精品解析：吉林省白山市第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

2025－2026年度第一学期月考 高三数学 考试时间：120分钟 满分150分 注意事项：选择题答案填涂在答题卡的对应题目上，非选择题将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的概念判断即可. 【详解】命题的否定为， 故选：D 2. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的性质，逐一将中元素代入集合中验证即可. 【详解】因为且，所以,， 当时，代入集合可得到：，即； 当时，代入集合可得到：，即； 当时，代入集合可得到：，即； 当时，代入集合可得到：，即. 因为，所以. 故选：B. 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用指数函数的值域，结合不等式的性质及根式计算求解值域. 【详解】函数有意义，有， 因为，所以，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 4. 已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性及真数大于0列式求解即可. 【详解】在 上单调递减，∴函数在上单调递增且恒大于零，，解得 ，∴实数的取值范围是 ． 故选C. 【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的单调性，解题的关键是利用“同增异减”及真数大于0，属于基础题. 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】由题知函数的定义域为，，所以为偶函数， 当时，和均为增函数，所以在上单调递增， 故由可得，解得. 故选：B. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 7. 已知函数，，若（，）成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，解出，得到，再利用导数判断函数的单调性求出最小值即得解． 【详解】设，则；，则，则， 令，，则，∴递增，当时，，∴有唯一零点，当时，，当时，， ∴时，取最小值，即取最小值，最小值为． 故选：C． 8. 已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设知关于、对称且，即可求，再由已知有关于、对称，求，即可得解. 【详解】由关于原点对称，则关于轴对称，且， 所以关于对称，关于对称，且， 又，即，则关于对称， 综上，，，则， 所以，而，故， 又，则关于对称，即， 所以，则， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可. 【详解】因为函数的定义域为R， 又，所以函数为偶函数， 由恒成立，可知函数的定义域为， 又 ， 所以，即函数为奇函数， 对于A，因为， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为，又， 所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，由指数函数，的值域可知，恒成立； 所以函数的定义域为，又， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，令，则函数的定义域为，又， 所以函数为偶函数，即函数为偶函数，故D错误. 故选：BC． 10. 已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 无最大值，有最小值 D. 若函数有两个零点，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，求导，计算，可判断；对B，根据导数的正负求得函数的单调区间，可得解；对C，结合函数的单调性作出的图象判断；对D，由和，结合有两个零点，数形结合求得的取值范围，可得解. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，由，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减，故B错误； 对于C，当时，，，， 结合函数的单调性，作出的大致图象如图所示，知无最大值，有最小值，故C正确； 对于D，由，， 所以函数有两个零点，则或，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数是奇函数 C. D. 若当时，，则在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数方程，利用赋值法，结合奇函数定义、单调性定义逐项判断. 【详解】对于A，取，得，则，A正确； 对于B，取，得，则，对，取， 得，则，函数是奇函数，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，则，由当时，，得， 因此，在上单调递增，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则x＋2y的值为____________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值. 【详解】， . 故答案为：3 【点睛】本题考查指对数运算，重点考查计算能力，属于基础题型. 13. 已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】12 【解析】 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时， 所以函数的图象过定点， 所以，，即， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故答案为：12 14. 已知函数的导函数满足在R上恒成立，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在R上单调递减，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果. 【详解】令，则， 所以在R上单调递减， 由，得， 即， 又在R上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解不等式，再根据，的真假，分类讨论，即可求得答案； （2）根据是的充分不必要条件，列出相应不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 由，得； 当时，由，得. 若，有且只有一个为真命题，则真假，或假真， 当真假时，或，得； 当假真时，或，解得， 综上，实数的取值范围为或. 【小问2详解】 由，得. 因为是的充分不必要条件，则，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知函数在上单调递增. （1）求的值； （2）设，证明：存在最小值且最小值小于1. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数后根据导数非负结合分类讨论可求的值； （2）求出的导数，根据虚设零点可求最小值，结合基本不等式可证最小值小于1. 【小问1详解】 ， 因为在上单调递增，故， 而时，，故即； 而时，，故即， 故. 【小问2详解】 , 故， 设，则， 故即在上单调递增. 而，， 故在存在一个零点且： 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 而，故， 故， 而，双勾函数在为减函数，故， 故. 17. 已知函数是上的奇函数，函数. （1）求实数的值； （2）若函数在上的最小值为11，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得的值； （2）利用换元法，结合函数单调性和二次函数的性质来求实数的值. 【小问1详解】 因为是上的奇函数，所以， 即，整理得， 所以，， 所以，检验可知符合题意，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，所以. 令， 因为函数和在上区间都单调递增， 所以函数在区间上单调递增，所以， 则（的最小值11就是的最小值），抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，，解得. 当，即时，， 解得，无解. 综上所述，实数的值为. 18. 已知函数. （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若在区间上恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线的斜率，得解； （2）含参分类讨论计算导函数的符号确定单调区间即可； （3）利用（2）的结论，分类讨论计算函数的最值即可. 【小问1详解】 当时，，. 所以，， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由， 若，则恒成立，即在上单调递增； 若，则， 所以时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知，若，在上单调递增， 此时，符合题意； 当时， （i）若，即时，此时仍有在上单调递增， 所以，符合题意； （ii）若，即时，此时有在上单调递减， 所以，不符合题意， 综上满足题意，故的最小值为. 19. 定义是取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过的最大整数. （1）写出函数，的值域； （2）已知函数，是自然对数的底数. ①若，求的取值范围； ②若在上恰有4个零点，经计算，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）分讨论得到； （2）①法一，将代入不等式，对求出的范围分段讨论，确定满足条件的范围；法二，设，代入不等式得到的取值，讨论得到范围；②利用，，，图象可得的取值范围. 【小问1详解】 时，，； 时，，； 时，，所以函数的值域为； 【小问2详解】 ①法一：由得，， 由定义知，所以，解得， 当时，，无解， 当时，，即，解得， 当时，，化为，解得. 综上，的取值范围是. 法二：函数是分段函数， 当（是整数）时，， 化为， 令，则在上递增，在上递减， 所以当时，不成立， 当时，在上递减，最大值为， 若，则，所以，因为是整数，所以， 当时，，成立， 当时，，，，， 所以的取值范围是. ②（是整数），由得； 时，， 设函数，对成立， 函数在为增函数， 时，，时，； 时，， 设函数，对成立， 函数在为增函数， 时，，时，； 时，， 令函数，， 对，，函数在为增函数， 对，，函数在为减函数， 时，，时，， 时，； 因为， 由知， 所以的4个零点，在区间，上各有1个，在区间上有2个， 利用，，，图象可知， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026年度第一学期月考 高三数学 考试时间：120分钟 满分150分 注意事项：选择题答案填涂在答题卡的对应题目上，非选择题将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若（，）成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 10. 已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 无最大值，有最小值 D. 若函数有两个零点，则或 11. 已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数是奇函数 C. D. 若当时，，则在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则x＋2y的值为____________. 13. 已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为_____. 14. 已知函数的导函数满足在R上恒成立，则不等式的解集是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数在上单调递增. （1）求的值； （2）设，证明：存在最小值且最小值小于1. 17. 已知函数是上的奇函数，函数. （1）求实数的值； （2）若函数在上的最小值为11，求实数的值. 18. 已知函数. （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若在区间上恒成立，求的最小值. 19. 定义是取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过的最大整数. （1）写出函数，的值域； （2）已知函数，是自然对数的底数. ①若，求的取值范围； ②若在上恰有4个零点，经计算，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $