影部分的面积是________． 15. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3、x2=1，那么这个一元二次方程是________． 16. 图，在中，，平分交于点，则的面积与的面积之比为__________． 17. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是________． 18. 如图，，，为的中点，，，将绕点旋转，连接，交于点，连接，则的最大值__________． 二、解答题（共66分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 20. 计算 （1） （2） 21. 已知：关于x的方程，有两个不相等的实数根， （1）求实数m的取值范围， （2）若方程的两个实数根满足，求出符合条件的m的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且相似比为． （2）画出，使得它与关于点中心对称，并写出的坐标． 23. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°． （1）求河的宽度； （2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 24. 某单位食堂为全体960名职工提供了A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为_______，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为_______°； （2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数； （3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求恰好选中甲和乙的概率． 25. 某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出500件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元. （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润8000元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 函数与的图象交于点和两点． （1）求和的值； （2）不等式的解集为__________； （3）将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点．若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市景园中学2025—2026学年度第一学期假期验收 初四年级 数学试题 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置 2、答题注意事项： （1）答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． （2）回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑． （3）非选择题答案用黑色中性笔写在答题卡上． 3、考试时间120分钟 4、全卷共三道大题，26小题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的整式方程，根据定义即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不属于一元二次方程，故不符合题意； B、二次项系数如果为，则不属于一元二次方程，故不符合题意； C、不是整式方程，不属于一元二次方程，故不符合题意； D、属于一元二次方程，故符合题意． 故答案为：D． 2. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， ∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6， 则它一定还经过（1，﹣6）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3. 矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 每一条对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形、菱形和正方形的性质，根据矩形、菱形和正方形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：矩形、菱形和正方形都具有的性质是对角线互相平分， 故选：． 4. 某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来162元涨到200元，设平均每次涨价的百分比为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平均每次涨价的百分比为x，则第一次涨价后的价格为：元，第二次涨价后的价格为：元，从而可得答案． 【详解】解：设平均每次涨价的百分比为x，则 故选： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用的增长率问题是解题的关键． 5. 菱形的一个内角是，边长是，则这个菱形的较长的对角线长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，如图，根据题意可得是等边三角形，则，由菱形的性质得到，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故这个菱形较长的对角线长是． 故选：C． 6. 已知点，，都在反比例函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：， ∴图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 7. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，得出蜡烛火焰的高度与像的高度的比值为，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 设所成的像的高度为 由题意可得：， 解得：， ∴所成的像的高度为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，理清题意，正确得出比例关系是解题关键． 8. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活利用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项即可． 【详解】解：∵是公共角，∴再加上或都可判定，不符合题意，即A、B都不符合题意； ∵是公共角，再加上，即可判定，则选项D不符合题意；选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，不能，符合题意． 故选C． 9. 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作的位似图形，与相似比为，若点A的坐标为，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案． 【详解】解：在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，A坐标为， ∴则点的坐标为：； 不在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，A坐标为， ∴则点的坐标为：， 故选：B． 【点睛】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点О在原点，A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数图象交AB边于点D，交BC边于点E，连接EO并延长，交的图象于点F，连接DE，DO，DF，若，，则k的值等于（ ） A. 3 B. 4.6 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由反比例函数图象的中心对称性质，则OE=OF，由四边形OABC为正方形，可得OA=OC，∠OCA=∠OAB=90°由点E，D在反比例函数图像上，可证CE=AD，可证△OCE≌△OAD（SAS）可得OE=OD=OF，由中线性质S△ODE=S△ODF=8，由，可知CE，BE=设正方形的边长为m，利用正方形面积构造方程，求出进而求 即可． 【详解】解：由反比例函数图象的中心对称性质， 则OE=OF， ∵四边形OABC为正方形， ∴OA=OC，∠OCA=∠OAB=90°， 由点E，D在反比例函数图像上， ∴CE=AD=， 在△OCE和△OAD中， ， ∴△OCE≌△OAD（SAS）， ∴OE=OD=OF， ∴S△ODE=S△ODF=8， ∵， ∴CE=，BE=， 设正方形的边长为m， S正方形OABC=2S△OCE+S△BED+S△OED， 即m2=2×， ∴， ∵点E在反比例函数图像上E（）， ∴． 故选择：C． 【点睛】本题考查反比例函数性质，正方形性质，三角形中线性质，掌握反比例函数性质，正方形性质，三角形中线性质，掌握关键是抓住正方形面积构造方程． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若2x＝3y，且x≠0，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】先用y表示x，再代入分时求解即可. 【详解】∵2x=3y ∴x=, ∴===. 【点睛】本题主要考查分式求值，掌握代入消元法以及分式的基本性质是解此类题的关键. 12. 已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】分析:由y随x的增大而减小可知k+1>0，解这个不等式可求出么k的取值范围. 解: ∵当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴k+1>0， ∴k>-1. 故答案为k>-1. 点睛: 本题考查了反比例函数的图像与性质，对于反比例函数，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大. 13. 若关于x的一元二次方程的一个根为1，则k的值为__________. 【答案】0 【解析】 【详解】把x＝1代入方程得，， 即， 解得. 此方程为一元二次方程， ， 即， 故答案为0. 14. 如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于E、F，则阴影部分的面积是________． 【答案】1 【解析】 【分析】证明，可推出阴影面积等于的面积． 【详解】解：在正方形中， ，， ∴，又， ∴， ， 阴影面积． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大，会把两个阴影面积转化到一个图形中去． 15. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3、x2=1，那么这个一元二次方程是________． 【答案】x2﹣4x+3=0 【解析】 【分析】由根与系数的关系求得p，q的值． 【详解】解：方程两根分别为x1=3，x2=1， 则x1+x2=﹣p=3+1=4，x1x2=q=3 ∴p=﹣4，q=3， ∴原方程为x2﹣4x+3=0． 故答案为：x2﹣4x+3=0． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟悉其公式是解决本题的关键． 16. 图，在中，，平分交于点，则的面积与的面积之比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即的面积与的面积之比为． 故答案为：． 17. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连结OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， 而S△OAB＝|k|， ∴|k|＝3， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 18. 如图，，，为的中点，，，将绕点旋转，连接，交于点，连接，则的最大值__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、，则，在中，利用勾股定理直接求解的长，根据同角的余角相等证得，结合，从而证明，得到，进而得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中位线的性质分别求出、的长度，进而得解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接、， 则， ，，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 又是的中点， ， 为的中点，是的中点， ， 的最大值是． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键． 二、解答题（共66分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）， （3） （4）， 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； （3）利用公式法即可求解； （4）利用配方法即可求解； 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ， ． 【小问4详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 20. 计算 （1） （2） 【答案】（1）1 （2）3 【解析】 【分析】本题考查实数的运算以及特殊三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）利用特殊角的三角函数值计算可得到结果； （2）利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的运算法则即可计算得到结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 21. 已知：关于x的方程，有两个不相等的实数根， （1）求实数m的取值范围， （2）若方程的两个实数根满足，求出符合条件的m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式求解即可； （2）由方程根与系数的关系得出关于m的一元二次方程求解，然后结合（1）中结果求解即可． 【小问1详解】 解：， 其中a=1，b=-(8-4m)，c=， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 解得：m<1； 【小问2详解】 ∵方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 由（1）得m<1， ∴m=-2． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基础知识点是解题关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且相似比为． （2）画出，使得它与关于点中心对称，并写出的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2） 解：如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据位似的性质，找到点，使得，连接即可求解； （2）根据中心对称的性质画出画出，使得它与关于点中心对称，并根据坐标系写出的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了画位似图形，画中心对称图形，熟练掌握位似的性质，中心对称的性质是解题的关键． 23. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°． （1）求河的宽度； （2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）（30+30）米； （2）20米． 【解析】 【分析】（1）过点A作AE⊥l于点E，设CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通过解直角三角形ADE求出x即可； （2）过点B作BF⊥l，垂足为F，继而得出CE的长，在Rt△BCF中，求出CF，继而可求出AB． 【小问1详解】 解：过点A作AE⊥l，垂足为E， 设CE＝x米， ∵CD＝60米， ∴DE＝CE+CD＝（x+60）米， ∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米）， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴tan30°＝＝＝， ∴x＝30+30， 经检验：x＝30+30是原方程的根， ∴AE＝（30+30）米， ∴河的宽度为（30+30）米； 【小问2详解】 过点B作BF⊥l，垂足为F， 则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF， ∵∠BCD＝120°， ∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°， 在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米， ∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米）， ∴古树A、B之间的距离为20米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是通过作高构造直角三角形，利用直角三角形解决问题． 24. 某单位食堂为全体960名职工提供了A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为_______，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为_______°； （2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数； （3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）60；108 （2）336人 （3） 【解析】 【分析】（1）抽取人数与所占百分比的积为最喜欢A套餐的人数；与“C”所占的百分比的积即为“C”对应扇形的圆心角； （2）根据样本估计总体的思想计算即可； （3）利用列表法即可求解． 【小问1详解】 解：（人），， 故在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为60人，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为； 【小问2详解】 解：（人）； 答：估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数有336人； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 甲乙 乙丙 乙丁 丙 甲丙 乙丙 丙丁 丁 甲丁 乙丁 丙丁 所有等可能结果有12种，其中恰好选中甲和乙的等可能结果有2种， 则恰好选中甲和乙的概率为， 答：恰好选中甲和乙的概率为． 25. 某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出500件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元. （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润8000元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）10 （2）当服装店将销售单价定为60元时，得到最大利润是9000元 【解析】 【分析】（1）设销售单价提高x元，根据题意列出方程求解即可； （2）设销售利润为M元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设T恤的销售单价提高x元， 由题意列方程得：（x+40﹣30）（500﹣10x）＝8000， 解得：x1＝10或x2＝30， ∵要尽可能减少库存， ∴x2＝30不合题意，应舍去. ∴T恤的销售单价应提高10元， 答：T恤的销售单价应提高10元； 【小问2详解】 解：设利润为M元，由题意可得： M＝（x+40﹣30）（500﹣10x）， ＝﹣10x2+400x+5000， ＝﹣10（x﹣20）2+9000， ∴当x＝20时，M最大值＝9000元， ∴销售单价：40+20＝60（元）， 答：当服装店将销售单价定为60元时，得到最大利润是9000元． 【点睛】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润＝单件利润×销售量列出二次函数解析式． 26. 函数与的图象交于点和两点． （1）求和的值； （2）不等式的解集为__________； （3）将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点．若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点和两点都在函数图象上，建立方程求解即可得到的值，进而可求出的值； （2）由（1）知，，根据图象即可解答； （3）根据关于原点对称的性质可得，分当以为边，四边形为矩形，当以为对角线，四边形为矩形时，两种情况讨论． 【小问1详解】 解：∵点和两点都在函数图象上， ∴， 解得， ∴，， 代入到，得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 由函数图象得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：∵点、点关于原点对称，， ∴， 设， 如图，当以为边，四边形为矩形时， 则， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（与点A重合，舍去）， ∴； 如图，当以为对角线，四边形为矩形时， 则， ∴， ∴， ∴ ∴或， 解得或（与点A重合，舍去）， ∵， ∴， ∴； 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $