3.1.2 课时2 椭圆几何性质的应用 课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

3.1.2 课时2 椭圆几何性质的应用 作者编号：32200 1.能根据给定条件求椭圆的离心率. 2.能解决椭圆中的最值问题. 3.能利用椭圆的几何性质解决实际问题. 学习目标 作者编号：32200 离心率，假设a固定， 当e→0时，c→0，∵a2＝c2＋b2，则b→a，∴离心率越小，椭圆就越圆. 当e→1时，c→a，则b→0，∴离心率越大，椭圆就越扁. 可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆. 椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？ 新课导入 作者编号：32200 例1 设椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，求C的离心率. 解：(方法一)由题意可设|PF2|=m， 结合条件可知|PF1|=2m，|F1F2|=m， 故离心率e=====. 新知学习 作者编号：32200 (方法二)由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c， 将x=c代入椭圆方程可解得y=±， ∴|PF2|=. 又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|， 故2c＝·， 变形可得(a2－c2)＝2ac， 等式两边同除以a2得(1－e2)＝2e， 解得e＝或e＝-(舍去). 新知学习 作者编号：32200 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ 求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ 求解. (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程，即可求得e的值. 求椭圆离心率的两种方法 归纳总结 新知学习 作者编号：32200 例2 已知椭圆(a>b>0)的左焦点为F，且P是椭圆上的一点，求|PF|的最小值与最大值. 解： 记椭圆的焦距为2c，则F(-c，0)，而且 . 又因为P是椭圆上一点，所以 ，即 设P(x，y)，则 新知学习 作者编号：32200 因此 因为-a≤x≤a，且 ， 当x=a时，|PF|2最大，且|PF|最大值为 当x=-a 时，|PF|2最小，且|PF|最小值为 所以 焦半径 作者编号：32200 归纳总结 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种： (1)几何法：准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解. (2)代数法：首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等. 新知学习 作者编号：32200 例3 我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径 <m></m> ）的中心 <m></m> 为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点） <m></m> 到火星表面的距离为 <m></m> ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点） <m></m> 到火星表面的距离为 <m></m> .假定探测器由近火星点 <m></m> 第一次逆时针运行到与轨道中心 <m></m> 的距离为 <m></m> 时进行变轨，其中 <m></m> ， <m></m> 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到 <m></m> ）. 新知学习 作者编号：32200 解：以 <m></m> 为坐标原点， <m></m> 为 <m></m> 轴建立平面直角坐标系， 设所求轨道方程为 <m></m> ， 由题意得 <m></m> 解得 <m></m> 于是 <m></m> , 故所求轨道方程为 <m></m> . 新知学习 作者编号：32200 设变轨时，探测器位于 <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> . 解得 <m></m> . 所以探测器在变轨时与火星表面的距离为 <m></m> . 所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为 <m></m> . 新知学习 作者编号：32200 解决与椭圆有关的实际问题时，首先建立合适的坐标系，再设出点的坐标，然后结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题. 归纳总结 新知学习 作者编号：32200 C 3，1 当堂检测 作者编号：32200 3.某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如右图所示.假设航天员到地球表面的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球上的人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为(　　) A.d1+d2+R B.d2-d1+2R C.d2+d1-2R D.d1+d2 D 当堂检测 作者编号：32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.如何求椭圆的离心率？ 2.求解椭圆的最值问题的基本方法有什么？ 3.解决和椭圆有关的实际问题的思路是什么？ 课堂小结 作者编号：32200 1.设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( ) A. 　　　B. 　　　C.　　　 D. 2.若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别为 . $