3.1 椭圆（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线与方程 3.1 椭圆 课标要点 1.经历椭圆概念的形成过程，理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的推导，能根据条件写出椭圆标准方程。 2.掌握椭圆几何性质，包括范围、对称性、顶点、长轴短轴、离心率，能利用性质分析椭圆图像。 3.能运用椭圆的定义、方程与几何性质解决简单综合问题，体会数形结合，提升解析几何运算与逻辑推理能力。 学习重难点 重点： 1.椭圆的定义，会区分 2a 与两焦点间距离 2c 的大小关系，掌握椭圆标准方程。 2.椭圆的几何性质，离心率的含义，能求离心率或离心率范围。 3.利用待定系数法求椭圆方程，结合椭圆性质解决基础求值问题。 难点： 1.椭圆的定义，会区分 2a 与两焦点间距离 2c 的大小关系，掌握椭圆标准方程。 2.椭圆的几何性质，离心率的含义，能求离心率或离心率范围。 3.利用待定系数法求椭圆方程，结合椭圆性质解决基础求值问题。 知识点 椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 特别提醒 运用椭圆定义解题，务必牢记平面内动点到两个定点距离之和等于常数 2a，必须满足 2a 大于两焦点之间距离 2c，这是椭圆成立的核心前提。若 2a 等于 2c，轨迹为两焦点连成的线段；2a 小于 2c，则不存在轨迹，做题不可直接默认为椭圆。解题遇到焦点三角形、周长类题型优先使用定义转化线段，减少复杂计算。注意定点必须是平面内两个焦点，审题看清题目是否给出平面这一条件。处理填空题时，看清焦点位置在 x 轴还是 y 轴，不要混淆。遇到轨迹方程问题，做完一定要检验条件，排除不满足题意的点，避免扩大轨迹范围，防止出现概念性失分。 随学随练 1．（2026高二·全国·专题练习）(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，根据给定条件，结合三角形重心定理即可求解； （2）设点，根据题意列出方程即可求解. 【详解】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，，如图所示， 设的重心，依题意，， 因此点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为的椭圆（除点外）， 该椭圆长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以的重心的轨迹方程为. （2）设点到直线的距离为，依题意，， 于是，化简得，即， 所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆，其方程为. 2．（2026高二·全国·专题练习）（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）连接，由垂直平分线得，所以， 且大于，即点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 轨迹方程为. （2）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是集合，则， 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以点M的轨迹方程为：． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为___. 【答案】 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 知识点 椭圆的标准方程（重点） 椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 特别提醒 （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 随学随练 1．（2026·江苏无锡·三模）已知椭圆的左焦点为为椭圆的上顶点，过的直线与椭圆交于两点（不同于），为的角平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质求出所在直线方程，利用角平分线性质，利用到角公式得出，设，得出，设过的直线，联立椭圆方程，结合韦达定理求出，进而求出直线的方程． 【详解】 椭圆中， 左焦点，上顶点, 直线斜率，方程为， 已知为的角平分线，由到角公式： ，则，故， 设，则， ，即， 设过的直线， 联立椭圆方程，代入整理得， 由韦达定理得， ， 则， 整理得，解得或， 当时，直线与重合，与椭圆交点包含点，不符合题意，舍去； 故， ，整理得． 2．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，即，所以动点P的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点P的轨迹方程． 【详解】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为. 故选：D 3．（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断轨迹为椭圆，由求得，由求得，即可得到椭圆方程. 【详解】由题意得，， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，即. 因为为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上， 设其方程为，，则， 将代入方程得， 因为，所以，解得，故椭圆方程为. 故选：A. 知识点 椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为．． 特别提醒 掌握椭圆几何性质，首先分清焦点在 x 轴还是 y 轴，长轴、短轴对应的 a、b 切勿混淆，a 永远代表长半轴，a 大于 b。椭圆范围用于约束横纵坐标取值，做题遇到动点问题，不可忽略变量取值范围。离心率 e 等于 c 除以 a，椭圆离心率取值范围是零到一，e 越接近 1 椭圆越扁，e 越接近 0 椭圆越圆。注意顶点有四个，长轴顶点、短轴顶点不要漏看。很多题目利用对称性简化计算，可直接由已知点写出对称点坐标。处理离心率求值或者范围题型，优先借助 a,b,c 三者关系式，切忌记错平方关系 a²=b²+c²。审题看清长轴长是 2a，不是 a，此处属于高频丢分点，答题多加检验。 随学随练 1．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有6个 【答案】CD 【分析】先由椭圆方程求出，对A，利用离心率公式求解；对B，利用短轴端点处最大的性质判断张角最大值；对C，结合椭圆定义和基本不等式求解判断；对D，分三类等腰三角形情况计数符合条件的点的个数. 【详解】由椭圆，得，则， 对于A，椭圆的离心率，故A错误； 对于B，当点在短轴端点处时，最大，此时，又， 所以，即，所以不存在点，使得，故B错误； 对于C，由椭圆定义得， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，要使得为等腰三角形，分下面三种情况： 当时，对应短轴两个端点，共2个点； 当，，对应上下2个点； 当，，对应上下2个点； 综上，使得为等腰三角形的点共有6个，故D正确. 2．（2026·湖南永州·一模）（多选）设，为椭圆：（）的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A．若，则 B．若，则的最大值为2 C．若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D．若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 【答案】ABD 【详解】选项A，当时，，可知，所以A正确； 选项B，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，即在上下两个顶点时，取得最大值为2，所以B正确； 选项C，因为，所以即，椭圆上点对焦点的最大张角在短轴顶点处，故需， 可知，所以， 即，得，所以，离心率， 由可知，所以C错误， 选项D，设，则，，是开口向下的二次函数，对称轴， 若，对称轴，函数在单调递减，在处取得最大值，，满足； 若，对称轴，最大值在对称轴处取得，， 令，则，不满足条件， 所以，，即，所以D正确. 3．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）（多选）已知椭圆，点在的第一象限部分上．在点处的切线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，为坐标原点，则（    ） A．切线的方程为 B． C． D．当时，直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】先求出椭圆的切线方程判断A；结合直线与坐标轴交点、距离公式，利用基本不等式求解范围判断BC，利用最值取等号及两点斜率公式求解判断D. 【详解】先证明，已知椭圆及上面一点，则曲线在点处的切线方程为. 当时，切线的斜率存在，设切线方程为. 代入椭圆的方程得. 由， 得. 又点在椭圆上，所以，从而， 所以，即，所以， 所以所求切线方程，即. 另外当时，切线方程为也满足上式. 综上，以椭圆上一点为切点的切线方程为. 对于选项A：椭圆在点处的切线方程为，正确； 对于选项B：令切线方程中得，令得， 故，由基本不等式，， 即，当且仅当时等号成立，故，最小值为4，错误； 对于选项C：，即，当且仅当时等号成立，正确； 对于选项D：当时，由选项C可知，切线的斜率为，D正确. 知识点 直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有；若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ， 特别提醒 研究直线与椭圆位置关系，一般把直线方程与椭圆方程联立，消元得到一元二次方程，依靠判别式 Δ 判断位置。Δ 大于 0 代表相交，有两个交点；Δ 等于 0 代表相切；Δ 小于 0 代表无交点。椭圆和直线联立后的二次项不为零，不会出现双曲线那样二次项系数等于零的特殊情况。涉及弦长问题优先使用韦达定理，尽量不去直接求解交点坐标，减少计算量。做题时刻注意椭圆上点的横纵坐标本身自带取值范围，不能只依靠代数结果，忽视几何约束。使用韦达定理之前务必确认判别式大于零，这是答题容易遗漏的步骤。遇到含参数题型，要仔细检验斜率不存在这种特殊直线，避免出现漏解。 随学随练 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆，左顶点为A，下顶点为B，，焦距为． (1)求E的方程； (2)平行于AB的直线l与E相交于C，D两点（C，D均在第一象限，且A，B，C，D按逆时针排列），直线AD与y轴相交于点P，直线BC与x轴相交于点Q． ①求直线PQ的斜率； ②若四边形ABQP的面积为，求四边形PQCD的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用椭圆顶点距离、焦距建立方程组，求出椭圆标准方程； （2）①设平行直线，联立椭圆得到韦达关系，求出P，Q坐标后代入斜率公式，借助化简，求出直线PQ的斜率；②利用①得到的斜率设，则，其中，由四边形面积求出参数，联立直线求C，D，得到，再用梯形面积计算PQCD面积. 【详解】（1）因为，所以， 因为焦距为，所以，则 所以E的方程为； （2）①因为，则AB的斜率为， 设直线l方程为， 联立l与E的方程：，消去y得：，则， 直线AD方程为：，令得，故， 直线BC方程为：，令得，故， 则PQ的斜率 ， 所以直线PQ的斜率为； ②由①知PQ斜率为，设，则，其中， 则， 所以四边形ABQP的面积，解得， 则，PQ方程为：，AP方程为：， 联立AP与E的方程：解得，同理， 故CD方程为：，且， 则PQ//CD，又直线PQ与CD间距离， 故四边形PQCD面积. 2．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知椭圆过点，且，为坐标原点，平行于的直线l交椭圆于A，B两个不同的点. (1)求椭圆方程 (2)求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形. 【答案】(1) (2)设直线 ， 的斜率分别为 ，，只需证明 即可. 设 ，，则 ，. 因为直线 平行于 ，， 所以可设直线的方程为. 联立，消去，得 . ，又 ， 所以 且 所以 ，， 又 ， 所以 ， 故直线 ， 与 轴始终围成一个等腰三角形. 【分析】（1）根据题意列出方程组求解； （2）设直线，的斜率分别为，，问题转化为证明 ，设直线的方程为与椭圆联立方程组，利用韦达定理证明即可. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）略 3．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，椭圆上动点满足，且两个焦点与短轴的上顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2)设直线， 联立曲线方程，消去可得， 整理可得， 显然， 设， 则， 直线，直线， 两直线方程联立可得， 代入可得， 化简可得， 因为，代入上式可得， 即， 因为不可能恒满足，所以， 所以点在定直线上. (3) 【分析】（1）根据椭圆的性质结合题意可得； （2）设直线方程，直曲联立得到韦达定理，利用点斜式得到，方程，联立解方程组再结合韦达定理化简可得； （3）由斜率关系和两直线夹角公式结合基本不等式和正切函数的性质可得. 【详解】（1）由可得， 因为两个焦点与短轴的上顶点构成等边三角形， 所以，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）略. （3）设，， 因为，所以， 设， 由两直线夹角公式， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 因为，且在上单调递增， 所以，即的最大值为. 拓展 椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边． 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系． 活学活用 1．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 【答案】AB 【分析】利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义列方程，可判断B；解三角形，利用面积公式可判断C；分3类解出点可判断D. 【详解】已知椭圆 ，其中 ，，， 离心率 ，，点 在椭圆上， 设，，则 ， 焦距 ， 对于A： 由均值不等式，，当且仅当 时取等号， 所以的最大值 4，故 A正确； 对于B： 在 中，由余弦定理得： 代入得 ，即 ， 当 时，，则 ， 由选项A知：，故不可能等于 8， 因此不存在这样的点 ，使得，故B 正确； 对于C：由选项B知：，当 时，，代入得 ， 三角形面积 ，故 C 错误； 对于D： 等腰三角形有三种情况： （1）当时：点取短轴端点，共有2 个点符合要求； （2）当时， 设 ，由距离公式： 平方得： 由点 在椭圆上，得， 代入 (4)： 化简得：， 解得： 因为 ，所以 ， 代入椭圆中得， 所以 ，共有两个点符合要求； （3）当时， ， 平方得：， 代入椭圆并化简： 解得： 因为 ，所以 ，代入椭圆中，得 ， 所以 ，共有两个点符合要求， 综上：使得为等腰三角形的点共有六个，故D错误. 故选：AB 2．（25-26高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程求出、、，根据椭圆的性质判断A、B、C，根据椭圆的定义及基本不等式判断D. 【详解】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）（多选）已知是椭圆上一点，是左右焦点，交椭圆于点交椭圆于点，则（   ） A．的周长等于12 B．可能是等边三角形 C．若是椭圆的上顶点，则的面积为10 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据椭圆的定义可判断A，利用反证法可判断B，利用椭圆的定义结合余弦定理可计算出，然后利用面积公式即可判断C；利用椭圆的定义结合余弦定理可判断D. 【详解】由题意可知，椭圆的长半轴长. 对于A，的周长， 故A正确； 对于B，若为等边三角形，又，则为的中点，由椭圆对称性可知，进而得出在轴上，又三点共线，则也在轴上， 与矛盾，所以不可能是等边三角形，故B错误； 对于C，若是椭圆的上顶点，则，设，则， 在由勾股定理可得 ，即，解得， 所以，，设，则， 在由余弦定理可得：， 即解得，即，所以， 所以的面积，故C正确； 对于D，若，则， 设，则，，由A可知，解得， 所以，， 在由余弦定理可得：， 所以，即，，所以 ，故D错误. 故选：AC    拓展 离心率 椭圆离心率记作 e，计算公式为 e 等于 c 除以 a，其中 a 是长半轴长，c 是半焦距，满足关系式 a²=b²+c²，椭圆离心率的固定取值范围是 0＜e＜1。 离心率的几何意义反映椭圆的扁平程度。当 e 越靠近 0 的时候，c 值就越小，b 越接近 a，椭圆就越圆；当 e 越靠近 1 的时候，c 越接近 a，b 就越小，椭圆就越扁。 考试主要分为两大类题型，第一类直接求离心率的值。解题核心就是建立关于 a、b、c 的等式，常见途径有椭圆定义、焦点三角形、几何图形边长关系、直线斜率、垂直平行等位置条件，再借助 a,b,c 三者的平方关系消去 b，整理出 a 与 c 的齐次式，等式两边同时除以 a²，转化成关于 e 的方程求解即可。 第二类求解离心率的取值范围，难度更高，需要根据题干条件找出不等关系。可以利用椭圆上点的坐标范围、三角形三边关系、角度大小、线段长度不等式等条件，得到 a 和 c 的不等齐次式，进而求出 e 的范围，做完必须带上椭圆固有范围 0＜e＜1 进行取舍。 做题高频易错点，一定要区分清楚 a、b、c 的平方公式，切忌记混。焦点三角形当中经常使用余弦定理构造齐次方程。求范围题目很容易忽略椭圆本身 0 到 1 的限制，直接解不等式就得出结果，造成答案超出区间范围。另外审题看清条件是长轴、焦距还是半长轴、半焦距，区分 2a、2c 与 a、c，避免低级计算失误。 活学活用 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）（多选）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 【答案】ABD 【详解】椭圆中，，， 则，焦点，，上顶点， 选项A：长轴长，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：离心率，故C错误； 选项D：的周长为，故D正确． 2．（25-26高三下·广东广州·阶段检测）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆C上任意一点，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆C的离心率为 B．的最小值为2 C．的最大值为16 D．可能存在点，使得 【答案】BC 【详解】由题可知，所以， 对于A，椭圆C的离心率为，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，当且仅当时取得等号，C正确； 对于D，当不在轴上时， ，当且仅当时取得等号， 当在轴上时，，上述不等式成立， 所以的最大值为60°，D错误. 3．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 【答案】ABD 【分析】A选项，利用焦点三角形边长关系可得的周长；B选项，当直线垂直于轴时，可以将横坐标代入椭圆方程，得到纵坐标，从而得到；C选项，利用，，可得，，分别在和中，计算，可得，从而得到离心率；D选项假设存在满足条件的点，可求得即可. 【详解】对于选项A，的周长，故A正确； 对于选项B，当直线垂直于轴时，将代入，得，，故B正确； 对于选项C，，，， ，，，，. 在中， 在中，，得， ，，故C错误； 对于选项D，假设存在满足条件的点，过点向圆引两条切线，设切点为和， 因为，，，， 所以四边形为正方形，所以. 所以当时，椭圆上存在点满足题意，故D正确． 题型 椭圆的定义与标准方程 解题贴士 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程． ▌例1（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B ▌例2（25-26高二上·四川绵阳·期末）已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 设椭圆方程为，则, 得，所以, 的轨迹方程为， 故选：A ▌对点练1-1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义进行求解. 【详解】由题知，， 由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆， 其中，则， 方程为：. 故选：D ▌对点练1-2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆化为标准方程，再利用动圆与两圆的外切、内切关系，得到动圆圆心到两定圆心的距离和，结合椭圆定义求轨迹方程. 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 因此，， 由此可得； 因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，椭圆的短半轴长， 因此动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A. ▌对点练1-3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 故选：B 题型 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 解题贴士 椭圆焦点三角形解题优先活用椭圆定义，周长固定为 2a 加 2c，看清题干条件直接代入，不要重复推导边长。面积常用两种思路，已知顶角用余弦定理结合定义列式，借助平方变形求出两边乘积，再代入面积公式计算；焦点三角形简易面积也可利用 b² 乘以半角正切快速求解。解题时刻牢记 a²=b²+c² 关系式，结合三角形三边关系、内角范围建立等式或者不等式，用来求解离心率以及离心率范围。注意椭圆上动点在短轴端点时顶角达到最大值，这个常用结论可以直接用于选择填空。做题避开直接设点坐标硬算边长，运算量大容易出错，同时注意角度条件转化，不要忽略三角形内角隐含限制，做好结果检验。 ▌例1（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. ▌例2（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． ▌对点练1-1．（25-26高二上·山东青岛·期末）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用三角形面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以，设点的纵坐标为， 因为以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1， 所以. 故选：B ▌对点练1-2．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】延长，交的延长线于点，确定为等腰三角形，进而得到，设，再由椭圆定义求得，进而可求解. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，    因为PH为的平分线，， 故为等腰三角形， 即为的中点， 因为为的中点，所以OH为的中位线， 故，设，由椭圆定义知， ，故，解得， 故在中，边上高为. 故面积为. 故选：C ▌对点练1-3．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在第一象限．若为等腰三角形，则的内心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程先确定的值，然后根据切线的性质以及等面积法分别求解出的横纵坐标，由此可知结果. 【详解】在椭圆中，，，所以， 所以，，，所以， 因为为等腰三角形，且点在第一象限，所以或，且， 所以，由椭圆的定义可得，所以， 设的内切圆与边，，的切点分别为，，，则， 由为等腰三角形知，是边的中点， 由圆的切线性质知，， 所以点的横坐标为，即点的横坐标为， 连接，则，且， 所以的面积， 设的内切圆半径为，又因为， 所以，所以点的纵坐标为， 所以的内心的坐标为， 故选：D．    题型 椭圆上两点距离的最值问题 解题贴士 椭圆上两点距离最值，优先区分两点是椭圆上动点与定点，还是椭圆上两个动点。定点搭配椭圆动点，利用椭圆参数方程或者几何性质求解，结合椭圆本身横纵坐标范围约束结果。椭圆上两动点距离最大值为长轴 2a。过焦点的两点最大距离是长轴长，最小为通径。解题尽量少用两点距离公式直接硬算，计算繁琐易出错。遇到含参数问题，要注意等号成立条件，判断对应点是否真实存在。选择填空可直接使用结论，大题需要简单推导，不可直接照搬，同时做好结果检验。 ▌例1（23-24高二上·河北保定·期中）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，则以下说法正确的是（    ） A．若过的直线与椭圆交于两点，则的周长为12 B．椭圆上存在点，使得 C．若为椭圆上一点，且与的夹角为，则的面积为 D．若为椭圆上一点，为圆上一点，则点之间的最大距离是9 【答案】BC 【分析】根据的周长为即可判断A；设，根据求出点的坐标即可判断B；根据椭圆的定义结合余弦定理求出即可判断C；求出的最大值，再根据即可判断D. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，所以， 对于A，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为，故A错误； 对于B，可取，设， 则，所以， 则， 所以， 解得， 所以椭圆上存在点，使得，故B正确； 对于C，由题意可得， 在中，由余弦定理得， 即，所以， 所以的面积为，故C正确； 对于D，设， 则，所以， 则， 因为，所以，所以， 所以，故D错误. 故选：BC.    ▌例2（2026·吉林长春·模拟预测）已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用换元法，设，然后由两点间距离公式计算，结合二次函数和余弦函数的性质求得最小值． 【详解】设，则 ， 所以时，． ▌对点练1-1．（2026·云南昆明·二模）（多选）若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（    ） A． B．的最大值为 C．存在，使得四边形是平行四边形 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用椭圆和圆的对称性，结合椭圆的定义、圆的性质、基本不等式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】因为曲线由半圆和半椭圆组成， 所以曲线关于横轴对称，不妨研究当时的情况. A：由椭圆的标准方程可知， 所以是椭圆的焦点， 于是有，所以本选项结论正确； B：显然，所以是直角三角形，且， 所以，当且仅当时，取等号，即，此时，显然重合，不符合题意， 即，所以本选项说法不正确； C：当时， 由. 当时， 由. 假设四边形是平行四边形，因为， 所以， 即，舍去，所以存在，使得四边形是平行四边形，所以本选项说法正确； D：的面积为，当且仅当时取等号，即， 所以当时，面积的最大值为，所以本选项说法正确. ▌对点练1-2．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若点，，证明点在椭圆上，并求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 由点，得， 所以点在椭圆上； 依题意， ，而，则  ， 所以的取值范围是. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得. （2）将点的坐标代入椭圆方程计算得证；再利用两点间距离公式，结合余弦函数有界性求出范围. 【详解】（1）由与轴垂直得，即半焦距， 由点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程是. （2）略 ▌对点练1-3．（2024·陕西西安·三模）已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（    ） A． B．13 C． D． 【答案】C 【分析】设出点的坐标，再利用数量积的运算律及坐标表示，列出函数关系并求出最小值. 【详解】设椭圆上的点，而， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 题型 椭圆上两线段的和差最值问题 解题贴士 椭圆线段和差最值优先利用椭圆第一定义转化线段，把到两焦点的距离进行互换变形。线段之和最值常结合三角形两边之和大于第三边，三点共线时取得最值；线段之差最值依据三角形两边之差小于第三边，同样在三点共线时取到临界。看清定点位置，区分定点在椭圆内部还是外部，灵活运用焦点进行线段转化，尽量避免设坐标代数运算。务必验证等号能否成立，判断共线时点是否落在椭圆之上。 ▌例1（2026·四川达州·二模）（多选）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程得出基本参数，，，进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析最大值情况判断B选项，分析取值及相关距离情况判断C、D选项. 【详解】因为椭圆，得，，， 所以焦点，，满足， 所以， 在A选项中，的周长为，A正确， 在B选项中，在短轴端点时最大， 此时，为等边三角形， 最大角为，不存在满足条件的，B错误， 在C选项中，设，， 代入椭圆，得， 又，最大值为，代入得最大值为，C正确， 在D选项中，过作直线的垂线，垂足记为， 当与不重合时，为直角三角形，， 当与重合时，到距离等于，D正确. ▌例2（2026·广西南宁·二模）（多选）已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（    ） A．直线OM与AC的斜率之积为 B．点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为 C． D．B，F，M三点共线 【答案】ABD 【分析】设，，利用斜率公式计算判断选项A；B选项，问题转化为点B到点的距离与到左焦点的距离之差的最大值；由向量与的关系判断CD选项. 【详解】椭圆的右焦点为，右顶点为， 过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，设， 则有，满足，有， M为AC的中点，则， ，A选项正确； 椭圆的左焦点为，则， 点在椭圆内，， ， 当且仅当三点共线，在之间时等号成立，B选项正确； ，，，则，C选项错误； 与共线，且与有公共点，所以B，F，M三点共线，D选项正确； ▌对点练1-1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知椭圆，左、右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．不存在最大值 B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义判断线段和的最值，即可判断AC选项；利用直接法可得椭圆离心率，利用点差法可确定弦的斜率. 【详解】 如图所示，由已知椭圆， 即，，则， 所以椭圆离心率为，B选项正确； 且，，，， 则， 又， 即当点在延长线上时取得最大值为， ， 即当点在延长线上时取得最小值为， 即A选项错误；C选项正确； 设被点平分的弦与椭圆交于点，， 即，两式相减可得， 即， 又为中点，即， 所以， 所以，D选项正确. ▌对点练1-2．（25-26高二上·江苏南京·期末）（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上，点，下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．过点的直线与椭圆相交于两点，若为弦的中点，则直线的斜率为 C．内切圆半径的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由椭圆性质求的范围判断选项A；利用点差法结合两点表示斜率的公式，计算后可判断B；由面积法可得三角形内切圆半径，求出最大值即可判断C；把转化为，求出的最大值即可判断选项D. 【详解】椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上， 对于A，当在左右顶点时，最小，为0，当在上下顶点时，最大， 此时，则，而， 因此不存在点，使得，故A错误； 对于B，设，为弦的中点，有 两点在椭圆上，有，两式相减得， 可得，， 所以直线的斜率为，B选项正确； 对于C，设的内切圆半径为，则， 则当最大时，最大，又，， 所以，则， 所以内切圆半径的最大值为，C选项正确； 由椭圆的定义知，，得， 点在椭圆内，有， 所以， 当三点共线且在之间时等号成立，所以D选项错误. 故选：BC ▌对点练1-3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）（多选）椭圆的标准方程为，，为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与，，分别相切于点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由点在椭圆上，根据，可判定A错误；由椭圆的定义得，结合，列出方程，求得的值，可判定C正确；由切线的性质，结合，可判定D正确；结合， 列出方程，求得的值，可判定B正确. 【详解】对于A，由椭圆，可得，则， 所以，又由点在椭圆上， 所以的面积为，所以A错误； 对于C，如图所示，连接，由椭圆的定义得， 因为的内切圆的圆心为，所以内切圆的半径为， 由， 所以， 所以，所以C正确； 对于D，由， 所以 ，所以，所以D正确； 对于B，因为， 所以， 因为，所以，解得，所以B正确. 故选：BCD. 题型 离心率的值及取值范围 解题贴士 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法。 ▌例1（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）（多选）已知椭圆C：和曲线D：在轴上方的两个交点为和，动点在椭圆上，且，．若直线l与相切于点，与交于P，Q两点，则（    ） A． B．的最小值为5 C． D．四边形的面积的取值范围为 【答案】BCD 【分析】先求出点，的坐标，再求出直线关于，的解析式， 对于A，已知点，，的坐标，分别求出，的斜率，根据斜率的几何意义及正切的两角差公式即可求出的值； 对于B，联立直线和曲线，得出，两点坐标与，的关系，再分别算出，，与，的关系，根据，算出的取值范围， ，根据的取值范围，判断不等式能否取等； 对于C，根据算出， ，相加得，再计算出，即可得出答案； 对于D，，，求的取值范围即求的取值范围，平行于轴，即可得出到的距离，，所以，根据的取值范围即可求出的取值范围. 【详解】联立， 得，则两条曲线在轴上方的两个交点为和. 设直线， 联立 消去得， 因为直线与椭圆相切，所以， 又，得， 化简得，所以， 即直线. 对于A，因为，，， 直线的斜率，直线的斜率， ；错误； 对于B，联立， 得或， 不妨设，， 则，同理，则， 因为在椭圆上，，即 所以， 由于，所以，即， 又，所以， 则，， 所以；当时，取等号；正确； 对于C，因为平行轴，所以， 对于有一个顶点在原点的三角形，另外两点分别是，， 有如下面积公式：， 对于，，，， 则，同理， 所以；正确； 对于D，，且， 在曲线上，到的距离，， 所以， 总面积.正确. ▌例2（26-27高三上·山东青岛·开学考试）（多选）已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（    ） A．的离心率为 B．，，，四点可能共圆 C．为直角三角形 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A直接由椭圆的几何性质计算可得；对B根据点的对称可知，若四点共圆则圆心必在原点，再由，再结合对称性可知四点不共圆；对C，设，由三角形面积关系得，再通过解方程可得，进而可得，从而可判断C，再由直角三角形中边角关系可得，由基本不等式可得最小值，可判断D选项. 【详解】因为椭圆（）满足 ，结合椭圆关系， 代入得：，即，所以，因此离心率​​，选项A正确. 设，由椭圆关于原点对称得 ；轴则. 所以​，由题意. 设 ，的面积也可表示为， 所以，得，即. 由，椭圆方程可写为， 又因为直线过和，斜率， 直线方程为，代入椭圆方程，， 结合，得，，， ，， ，， ，解得或. 所以，代入得，即， 所以， 又因为，所以，即，因此， 所以为直角三角形，故C正确. 由是直角，所以在直角三角形中， 又因为， ， 所以， 当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，D正确. 对选项B，，若四点共圆， 则圆心必在弦的垂直平分线 轴上，也在弦的垂直平分线上，且的垂直平分线过原点， 因此圆心必在轴与弦的垂直平分线的交点，即原点. 所以圆的半径，圆的方程为. 又因为在椭圆上，也在圆上， 联立，显然方程组无解，故不存在， 所以，，，四点不可能共圆，故B错误. ▌对点练1-1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A：得到以为直径的圆的方程后，联立椭圆方程，得到是否有解即可得；对B：法一：可借助椭圆定义与余弦定理得到的值，再利用面积公式计算即可得；法二：利用焦点三角形面积公式计算即可得；对C：设，结合斜率公式计算即可得；对D：借助椭圆定义及圆的性质计算即可得. 【详解】对A：由椭圆 可得、， 则以为直径的圆的方程为 ， 联立，解得， 即以为直径的圆与椭圆存在交点， 故存在点，使得 ，故A正确； 对B：法一：设 、 ，则由椭圆定义可得， 则由余弦定理可得 ，即 ， 又 ，故， 则的面积为； 法二：，故B错误； 对C：由题意可得，设，则，且 ， 则， 即直线 与的斜率之积为，故C正确； 对D：由椭圆定义可得， 圆 的圆心坐标为，半径， 又 ，故在椭圆外， 则 ， 当且仅当、、、四点共线，且在、之间时成立， 故的最小值为，故D正确. ▌对点练1-2．（25-26高二下·贵州·阶段检测）（多选）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，的离心率为．若点为上异于长轴端点的动点，则（     ） A．的长半轴长为2 B．的周长为6 C．的最大值为 D．上存在点，使得 【答案】ABD 【分析】由离心率求得，然后根据椭圆的性质判断各选项，注意选项D中，当为短轴端点时，最大. 【详解】对A，由题意，    解得，A正确； 对B，由题意，的周长为，B正确； 对C，，C错； 对D，当为短轴端点时，，此时，D正确. ▌对点练1-3．（2026·山西忻州·模拟预测）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，．点在椭圆的第一象限部分，且．过点作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．的面积为 D．该切线的斜率为 【答案】ABC 【分析】利用椭圆的性质求出点到焦点的距离，从而结合两点间距离公式求出点的坐标，设出切线方程与椭圆方程联立，利用根的判别式等于零求出切线的斜率，从而求出切线和坐标轴的交点，并计算出三角形的面积. 【详解】 选项A、B：椭圆，则椭圆的焦点，， 点在椭圆的第一象限部分，设， 因为，且根据椭圆的性质可知， 所以，即，故选项B正确； ，化简可得， 因为，所以代入可得，解得， 所以，即点的坐标为，故选项A正确； 选项C、D：设过点与椭圆相切的直线为，的斜率为， 则的直线方程为，即， 直线方程与椭圆方程联立可得， 化简可得， 则， 化简可得，即， 解得，故选项D错误； 因此的直线方程为， 令，则，即， 令，则，即， 所以，故选项C正确. 题型 直线与椭圆的位置关系 解题贴士 设直线交椭圆于点，两点，则 ▌例1（25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）由已知，设过的直线方程为， 设，，， 联立，化简得， 由韦达定理得，； 直线的斜率，故 ， 根据对称性可知直线恒过定点位于轴上， 令，并代入，， 化简得， 因此直线恒过轴上的定点； （ⅱ） 【分析】（1）根据焦距和离心率联立方程组求解即可； （2）（ⅰ）设出直线方程和点坐标，根据对称性可知恒过定点位于轴，再令，结合韦达定理即可求出点坐标； （ⅱ）根据题意列出面积表达式，再结合韦达定理即可求出，从而求出直线方程. 【详解】（1）由已知，焦距为，得； 离心率，代入，得； 由，得， 因此椭圆的标准方程为； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）由可知， 的面积； 的面积； 由题意，得，结合，可知， 将代入韦达定理得， 化简得 解得，即， 因此直线的方程为. ▌例2（26-27高三上·天津和平·开学考试）设椭圆的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，，已知椭圆过点，且长轴长为6． (1)求椭圆的标准方程； (2)点是椭圆上一点（不与顶点重合），直线交轴于点，且满足，若，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，分别求得和，根据，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为椭圆过点，且长轴长为， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：由（1）知：椭圆的方程为， 如图所示，设， 由题意知，直线的斜率不等于，可设直线的方程为， 令，可得，即， 联立方程组，整理得，解得， 又由，则，可得， 因为，可得，可得， 又由同号，可得，即，解得，即， 所以直线的方程为或. ▌对点练1-1．（专题03 圆锥曲线的方程（期中真题汇编）高二数学上学期人教A版）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据长轴长及焦点列式结合计算求解椭圆方程； （2）法一：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可；法二：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可. 【详解】（1）由题知，则，又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立，消去，得， 因为恒成立，所以， 则， 所以的面积， 化简得，解得，所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 所以的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． ▌对点练1-2．（26-27高三上·江西·开学考试）已知椭圆的长半轴长为2，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积的最大值及此时直线的方程． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为1，直线的方程为或 【分析】（1）先由长半轴、焦距直接得到和，再利用椭圆的性质算出，最后代入标准方程得到椭圆的方程； （2）先设过的直线方程，再和椭圆联立得到一元二次方程，利用弦长公式表示出，进而写出面积表达式，最后借助基本不等式求出面积最大值，回代求出对应直线方程． 【详解】（1）已知椭圆的长半轴长为2，即． 又已知焦距为，即， 所以． 根据椭圆的性质， 可得 所以， 故椭圆的方程为． （2）依题意，直线的斜率必然存在，设该直线的斜率为， 则直线的方程为， 设，， 联立方程：，整理得． 因为直线与椭圆交于两个点，所以，即，，， 到直线的距离， 根据弦长公式， 可得， 所以． 设，则，即， 所以，当且仅当时等号成立． 当时，，解得， 所以直线的方程为或， 因此的面积的最大值为1，此时直线的方程为或． ▌对点练1-3．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）（ii）是定值 【分析】利用已知条件求出标准方程，借助参数表示出所求内容并进行求解. 【详解】（1）将代入椭圆方程得，解得， 由离心率，所以， 所以，解得， 所以的标准方程； （2）（i）设， 联立，消去得：， 由韦达定理得，， 因为为的中点，所以， ，所以的坐标为； （ii）是定值，推导如下，， 设， 的外接圆方程设为，其中， 因为D在圆上，所以， 所以的外接圆方程为， 联立得 得， 所以 解得， 故， 所以，故是定值. 基础通关 1．（2027高三·全国·专题练习）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（   ） A．至多一个 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系性质，结合点到直线距离公式、椭圆内部点的性质进行求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为直线和圆没有交点， 所以． ， ∴点在椭圆的内部， ∴过点的直线与椭圆的交点有2个. 2．（26-27高二上·四川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用椭圆的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可得出，再利用正弦定理得出，结合可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】设，，则① ， 在中，由及余弦定理可得，即② ， ①② 得，所以， 又， 又，因为，所以， 解得，故椭圆的离心率为. 3．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】先由与的关系推导椭圆离心率，结合垂直平分线性质将的周长转化为，再联立直线与椭圆方程利用弦长公式求，即可得到周长. 【详解】由题设，结合椭圆参数关系，得，即, 由椭圆性质得，又，故为等边三角形； 因为过且垂直于，所以是的垂直平分线，因此 ，， 则的周长为， 根据椭圆定义，对椭圆上任意点有，故，， 因此 ， 代入周长表达式得的周长为。 接下来求的值： 直线的斜率，则直线的斜率， 又过 ，则的方程为， 联立与椭圆方程 ，整理得 ， 设，由韦达定理得，， 由弦长公式， 代入数值计算得：， 由题设，得，解得，故的周长为. 4．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的对称性和椭圆定义求出的值，再结合椭圆参数关系计算离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，因为点关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 因此，又因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 因此，结合已知，可得，解得， 又因为，由椭圆参数关系可得：，故离心率. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）椭圆，直线与椭圆交于两点，则（   ） A． B．中点轨迹为 C．若，则 D．最大值为 【答案】A 【详解】设，由可得， 故且， 故，故A正确. 又， 故中点的坐标为，故中点轨迹为， 其中，故B错误. 因为，故，故， 整理得，所以， 解得，故C错误. ，当且仅当时等号成立， 故，故D错误. 6．（专题03 圆锥曲线的方程（期中真题汇编）高二数学上学期人教A版）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】D 【详解】的周长为， 7．（第八章 平面解析几何（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积之间的关系，结合椭圆的定义、椭圆离心率的公式进行求解即可. 【详解】 如图，因为，所以，所以. 因为，所以是等腰三角形，则. 又因为，所以，所以，则. 过作其中为垂足，则为中点，所以. 在中，由余弦定理得， 整理得，所以离心率为. 8．（2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，的重心为G，内心为I，且有（为实数），斜率为1的直线经过，且与圆相切，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，表达出的纵坐标为，结合椭圆定义可用两种方法表达出的面积，从而得到方程，求出，根据直线和圆的位置关系得到方程，求出，进而得到，得到椭圆方程 【详解】由题意得，设，， 因为的重心为G，所以， 因为，则，所以的纵坐标为， 又因为，， 所以， 因为为的内心，所以为的内切圆的半径， 则， 故，所以，即， 斜率为1的直线经过，故直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，解得， 所以，， 故椭圆的方程为. 9．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N．若，则E的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对称性可得，代入椭圆方程化简得到，进而求解即可. 【详解】由对称性可知，设的半焦距为，易知，故， 将代入椭圆方程得，即， 设的离心率为，则，即， 所以，又，则． 10．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知点是椭圆：上的动点，点满足，其中．记点的轨迹形成的区域为，则边界上的点到直线：的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量条件可知点可由椭圆上点叠加模长为的向量得到，区域为椭圆与单位圆盘的闵可夫斯基和，先利用椭圆参数方程结合辅助角公式求出椭圆上动点到已知直线的最大距离，再增加单位长度，即可得到边界上点到直线距离的最大值． 【详解】 设，，， 所以， 由，且在椭圆上， 而在以为圆心，半径为1的圆上， 对于椭圆，，， 设， 则椭圆上点到直线：的距离， 的振幅为，， ， 当时，取最大值， 所以边界上的点到直线：的距离的最大值． 素养提升 1．（2027高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为和，由和四个点构成了一个高为，面积为的等腰梯形．则椭圆的方程________．若过点的直线与椭圆交于两点，则面积的最大值是________． 【答案】 3 【分析】（1）由等腰梯形的高直接得，利用梯形面积公式得到，再结合椭圆关系式联立方程组，解出，写出椭圆标准方程. （2）设过焦点的直线，联立椭圆，由韦达定理求出，代入面积转化为以为底、为高，换元后利用函数单调性求得面积最大值. 【详解】（1）如图： 由条件，得，且，． 又，解得． ∴椭圆的方程为． （2）显然，直线的斜率不能为0，如图： 设直线的方程为，， 联立方程，得消去得，，∴， ． ． 令，设， 易知函数在上单调递增， ∴当，即时，，此时取得最大值，为3． 2．（26-27高三上·北京·期中）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由和即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在，结合四边形的面积求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，，所以， 所以， 即椭圆方程为. （2） 当直线斜率不存在时，方程为，联立椭圆方程， 可得：，， 四边形的面积为，舍去； 当直线斜率存在时，易知斜率不能为0，设直线方程为， 联立椭圆方程，消去可得：， ，， 所以四边形的面积为：， 即，， 即： ， 即：， 即：， 即：， 即：， 解得，即， 所以直线的方程为：或. 3．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足， ，则的最大值为（ ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由，，可判断点，分别在以线段，为直径的圆上，可知两圆上点的最大距离等于圆心距加上两圆的半径. 【详解】由题意知，，，则，，， 由，则，所以点在以线段为直径的圆上， 同理，由，可得点在以线段为直径的圆上， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径， 以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以，在中，为中位线，则， 因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大， 即， 由椭圆定义可知，所以. 4．（专题03 圆锥曲线的方程（期中真题汇编）高二数学上学期人教A版）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为_______；设的内心为，其外接圆的半径为，记的面积分别为，若，则椭圆的离心率为_______． 【答案】 / 【分析】第一空：令，根据椭圆的定义结合余弦定理得出，然后应用面积公式计算即可；第二空：设内切圆半径为，根据面积等式，结合椭圆的定义，求得，再结合正弦定理得出，最后代入题设条件计算即可求解. 【详解】第一空：设，则由椭圆定义可得 ， ① 由余弦定理得： ，② ①式平方减去②得：，即， 所以的面积， 因为，则的面积； 第二空：设内切圆半径为，则的面积， 所以，故， 由正弦定理可得：，解得：， 由可得： 整理得： 即， 又，即，所以椭圆的离心率为. 5．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知椭圆：的左，右顶点分别是，． (1)点是上异于，的一动点，直线，的斜率分别是，，求的值． (2)直线：与椭圆交于，两点（在第二象限），直线与轴，轴分别交于，两点，求证：． 【答案】(1) (2) 直线与椭圆相交，联立方程得，，化简得，， 交点为，，其中在第二象限，即， 由韦达定理得，，所以， 直线与轴、轴分别交于，， ，， 因为，所以 【分析】（1）利用点的坐标满足椭圆方程，并表示出，化简可求得该值； （2）联立直线与椭圆方程并利用韦达定理得到，然后表示出和，化简即可证明 【详解】（1） 椭圆的左、右顶点分别为，， 设点，因为点是椭圆上异于左、右顶点的动点， 所以，且， 直线的斜率，直线的斜率， 所以 （2）略 迁移创新 1．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）已知椭圆：的短轴长为，离心率为，上、下顶点分别为，，点为椭圆内部一点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为，两点，直线，交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：； (3)在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明：如图，设直线方程为，令， 由消去得，设， 解得，， 设直线的方程为，令， 由消去得，设， 解得，, 由三点共线，得，代入点坐标化简得， 由三点共线，同理得，因此， 所以. (3)存在点 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解即得. （2）求出直线方程，并与椭圆方程联立求出点的坐标，再利用三点共线列式推理得证. （3）由（2）中信息求出点的横纵坐标间的关系，再设出点的坐标，利用两点间距离公式，结合恒成立求出点的坐标即可. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：. （2）略 （3）由，得，则，解得， 由点在椭圆内部，得，解得，则， 设点，则， 若为定值，则，其中为常数， 平方并整理得恒成立， 因此，解得，， 所以存在点，使得为定值. 2．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，使得，直线与直线相交于点． (1)求椭圆的离心率； (2)若三角形与四边形的面积比为4∶5，求直线的方程； (3)证明：点在直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明：由题意知，点，可得 因为，可得直线，所以的方程为，即， 又因为，可得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 因为点在直线上，可得，且 代入得，即， 即方程， 要证得点在直线上，只需这个方程的解为， 把代入上述方程，可得： 左边， 因为，可得， 所以左边， ， 所以左边右边，所以是联立方程组的解，所以点在直线上. 【分析】（1）根据题意，求得，结合椭圆的几何性质，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，求得，由，得到，求得，结合韦达定理，列出方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，分别求得直线和的方程，联立方程组，结合点在直线上，化简得到方程，进而证得是联立方程组的解，即可得证. 【详解】（1）解：由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为. （2）解：由题意知，直线过点，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为，所以， 又因为，可得，所以， 所以，即，可得，所以， 将代入，可得， 解得，所以， 所以，即， 整理得，所以， 当时，直线为，即，此时直线过点，不符合题意（舍去）； 当时，直线为，此时直线不过点，符合题意， 综上可得，直线的方程为. （3）略 3．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，直线交椭圆于，两点． （ⅰ）当为的重心时，求直线的方程； （ⅱ）设为椭圆上的动点，若为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）的面积为定值，定值为 【分析】（1）根据离心率公式、关系及椭圆的标准方程列式求解即可； （2）（ⅰ）设，由为的重心，可得，继而可得的中点坐标，利用点差法可得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可求解； （ⅱ）设，直线的方程为，代入椭圆方程，由为的重心，可得，结合韦达定理可得，代入椭圆得、根据弦长公式、点到直线的距离公式求出三角形的面积即可. 【详解】（1）点在椭圆上，所以， 离心率，可得， 所以，可得， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设， 由为的重心，可得，即， 所以的中点为， ，由点差法可得， 即， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （ⅱ）设， 由为的重心，可得，即， 当直线斜率不存在时，设，代入椭圆可得， 则，，代入椭圆得， 不妨取，，， ； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， 所以，则， 所以，代入椭圆得， ， 点到直线的距离为， 则 . 所以的面积为定值，定值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 椭圆 课标要点 1.经历椭圆概念的形成过程，理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的推导，能根据条件写出椭圆标准方程。 2.掌握椭圆几何性质，包括范围、对称性、顶点、长轴短轴、离心率，能利用性质分析椭圆图像。 3.能运用椭圆的定义、方程与几何性质解决简单综合问题，体会数形结合，提升解析几何运算与逻辑推理能力。 学习重难点 重点： 1.椭圆的定义，会区分 2a 与两焦点间距离 2c 的大小关系，掌握椭圆标准方程。 2.椭圆的几何性质，离心率的含义，能求离心率或离心率范围。 3.利用待定系数法求椭圆方程，结合椭圆性质解决基础求值问题。 难点： 1.椭圆的定义，会区分 2a 与两焦点间距离 2c 的大小关系，掌握椭圆标准方程。 2.椭圆的几何性质，离心率的含义，能求离心率或离心率范围。 3.利用待定系数法求椭圆方程，结合椭圆性质解决基础求值问题。 知识点 椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 特别提醒 运用椭圆定义解题，务必牢记平面内动点到两个定点距离之和等于常数 2a，必须满足 2a 大于两焦点之间距离 2c，这是椭圆成立的核心前提。若 2a 等于 2c，轨迹为两焦点连成的线段；2a 小于 2c，则不存在轨迹，做题不可直接默认为椭圆。解题遇到焦点三角形、周长类题型优先使用定义转化线段，减少复杂计算。注意定点必须是平面内两个焦点，审题看清题目是否给出平面这一条件。处理填空题时，看清焦点位置在 x 轴还是 y 轴，不要混淆。遇到轨迹方程问题，做完一定要检验条件，排除不满足题意的点，避免扩大轨迹范围，防止出现概念性失分。 随学随练 1．（2026高二·全国·专题练习）(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 2．（2026高二·全国·专题练习）（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为___. 知识点 椭圆的标准方程（重点） 椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 特别提醒 （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 随学随练 1．（2026·江苏无锡·三模）已知椭圆的左焦点为为椭圆的上顶点，过的直线与椭圆交于两点（不同于），为的角平分线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 知识点 椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为．． 特别提醒 掌握椭圆几何性质，首先分清焦点在 x 轴还是 y 轴，长轴、短轴对应的 a、b 切勿混淆，a 永远代表长半轴，a 大于 b。椭圆范围用于约束横纵坐标取值，做题遇到动点问题，不可忽略变量取值范围。离心率 e 等于 c 除以 a，椭圆离心率取值范围是零到一，e 越接近 1 椭圆越扁，e 越接近 0 椭圆越圆。注意顶点有四个，长轴顶点、短轴顶点不要漏看。很多题目利用对称性简化计算，可直接由已知点写出对称点坐标。处理离心率求值或者范围题型，优先借助 a,b,c 三者关系式，切忌记错平方关系 a²=b²+c²。审题看清长轴长是 2a，不是 a，此处属于高频丢分点，答题多加检验。 随学随练 1．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有6个 2．（2026·湖南永州·一模）（多选）设，为椭圆：（）的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A．若，则 B．若，则的最大值为2 C．若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D．若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 3．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）（多选）已知椭圆，点在的第一象限部分上．在点处的切线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，为坐标原点，则（    ） A．切线的方程为 B． C． D．当时，直线的斜率为 知识点 直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有；若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ， 特别提醒 研究直线与椭圆位置关系，一般把直线方程与椭圆方程联立，消元得到一元二次方程，依靠判别式 Δ 判断位置。Δ 大于 0 代表相交，有两个交点；Δ 等于 0 代表相切；Δ 小于 0 代表无交点。椭圆和直线联立后的二次项不为零，不会出现双曲线那样二次项系数等于零的特殊情况。涉及弦长问题优先使用韦达定理，尽量不去直接求解交点坐标，减少计算量。做题时刻注意椭圆上点的横纵坐标本身自带取值范围，不能只依靠代数结果，忽视几何约束。使用韦达定理之前务必确认判别式大于零，这是答题容易遗漏的步骤。遇到含参数题型，要仔细检验斜率不存在这种特殊直线，避免出现漏解。 随学随练 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆，左顶点为A，下顶点为B，，焦距为． (1)求E的方程； (2)平行于AB的直线l与E相交于C，D两点（C，D均在第一象限，且A，B，C，D按逆时针排列），直线AD与y轴相交于点P，直线BC与x轴相交于点Q． ①求直线PQ的斜率； ②若四边形ABQP的面积为，求四边形PQCD的面积． 2．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知椭圆过点，且，为坐标原点，平行于的直线l交椭圆于A，B两个不同的点. (1)求椭圆方程 (2)求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形. 3．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，椭圆上动点满足，且两个焦点与短轴的上顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上； (3)求的最大值. 拓展 椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边． 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系． 活学活用 1．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 2．（25-26高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）（多选）已知是椭圆上一点，是左右焦点，交椭圆于点交椭圆于点，则（   ） A．的周长等于12 B．可能是等边三角形 C．若是椭圆的上顶点，则的面积为10 D．若，则 拓展 离心率 椭圆离心率记作 e，计算公式为 e 等于 c 除以 a，其中 a 是长半轴长，c 是半焦距，满足关系式 a²=b²+c²，椭圆离心率的固定取值范围是 0＜e＜1。 离心率的几何意义反映椭圆的扁平程度。当 e 越靠近 0 的时候，c 值就越小，b 越接近 a，椭圆就越圆；当 e 越靠近 1 的时候，c 越接近 a，b 就越小，椭圆就越扁。 考试主要分为两大类题型，第一类直接求离心率的值。解题核心就是建立关于 a、b、c 的等式，常见途径有椭圆定义、焦点三角形、几何图形边长关系、直线斜率、垂直平行等位置条件，再借助 a,b,c 三者的平方关系消去 b，整理出 a 与 c 的齐次式，等式两边同时除以 a²，转化成关于 e 的方程求解即可。 第二类求解离心率的取值范围，难度更高，需要根据题干条件找出不等关系。可以利用椭圆上点的坐标范围、三角形三边关系、角度大小、线段长度不等式等条件，得到 a 和 c 的不等齐次式，进而求出 e 的范围，做完必须带上椭圆固有范围 0＜e＜1 进行取舍。 做题高频易错点，一定要区分清楚 a、b、c 的平方公式，切忌记混。焦点三角形当中经常使用余弦定理构造齐次方程。求范围题目很容易忽略椭圆本身 0 到 1 的限制，直接解不等式就得出结果，造成答案超出区间范围。另外审题看清条件是长轴、焦距还是半长轴、半焦距，区分 2a、2c 与 a、c，避免低级计算失误。 活学活用 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）（多选）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 2．（25-26高三下·广东广州·阶段检测）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆C上任意一点，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆C的离心率为 B．的最小值为2 C．的最大值为16 D．可能存在点，使得 3．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 题型 椭圆的定义与标准方程 解题贴士 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程． ▌例1（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高二上·四川绵阳·期末）已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 解题贴士 椭圆焦点三角形解题优先活用椭圆定义，周长固定为 2a 加 2c，看清题干条件直接代入，不要重复推导边长。面积常用两种思路，已知顶角用余弦定理结合定义列式，借助平方变形求出两边乘积，再代入面积公式计算；焦点三角形简易面积也可利用 b² 乘以半角正切快速求解。解题时刻牢记 a²=b²+c² 关系式，结合三角形三边关系、内角范围建立等式或者不等式，用来求解离心率以及离心率范围。注意椭圆上动点在短轴端点时顶角达到最大值，这个常用结论可以直接用于选择填空。做题避开直接设点坐标硬算边长，运算量大容易出错，同时注意角度条件转化，不要忽略三角形内角隐含限制，做好结果检验。 ▌例1（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 ▌例2（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． ▌对点练1-1．（25-26高二上·山东青岛·期末）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 ▌对点练1-3．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在第一象限．若为等腰三角形，则的内心的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型 椭圆上两点距离的最值问题 解题贴士 椭圆上两点距离最值，优先区分两点是椭圆上动点与定点，还是椭圆上两个动点。定点搭配椭圆动点，利用椭圆参数方程或者几何性质求解，结合椭圆本身横纵坐标范围约束结果。椭圆上两动点距离最大值为长轴 2a。过焦点的两点最大距离是长轴长，最小为通径。解题尽量少用两点距离公式直接硬算，计算繁琐易出错。遇到含参数问题，要注意等号成立条件，判断对应点是否真实存在。选择填空可直接使用结论，大题需要简单推导，不可直接照搬，同时做好结果检验。 ▌例1（23-24高二上·河北保定·期中）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，则以下说法正确的是（    ） A．若过的直线与椭圆交于两点，则的周长为12 B．椭圆上存在点，使得 C．若为椭圆上一点，且与的夹角为，则的面积为 D．若为椭圆上一点，为圆上一点，则点之间的最大距离是9 ▌例2（2026·吉林长春·模拟预测）已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（2026·云南昆明·二模）（多选）若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（    ） A． B．的最大值为 C．存在，使得四边形是平行四边形 D．面积的最大值为 ▌对点练1-2．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若点，，证明点在椭圆上，并求的取值范围. ▌对点练1-3．（2024·陕西西安·三模）已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（    ） A． B．13 C． D． 题型 椭圆上两线段的和差最值问题 解题贴士 椭圆线段和差最值优先利用椭圆第一定义转化线段，把到两焦点的距离进行互换变形。线段之和最值常结合三角形两边之和大于第三边，三点共线时取得最值；线段之差最值依据三角形两边之差小于第三边，同样在三点共线时取到临界。看清定点位置，区分定点在椭圆内部还是外部，灵活运用焦点进行线段转化，尽量避免设坐标代数运算。务必验证等号能否成立，判断共线时点是否落在椭圆之上。 ▌例1（2026·四川达州·二模）（多选）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 ▌例2（2026·广西南宁·二模）（多选）已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（    ） A．直线OM与AC的斜率之积为 B．点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为 C． D．B，F，M三点共线 ▌对点练1-1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知椭圆，左、右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．不存在最大值 B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 ▌对点练1-2．（25-26高二上·江苏南京·期末）（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上，点，下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．过点的直线与椭圆相交于两点，若为弦的中点，则直线的斜率为 C．内切圆半径的最大值为 D．的最大值为 ▌对点练1-3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）（多选）椭圆的标准方程为，，为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与，，分别相切于点，，，则（    ） A． B． C． D． 题型 离心率的值及取值范围 解题贴士 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法。 ▌例1（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）（多选）已知椭圆C：和曲线D：在轴上方的两个交点为和，动点在椭圆上，且，．若直线l与相切于点，与交于P，Q两点，则（    ） A． B．的最小值为5 C． D．四边形的面积的取值范围为 ▌例2（26-27高三上·山东青岛·开学考试）（多选）已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（    ） A．的离心率为 B．，，，四点可能共圆 C．为直角三角形 D．的最小值为 ▌对点练1-1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 ▌对点练1-2．（25-26高二下·贵州·阶段检测）（多选）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，的离心率为．若点为上异于长轴端点的动点，则（     ） A．的长半轴长为2 B．的周长为6 C．的最大值为 D．上存在点，使得 ▌对点练1-3．（2026·山西忻州·模拟预测）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，．点在椭圆的第一象限部分，且．过点作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．的面积为 D．该切线的斜率为 题型 直线与椭圆的位置关系 解题贴士 设直线交椭圆于点，两点，则 ▌例1（25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． ▌例2（26-27高三上·天津和平·开学考试）设椭圆的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，，已知椭圆过点，且长轴长为6． (1)求椭圆的标准方程； (2)点是椭圆上一点（不与顶点重合），直线交轴于点，且满足，若，求直线的方程． ▌对点练1-1．（专题03 圆锥曲线的方程（期中真题汇编）高二数学上学期人教A版）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． ▌对点练1-2．（26-27高三上·江西·开学考试）已知椭圆的长半轴长为2，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积的最大值及此时直线的方程． ▌对点练1-3．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 基础通关 1．（2027高三·全国·专题练习）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（   ） A．至多一个 B．2 C．1 D．0 2．（26-27高二上·四川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 4．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三·全国·一轮复习）椭圆，直线与椭圆交于两点，则（   ） A． B．中点轨迹为 C．若，则 D．最大值为 6．（专题03 圆锥曲线的方程（期中真题汇编）高二数学上学期人教A版）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 7．（第八章 平面解析几何（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．（2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，的重心为G，内心为I，且有（为实数），斜率为1的直线经过，且与圆相切，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N．若，则E的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知点是椭圆：上的动点，点满足，其中．记点的轨迹形成的区域为，则边界上的点到直线：的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 素养提升 1．（2027高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为和，由和四个点构成了一个高为，面积为的等腰梯形．则椭圆的方程________．若过点的直线与椭圆交于两点，则面积的最大值是________． 2．（26-27高三上·北京·期中）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆的左右顶点分别为，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，．若四边形的面积为，求直线的方程． 3．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足， ，则的最大值为（ ） A． B．3 C．2 D．1 4．（专题03 圆锥曲线的方程（期中真题汇编）高二数学上学期人教A版）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为_______；设的内心为，其外接圆的半径为，记的面积分别为，若，则椭圆的离心率为_______． 5．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知椭圆：的左，右顶点分别是，． (1)点是上异于，的一动点，直线，的斜率分别是，，求的值． (2)直线：与椭圆交于，两点（在第二象限），直线与轴，轴分别交于，两点，求证：． 迁移创新 1．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）已知椭圆：的短轴长为，离心率为，上、下顶点分别为，，点为椭圆内部一点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为，两点，直线，交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：； (3)在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 2．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，使得，直线与直线相交于点． (1)求椭圆的离心率； (2)若三角形与四边形的面积比为4∶5，求直线的方程； (3)证明：点在直线上． 3．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，直线交椭圆于，两点． （ⅰ）当为的重心时，求直线的方程； （ⅱ）设为椭圆上的动点，若为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $